1、解答题专题练(四)解析几何(建议用时：40分钟)1已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线，且lMN，P为l上一点，求的最小值2(2019无锡模拟)已知椭圆C中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点M(4，2)、N(，3)(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C上的任一点R(x0，y0)，从原点O向圆R：(xx0)2(yy0)28作两条切线，分别交椭圆于P，Q.试探究OP2OQ2是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由3在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y2r2和直线
2、l：xa(其中r和a均为常数，且0ra)，M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P，Q.(1) 若r2，点M的坐标为(4，2)，求直线PQ的方程；(2) 求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标4.如图，设斜率为k(k0)的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，且OAOB.(1)求直线l在y轴上的截距(用k表示)；(2)求AOB面积取最大值时直线l的方程参考答案与解析1解：(1)由题可知F，则过点F且斜率为1的直线方程为yx，代入y22px(p0)，得x23px0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x23p.因为|MN|8，所以x1x2
3、p8，即3pp8，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)设直线l的方程为yxb，代入y24x，得x2(2b4)xb20.因为l为抛物线C的切线，所以0，解得b1.所以l的方程为yx1.设P(m，m1)，则(x1m，y1(m1)，(x2m，y2(m1)，所以(x1m)(x2m)y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2.由(1)可知，x1x26，x1x21，所以(y1y2)216x1x216，y1y24.因为yy4(x1x2)，所以y1y244，所以16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714，当且仅当m2，即点P的坐标为
4、(2，3)时等号成立，则的最小值为14.2解：(1)依题意，设此椭圆方程为mx2ny21，过点M(4，2)、N(，3)，可得，解得m，n，所以椭圆C的方程为1.(2)(i)当直线OP，OQ的斜率均存在时，不妨设直线OP：yk1x，OQ：yk2x，依题意2，化简得(x8)k2x0y0k1y80，同理(x8)k2x0y0k2y80.所以k1，k2是方程(x8)k22x0y0ky80的两个不相等的实数根，k1k2.因为1，所以y12x.所以k1k2，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，所以yyxx，因为，所以，所以xx，所以xx24，yy12，所以OP2OQ236.(ii)当直线OP，OQ落在
5、坐标轴上时，显然有OP2OQ236，综上，OP2OQ236. 3解：(1)若r2，M(4，2)，则A1(2，0)，A2(2，0)直线MA1的方程为x3y20，联立解得P.直线MA2的方程为xy20，联立解得Q(0，2)由两点式得直线PQ的方程为2xy20.(2)法一： 由题设得A1(r，0)，A2(r，0)设M(a，t)，则直线MA1的方程为y(xr)，直线MA2的方程为y(xr)，联立解得P.联立解得Q.于是直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程为y.令y0得x，是一个与t无关的常数，故直线PQ过定点.法二：由题设得A1(r，0)，A2(r，0)设M(a，t)，则直线MA1的方程为y(xr)，
6、直线MA2的方程为y(xr)，则直线MA1与圆C的交点为P(x1，y1)，直线MA2与圆C的交点为Q(x2，y2)则点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在曲线(ar)yt(xr)(ar)yt(xr)0上，化简得(a2r2)y22ty(axr2)t2(x2r2)0.又因为点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在圆C上，圆C：x2y2r20.由t20得(a2r2)y22ty(axr2)t2(x2r2)t2(x2y2r2)0，化简得(a2r2)y2t(axr2)t2y0.所以直线PQ的方程为(a2r2)y2t(axr2)t2y0.令y0得x，故直线PQ过定点.4解：(1)设l：ykxt，A(x1，y1
7、)，B(x2，y2)，因为斜率为k(k0)的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，且OAOB，所以AOB90，所以0，所以x1x2(kx1t)(kx2t)0，所以(1k2)x1x2kt(x1x2)t20，(*)联立，消去y得x23(kxt)29，即(13k2)x26ktx3t290，则x1x2，x1x2，且0，代入(*)，得(1k2)(3t29)6k2t2t2(13k2)0，所以3t299k2t20，所以t2(1k2)，所以t，所以直线l在y轴上的截距为或.(2)设AOB的面积为S，O到直线l的距离为d，则S|AB|d，而由(1)知d，且|AB|3，所以S，当Smax时，9k2，解得k，所以t，所以所求直线方程为yx或yx.
