1、第十一篇 复数、算法、推理与证明 第 3 节 合情推理与演绎推理 最新考纲1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.返回导航返回导航【教材导读】1归纳推理与类比推理的主要特点是什么？提示：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；而类比推理是特殊到特殊的推理2演绎推理的主要形式是什么？提示：三段论，即大前提、小前提和结论3演绎推理所获得的结论一定可靠吗？返回导航提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真
2、实的，错误的前提则可能导致错误的结论1合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的_的推理，或者由个别事实概括出_的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的_推出另一类对象也具有这些特征的推理返回导航全部对象都具有这些特征某些已知特征一般结论特点由_到_、由_到_的推理由_到_的推理一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)共性归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较
3、、联想，再进行_、_，然后提出猜想的推理，它们得到的结论不一定成立需要进一步证明返回导航部分整体个别一般特殊特殊归纳类比2.演绎推理从_出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由_到_的推理“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提_；小前提_；结论_返回导航一般性的原理一般特殊已知的一般原理所研究的特殊情况根据一般原理，对特殊情况做出的判断【重要结论】1在演绎推理中，若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的，所得的结论就是错误的2在演绎推理中，若大前提不明确，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提返回导航1下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类
4、比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180，归纳出所有三角形的内角和都是 180；李锋某次考试成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分；三角形内角和是 180，四边形内角和是 360，五边形内角和是 540，由此得凸 n 边形内角和是(n2)180.(A)(B)(C)(D)返回导航C 解析：是类比推理，是归纳推理，是归纳推理，所以为合情推理故选 C.返回导航2(2017 全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：
5、我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()(A)乙可以知道四人的成绩(B)丁可以知道四人的成绩(C)乙、丁可以知道对方的成绩(D)乙、丁可以知道自己的成绩返回导航D 解析：依题意，四人中有 2 位优秀，2 位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有 1 位优秀，1 位良好，甲、丁必有 1 位优秀，1 位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择 D.返回导航3观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则 a10b10 等于()(A)28(B)76(C)123(D)199返回导航答案：C4
6、把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径 r a2b22(其中 a，b 为直角三角形两直角边长)类比此方法可得三条侧棱长分别为 a，b，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径 R_.返回导航答案：a2b2c225某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人被问到谁被录用时，甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真话事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是_返回导航解析：如果甲说假话，则丙被录用，那么乙也说假话了，与题设矛盾；如果乙说假话，则乙没有被录用，并也没有被录用，则甲被录
7、用，满足题意；如果丙说假话，则甲也说了假话，与题设矛盾。综上，被录用的是甲。答案：甲返回导航考点一 归纳推理考查角度 1：与数式有关的归纳推理 设an n(n 1)，利 用n(n 1)nn1n2n1nn13，求 出 数 列 an 的 前 n 项 和 Sn nn1n23，设 bnn(n1)(n2)，类比这种方法可以求得数列bn的前 n 项和 Tn_.解析：类比题中的方法裂项可得：n(n1)(n2)nn1n2n3n1nn1n24.则数列bn的前 n 项和：Tnnn1n2n34.返回导航答案：nn1n2n34【反思归纳】与数字有关的等式、不等式、函数解析式等有关的归纳推理，解决此类问题时，需要细心观
8、察式子的结构特征，找出其中的变化规律，推出一个明确表述的一般性结论返回导航考查角度 2：与图表有关的归纳推理 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为 1，两两夹角为 120；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为 120，依此规律得到 n 级分形图返回导航(1)n 级分形图中共有_条线段；(2)n 级分形图中所有线段长度之和为_返回导航解析：(1)由题图知，一级分形图有 3323(条)线段，二级分形图有 93223(条)线段，三级分形图中有 213233(条)线段，按此规律，n 级分形图中的线段条
9、数为 an32n3(nN*)(2)从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，n 级分形图中第 n 级的所有线段的长度和为 bn323n1(nN*)，n 级分形图中所有线段长度之和为 Sn32303231323n13123n1239923n.返回导航【反思归纳】与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性返回导航考点二 类比推理 若 数 列 an 是 等 差 数 列，则 数 列bnbna1a2ann也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则 dn 的
10、表达式应为()(A)dnc1c2cnn(B)dnc1c2cnn(C)dnn cn1cn2cnnn(D)dnn c1c2cn返回导航解析：若an是等差数列，则 a1a2anna1nn12d，bna1n12dd2na1d2，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则 c1c2cncn1q1 2 (n 1)cn1qnn12，dnn c1c2cnc1qn12，即dn为等比数列返回导航【反思归纳】类比推理的分类及处理方法类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手
11、，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移返回导航【即时训练】已知命题：若数列an为等差数列，且 ama，anb(mn，m，nN*)，则 amnbnamnm；现已知等比数列bn(b0，nN*)，bma，bnb(mn，m，nN*)，若类比上述结论，则可得到bmn_.返回导航解：等差数列中的 bn 和 am 可以类比等比数列中的 bn 和 am，等差数列中的 bnam 可以类比等比数列中的bnam，等差数列中的bnamnm 可以类比等比数
12、列中的nm bnam，故 bmnnm bnam.考点三 演绎推理 在数列an中，a11，a22，an(1)n2an2(n3，nN*)，其前 n 项和为 Sn.(1)求 a2n1 关于 n 的表达式；(2)观察 S1，S2，S3，S4，Sn 在数列Sn的前 100 项中相等的项有多少对返回导航解析：(1)a3a1a5a3a2n1a2n12，又 a11，从而 a2n1(2)n.(2)由(1)及条件知，数列an为 1,2，2,22，(2)2,23，(2)3,24，从而可知 S1S3，S5S7，S9S11，故在Sn的前 100 项中相等的项有25 对返回导航【反思归纳】演绎推理的结构特点(1)演绎推理
13、是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提返回导航【即时训练】已知函数 f(x)aax a(a0，且 a0)(1)证明：函数 yf(x)的图象关于点(12，12)对称(2)求 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值
14、返回导航解析：(1)函数 f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点12，12 对称的点的坐标为(1x，1y)由已知 yaax a，则1y1aax aaxax a，f(1x)aa1x aaaax aaaxa aaxaxax a，所以1yf(1x)，即函数 yf(x)的图像关于点12，12 对称(2)3返回导航返回导航归纳不准确致误 如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为 1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6 的横、纵坐标分别对应数列an(nN*)的前 12 项，如表所示a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按
15、如此规律下去，则 a2 013a2 014a2 015 等于()(A)1 004(B)1 007(C)1 011(D)2 014返回导航解析：a11，a21，a31，a42，a52，a63，a72，a84，这个数列的规律是奇数项为 1，1,2，2,3，偶数项为1,2,3，故 a2 013a2 0150，a2 0141 007，故 a2 013a2 014a2 0151 007.故选 B.返回导航易错提醒：本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的 6个点的坐标和数列的对应关系，归纳出该数列的一般关系可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准“前几项”的规律；二是弄错奇偶项的关系本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且逐一递增，即 a2nn(nN*)，各个点的横坐标对应数列的奇数项，正负交替后逐一递增，并且满足 a4n3a4n10(nN*)，如果弄错这些关系就会得到错误的结果，如认为当 n 为偶数时 ann，就会得到 a2 013a2 014a2 0152 014 的错误结论，而选 D.返回导航返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！
