1、第三章 概率全章素养整合构网络提素养链高考类型一 互斥事件与对立事件题型特点 这类问题主要以互斥事件、对立事件的判断及较复杂的概率的计算为主，难度较低方法归纳 1.互斥事件与对立事件的联系与区别：不可能同时发生的事件称为互斥事件，对立事件则要同时满足两个条件：一是不可能同时发生；二是必有一个发生，两个事件是对立事件的前提是互斥事件在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能只有一个发生，而两个对立事件则必有一个发生且不可能同时发生2互斥事件与对立事件的概率计算：(1)若事件 A1，A2，An 彼此互斥，则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)设事件 A 的对立事件是A，则 P(
2、A)1P(A)，(2)应用互斥事件的概率加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式 P(A)1P(A)求解例 1 玻璃盒子中装有各色球 12 只，其中 5 红、4 黑、2 白、1 绿，从中取 1 球，设事件 A 为“取出一只红球”，事件 B 为“取出一只黑球”，事件 C 为“取出一只白球”，事件 D 为“取出一只绿球”，求(1)“取出一球为红球或黑球”的概率(2)“取出一球为红球或黑球或
3、白球”的概率解析 法一：视其为互斥事件，进而求概率(1)“取出红球或黑球”的概率为P(AB)P(A)P(B)5121334.(2)“取出红球或黑球或白球”的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)51213161112.法二：应用对立事件求概率(1)“取出红球或黑球”的对立事件为“取出白球或绿球”，即 AB 的对立事件为CD.“取出红球或黑球”的概率为P(AB)1P(CD)1P(C)P(D)116 11234.(2)“取出一球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出一球为绿球”，即ABC 的对立事件为 D，P(ABC)1P(D)1 1121112.跟踪训练 1.某服务电话，打进的电话响第 1
4、声时被接的概率是 0.1；响第 2 声时被接的概率是 0.2；响第 3 声时被接的概率是 0.3；响第 4 声时被接的概率是 0.35.(1)打进的电话在响 5 声之前被接的概率是多少？(2)打进的电话响 4 声而不被接的概率是多少？解析：(1)设事件“电话响第 k 声时被接”为 Ak(kN)，那么事件 Ak 彼此互斥，设“打进的电话在响 5 声之前被接”为事件 A，根据互斥事件概率加法公式，得 P(A)P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)0.10.20.30.350.95.(2)事件“打进的电话响 4 声而不被接”是事件 A“打进的电话在响 5 声之前被接”的对立事
5、件，记为A.根据对立事件的概率公式，得 P(A)1P(A)10.950.05.类型二 古典概型题型特点 这类问题多出现在解答题中，以题中的一问出现，主要考查古典概型的概率计算，难度较低方法归纳 古典概型综述：(1)古典概型的基本特征：有限性；等可能性(2)古典概型的计算公式：P(A)mn，其中 n 为试验的基本事件总数，m 为事件 A 包含的基本事件数(3)古典概型问题的解题方法：采取适当的方法，按照一定的顺序，把试验的所有结果一一列举出来，正确理解基本事件与事件 A 的关系应用公式 P(A)mn计算概率若所求概率的事件比较复杂，可把它分解成若干个互斥的事件，利用互斥事件的概率加法公式求解；或
6、利用求其对立事件，利用对立事件的概率求解例 2 某产品的三个质量指标分别为 x，y，z，用综合指标 Sxyz 评价该产品的等级若 S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取 10 件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x，y，z)(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z)(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率(2)在该样本的一等品中，随机抽取 2 件产品，用产品编号列出所有可能的结果；设事件
7、B 为“在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4”，求事件 B发生的概率解析(1)计算 10 件产品的综合指标 S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中 S4 的有 A1，A2，A4，A5，A7，A9，共 6 件，故该样本的一等品率为 6100.6，从而可估计该批产品的一等品率为 0.6.(2)在该样本的一等品中，随机抽取 2 件产品的所有可能结果为A1，A2，A1，A4，A1，A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A7，A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9，共
8、 15 种在该样本的一等品中，综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1，A2，A5，A7，则事件 B 发生的所有可能结果为A1，A2，A1，A5，A1，A7，A2，A5，A2，A7，A5，A7，共 6 种所以 P(B)61525.跟踪训练 2.从1，2，3，4，5中随机选取一个数为 a，从1，2，3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率是()A.45 B.35C.25D.15解析：当 b1 时，没有满足条件的 a 值；当 b2 时，a1；当 b3 时，a 可以是 1，可以是 2，共 3 种情况而从1，2，3，4，5中随机取一个数 a，再从1，2，3中随机取一个数 b，共有 3515 种
9、不同取法，概率为 31515.答案：D类型三 几何概型题型特点 这类问题多出现在客观题中，主要考查几何概型的概率计算，经常与传统文化相结合，难度中等方法归纳 几何概型综述：(1)几何概型的基本特征：基本事件的无限性；每个事件发生的等可能性(2)几何概型的计算公式：P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.(3)几何概型问题的解题方法：解几何概型问题时，常常需要寻找不等关系要找不等关系，先找等量关系，再借助图形分析寻找不等关系，然后利用公式计算例 3 如图所示，OA1，在以 O 为圆心，OA 为半径的半圆弧上任取一点 B，求使AOB 的面积大于等于1
