1、专题六 概率与统计第2讲 概率、随机变量及其分布列一、选择题1(2016全国卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.B.C.D.解析：将4种颜色的花任选2种种在花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种，故概率为.答案：C2(2017全国卷)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80 B40 C40 D80解析：(xy)(2xy)5x(2xy)5y(2xy)5.因为x(2xy)5中x3y3的系数为C2240，y(2xy)5中x
2、3y3的系数为C2380，因此x3y3的系数为804040.答案：C3(2017贵阳质检)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则n的最小值为()A4 B5 C6 D7解析：由题意，1，所以n4，所以n的最小值为4.答案：A4有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B. C. D.解析：设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1.故点P到点O的距离大于1的概率P1.答案：B5(2017浙江卷)已知随机变量i，满足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1，
3、2.若0p1p2，则()AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)E(2)，D(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)D(2)DE(1)E(2)，D(1)D(2)解析：由题设可知E(1)p1，E(2)p2，从而E(1)E(2)，又D(1)p1(1p1)，D(2)p2(1p2)，所以D(1)D(2)(p1p2)(1p1p2)0.故D(1)D(2)答案：A二、填空题6(2016全国卷改编)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是_解析：如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随
4、机地落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P.答案：7(2017长郡中学二模改编)设随机变量X服从正态分布N(4，2)，若P(Xm)0.3，则P(X8m)_解析：因为随机变量X服从正态分布N(4，2)，所以正态曲线的对称轴是x4，因为P(Xm)0.3，且m与8m关于x4对称，由正态曲线的对称性，所以P(Xm)P(X8m)0.3，故P(X8m)10.30.7.答案：0.78(2016四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_解析：由题可知，在一次
5、试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P1，依题意XB，则E(X)2.答案：三、解答题9(2017山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示(导学号 54850136)(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理
6、暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M).(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).因此X的分布列为X01234PX的数学期望E(X)012342.10(2017北京海淀区检测)某校高一(1)、(2)两个班联合开展“诗词大会进校园，国学经典润心田”古诗词竞赛主题班会活动主持人从这两个班分别随机选出20名同学进行当场测试，他们的成绩按40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100分组，分别用频率分布直方图茎
7、叶图统计如下(单位：分)：(1)班20名同学成绩频率分布直方图(2)班20名同学成绩茎叶图(1)分别计算两个班这20名同学的测试成绩在80，90)的频率，并补全频率分布直方图；(2)分别从两个班随机选取1人，设这两人中成绩在80，90)的人数为X，求X的分布列(频率当作概率使用)解：(1)高一(1)班这20名同学的测试成绩在80，90)的频率为1(0.0050.0150.0050.020.015)100.4.高二(2)班这20名同学的测试成绩在80，90)的频率为0.2.补全频率分布直方图如下：(2)由题意可知，从高一(1)、(2)两个班各随机选取1人，成绩在80，90)的概率分别为，.从两个
8、班随机选取1人，这两人中成绩在80，90)的人数X可能为0，1，2.P(X0)；P(X1)；P(X2)，则X的分布列如下表所示：X012P(X)11.(2017新乡三模)为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”分数50，59)60，69)70，79)80，89)90，100甲班频数56441乙班频数13655(1)由以上统计数据填写下面22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认
9、为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：K2，其中nabcd.临界值表：P(K2k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635(2)现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望解：(1)由统计数据得22列联表：甲班乙班总计成绩优良91625成绩不优良11415总计202040根据22列联表中的数据，得K2的观测值为k5.2275.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”(2)由表可知在8人中成绩不优良的
10、人数为83，则X的可能取值为0，1，2，3.P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3).所以X的分布列为：X0123P所以E(X)0123.典例(本小题满分12分)(2016全国卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件
11、数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(导学号 54850064)(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？规范解答：(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.(1分)从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(
12、X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.(4分)所以X的分布列为：X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(5分)(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.(7分)(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040；(9分)当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.(11分)可知
13、当n19时所需费用的期望值小于当n20时所需费用的期望值，故应选n19.(12分)1正确阅读理解，弄清题意：与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新，而解决问题的关键是理解题意，弄清本质，将问题转化为离散型随机变量分布列求解问题，如本题第(1)问就是求解离散型随机变量的分布列，其关键是准确写出随机变量X的取值及正确求其概率2注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上利用分布列求概率之和来求解3注意将概率求对：与离散型随机变量有关的问题，准确求出随机变量取值的
14、概率是关键本题第(1)问，要做到：一是随机变量取值要准，二是要明确随机变量取每个值的意义，同时也要注意事件的独立性在第(1)，(3)问中概率、期望值要写出求解过程，不能直接写出数值解题程序第一步：设出基本事件，明确事件间的关系及含义第二步：求出各个事件发生的概率第三步：列出随机变量X的分布列第四步：解关于n的不等式，求出n的最小值第五步：讨论n19与n20时的费用期望，做出判断决策第六步：检验反思，明确步骤规范跟踪训练(2017北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”
15、表示服药者，“”表示未服药者(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E()；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小(只需写出结论)解：(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为0.3.(2)由图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值为0，1，2.P(0)，P(1)，P(2).所以的分布列为：012PE()0121.(3)由题图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大
