1、4.9 三角函数的最值知识梳理1.y=asinx+bcosx型函数最值的求法.常转化为y=sin（x+），其中tan=.2.y=asin2x+bsinx+c型.常通过换元法转化为y=at2+bt+c型.3.y=型.（1）转化为型1.（2）转化为直线的斜率求解.4.利用单调性.点击双基1.（2000年全国）若0，sin+cos=a，sin+cos=b，则A.ab1B.ab1C.ab1D.ab1解析：a=sin（+），b=sin（+），0+，1ab，ab1.答案：D2.函数f（x）=cos2x+sinx在区间，上的最小值是A.B.C.1D.解析：f（x）=1sin2x+sinx=（sinx）2+.
2、当x=时，ymin=.答案：D3.函数y=xsinx在，上的最大值是A.1B.+1C.D.解析：y=xsinx在，上是增函数，x=时，ymax=.答案：D4.y=的最大值是_，最小值是_.解析一：y=1.当sinx=1时，得ymin=1，当sinx=1时，得ymax=.解析二：原式sinx=（y1）|11y.ymax=，ymin=1.答案： 15.y=（0x）的最小值是_.解析一：y=ysinx+cosx=2sin（x+）=2sin（x+）=（x（0，）01y.ymin=.解析二：y可视为点A（sinx，cosx），B（0，2）连线的斜率kAB，而点A的轨迹x（0，）是单位圆在第二、三象限的部
3、分（如下图），易知当A（，）时，ymin=kAB=.答案：典例剖析【例1】 函数y=acosx+b（a、b为常数），若7y1，求bsinx+acosx的最大值.剖析：函数y=acosx+b的最值与a的符号有关，故需对a分类讨论.解：当a0时，a=4，b=3；当a=0时，不合题意；当a0时，a=4，b=3.当a=4，b=3时，bsinx+acosx=3sinx+4cosx=5sin（x+）（tan=）；当a=4，b=3时，bsinx+acosx=3sinx4cosx=5sin（x+）（tan=）.bsinx+acosx的最大值为5.【例2】 求函数y=cotsinx+cotxsin2x的最值.剖
4、析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题.解：y=sinx+2sinxcosx=2（cosx+）2+.sinx0，cosx1.当cosx=时，y有最小值，无最大值.评述：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件.【例3】 求函数y=的最大值和最小值.剖析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）.解法一：去分母，原式化为sinxycosx=22y，即sin（x）=.故1，解得y.ymax=，ymin=.解法二：令x1=cosx，y1
5、=sinx，有x12+y12=1.它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可.由=1，得k=.ymax=，ymin=.评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此读者要有足够的重视.闯关训练夯实基础1.函数y=log2（1+sinx）+log2（1sinx），当x，时的值域为A.1，0B.（1，0C.0，1）D.0，1解析：y=log2（1sin2x）=log2cos2x.当x=0时，ymax=log21=0；当x=时，ymin=1.值域为1，0.答案：A2.当y=2cosx3sinx取得最
6、大值时，tanx的值是A.B.C.D.4解析：y=sin（x）（其中tan=）.y有最大值时，应sin（x）=1x=2k+x=2k+.tanx=tan（x）=tan（2k+）=cot=.答案：B3.函数y=的最大值是_，最小值是_.解析：y=3，当sinx=1时，ymax=3=；当sinx=1时，ymin=4.答案： 44.在ABC中，a=sin（A+B），b=sinA+sinB，则a与b的大小关系为_.解析：a=sinAcosB+cosAsinBsinA+sinB=b.答案：ab5.（2004年湖南，13）已知向量a=（cos，sin），向量b=（，1），则|2ab|的最大值是_.解析：2a
7、b=（2cos，2sin+1），|2ab|=4.|2ab|的最大值为4.答案：46.求y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域.解：设t=sinx+cosx，则t，.由（sinx+cosx）2=t2sinxcosx=.y=1+t+=（t+1）2.ymax=（+1）2=，ymin=0.值域为0，.培养能力7.已知对任意x，恒有ysin2x+4sin2xcos2x，求y的最小值.解：令u=sin2x+4sin2xcos2x，则u=sin2x+sin22x=（1cos2x）+（1cos22x）=cos22xcos2x+=（cos2x+）2+，得umax=.由yu知ymin=.8.（2005
8、年北京海淀区高三期末练习）已知向量a=（cos，sin），b=（cos，sin），c=（，1），其中xR.（1）当ab时，求x值的集合；（2）求|ac|的最大值.解：（1）由ab得ab=0，即coscossinsin =0.则cos2x=0，得x=+（kZ）.x|x=+，kZ为所求.（2）|ac|2=（cos）2+（sin+1）2=5+4sin（），|ac|有最大值3.探究创新9.设函数f（x）=asinx+bcosx（0）的最小正周期为，并且当x=时，有最大值f（）=4.（1）求a、b、的值；（2）若角、的终边不共线，f（）=f（）=0，求tan（+）的值.解：（1）由=，0得=2.f（x）
9、=asin2x+bcos2x.由x=时，f（x）的最大值为4，得（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+）.依题意有4sin（2+）=4sin（2+）=0.sin（2+）sin（2+）=0.cos（+）sin（）=0（和差化积公式见课本）.、的终边不共线，即k（kZ），故sin（）0.+=k+（kZ）.tan（+）=.思悟小结1.求三角函数最值的常用方法有：配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；数形结合法（常用到直线的斜率关系）；换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；基本不等式法等.2.三角函数的最值都是在给
10、定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间.（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性.（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响.3.注意题中的隐含条件.教师下载中心教学点睛1.建议让学生从做“点击双基”中体会总结方法.2.例题也可由学生独立完成，并从中总结方法.拓展题例【例题】 （2001年春季全国）已知sin2+sin2+sin2=1（、均为锐角），那么coscoscos的最大值等于_.解析：sin2+sin2+sin2=1，3（cos2+cos2+cos2）=1.cos2+cos2+cos2=23.cos2cos2cos2（）3.coscoscos=.答案：