10、4的概率解析 如图所示，作 OCOA，C 在半圆弧上，过 OC 中点 D 作 OA 的平行线交半圆弧于 E、F，所以在EF 上取一点 B，则 SAOB14.连接 OE、OF.因为 OD12OC12OF，OCEF，所以DOF60，所以EOF120，所以 lEF 120180123.所以由几何概型得，使AOB 的面积大于等于14的概率 PlEF1 23 23.跟踪训练 3.如图所示的大正方形面积为 13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为 2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为()A.413 B.213C.113D.313解析：设阴影小正方形边长为 x，则在直角
11、三角形中有 22(x2)2(13)2，解得 x1 或 x5(舍)，阴影部分面积为 1，飞镖落在阴影部分的概率为 113.答案：C类型四 概率与统计的综合问题题型特点 概率与统计相结合，是新课标数学试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大例 4 某企业有甲、乙两个研发小组为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)其中a，a分别表示甲组研
12、发成功和失败；b，b分别表示乙组研发成功和失败(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，否则记 0 分试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率解析(1)甲组研发新产品的成绩为 1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为x甲101523；方差为 s2甲 11512321002325 29.乙组研发新产品的成绩为 1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均数为x乙 91535；方差为 s2乙 1151352903526 625
13、.因为x甲x乙，s2甲s2乙，所以甲组的研发水平优于乙组(2)记 E恰有一组研发成功在所抽得的 15 个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，共 7 个故事件 E 发生的频率为 715.将频率视为概率，即得所求概率为 P(E)715.跟踪训练 4.某班同学利用国庆节进行社会实践，对25，55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组25，30)120
14、0.6第二组30，35)195p第三组35，40)1000.5第四组40，45)a0.4第五组45，50)300.3第六组50，55150.3(1)补全频率分布直方图并求 n，a，p 的值；(2)从年龄段在40，50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40，45)岁的概率解析：(1)第二组的频率为 1(0.040.040.030.020.01)50.3，所以高为0.35 0.06.频率分布直方图如下：第一组的人数为1200.6200，频率为 0.0450.2，所以 n2000.21 000.由题可知，
15、第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为 1 0000.3300，所以 p1953000.65.第四组的频率为 0.0350.15，所以第四组的人数为 1 0000.15150，所以 a1500.460.(2)因为40，45)岁年龄段的“低碳族”与45，50)岁年龄段的“低碳族”的比值为603021，所以采用分层抽样法抽取 6 人，40，45)岁中有 4 人，45，50)岁中有 2 人设40，45)岁中的 4 人为 a，b，c，d，45，50)岁中的 2 人为 m，n，则选取 2 人作为领队的选法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)
16、，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共 15 种；其中恰有 1人年龄在40，45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共 8 种所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40，45)岁的概率为 815.1(2018高考全国卷)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为()A0.6 B0.5C0.4 D0.3解析：设 2 名男同学为 a，b，3 名女同学为 A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，
17、C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 10 种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 3 种，故所求概率为 3100.3.故选 D.答案：D2(2018高考全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3 B0.4C0.6 D0.7解析：由题意可知不用现金支付的概率为 10.450.150.4.故选 B.答案：B3(2018高考全国卷)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1，p2，p3，则()Ap1p2Bp1p3Cp2p3Dp1p2p3解析：设直角三角形 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则区域的面积即ABC 的面积，为 S112bc，区域的面积 S212 c2212 b22a22212bc 18(c2b2a2)12bc12bc，所以 S1S2，由几何概型的知识知 p1p2，故选 A.答案：A
