1、第四章 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制、任意角的三角函数本节主要包括 3 个知识点：1.角的概念；2.弧度制及其应用；3.任意角的三角函数.突破点(一)角的概念基础联通抓主干知识的“源”与“流”1角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置_到另一个位置所形成的旋转图形2角的分类角的分类按旋转方向不同分类正角：按方向旋转形成的角负角：按_方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类象限角：角的终边在第几象限，这 个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上 顺时针逆时针3终边相同的角所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合：S|_或|2k，kZk360，kZ
2、考点贯通抓高考命题的“形”与“神”终边相同的角例 1(1)设集合 Mxxk218045，kZ，Nxxk418045，kZ，那么()AMN BMNCNM DMN 解析 法一：由于 Mxxk218045，kZ，45，45，135，225，Nxxk418045，kZ，45，0，45，90，135，180，225，显然有 MN.法二：由于 M 中，xk218045k904545(2k1)，kZ,2k1 是奇数；而 N 中，xk418045k4545(k1)45，kZ，k1 是整数，因此必有 MN.答案 B解析 所有与 45有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则 令 72045 k3600，得
3、 765k36045，解得765360k 45360(kZ)，从而 k2 或 k1.将 k2，k1 分别代入 45k360(kZ)，得 675或 315.答案 675或315(2)在7200范围内所有与 45终边相同的角为_方法技巧终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角 象限角例 2(1)给出下列四个命题：34 是第二象限角；43是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析 34 54 242，从而34 是第
4、三象限角，故错误；43 3，从而43 是第三象限角，故正确；40036040，从而400是第四象限角，故正确；31536045，从而315是第一象限角，故正确答案 C 解析 是第二象限角，22k2k，kZ，4k22k，kZ.当 k 为偶数时，2是第一象限角；当 k 为奇数时，2是第三象限角答案 C(2)若角 是第二象限角，则2是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角方法技巧确定n(n2，且 nN*)的终边位置的方法(1)讨论法用终边相同角的形式表示出角 的范围；写出n的范围；根据 k 的可能取值讨论确定n的终边所在位置方法技巧(2)等分象限角的方法已知角 是第 m(m
5、1,2,3,4)象限角，求n是第几象限角等分：将每个象限分成 n 等份；标注：从 x 轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上 1,2,3,4，直至回到 x 轴正半轴；选答：出现数字 m 的区域，即为n的终边所在的象限能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.考点一、二给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关；若sin sin，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：由于第一象限角如370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90
6、时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sin6sin56，但6与56 的终边不相同，故错；当cos 1，时，既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错综上可知只有正确答案：A 2.集合k4k2，kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是()考点一解析：当k2n(nZ)时，2n4 2n2，此时表示的范围与 4 2 表示的范围一样；当k2n1(nZ)时，2n 4 2n 2，此时表示的范围与 42表示的范围一样比较各选项，可知选C.答案：C 3.考点二若 为第一象限角，则 k180(kZ)是第_象限角解析：是第一象限角，k 为偶数时，k180 的终边在第一象限；k 为奇数时，k180 的
7、终边在第三象限即 k180(kZ)是第一或第三象限角答案：一或三4.考点一终边在直线 y 3x 上的角的集合为_解 析：终 边 在 直 线 y 3 x 上 的 角 的 集 合 为k3，kZ.答案：k3，kZ5.考点一、二已知 与 150角的终边相同，写出与 终边相同的角的集合，并判断3是第几象限角解：与 终边相同的角的集合为|k360150，kZ则3k12050，kZ.若 k3n(nZ)，3是第一象限角；若 k3n1(nZ)，3是第二象限角；若 k3n2(nZ)，3是第四象限角故3是第一、第二或第四象限角突破点(二)弧度制及其应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”1弧度制的定义把长度等于的弧所
8、对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad.2弧度制下的有关公式角 的弧度数公式|lr(弧长用 l 表示)角度与弧度的换算1 180 rad；1 rad180弧长公式弧长 l扇形面积公式S_ 半径长|r12lr12|r2考点贯通抓高考命题的“形”与“神”扇形的弧长及面积公式典例(1)已知扇形的周长是 6，面积是 2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B4 C1 或 4 D2 或 4(2)若扇形的圆心角是 120，弦长 AB12 cm，则弧长l_cm.解析(1)设此扇形的半径为 r，弧长为 l，则2rl6，12rl2，解得r1，l4或r2，l2.从而 lr414 或 lr221.答案 C解析
9、 设扇形的半径为 r cm，如图由 sin 60122r，得 r4 3(cm)，又 23，所以 l|r23 4 38 33(cm)答案 8 33(2)若扇形的圆心角是 120，弦长 AB12 cm，则弧长l_cm.方法技巧弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解 能力练通抓应用体验的“得”与“失”1若一扇形的圆心角为 72，半径为 20 cm，则扇形的面积为()A40 cm2 B80 cm2C
10、40 cm2D80 cm2解析：7225，S 扇形12r21225 20280(cm2)答案：B 2如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的_倍解析：设圆的半径为 r，弧长为 l，则其弧度数为lr.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l12r3lr，即弧度数变为原来的 3 倍答案：33弧长为 3，圆心角为 135的扇形半径为_，面积为_解析：由题可知，弧长 l3，圆心角 13534，所以半径 rl3344.面积 S12lr12346.答案：4 64已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解：设圆心角
11、是，半径是 r，则 2rr40.又 S12r212r(402r)r(20r)(r10)2100100.当且仅当 r10 时，Smax100，此时 2101040，2.所以当 r10，2 时，扇形的面积最大突破点(三)任意角的三角函数基础联通抓主干知识的“源”与“流”三角函数正弦余弦正切设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么定义_叫做 的正弦，记作 sin _叫做 的余弦，记作 cos _叫做 的正切，记作 tan 各象限符号yxyx三角函数正弦余弦正切三角函数线有向线段_为正弦线有向线段_为余弦线有向线段_为正切线MPOMAT考点贯通抓高考命题的“形”与“神”三角函数值的
12、符号判定例 1(1)若 sin tan 0，且cos tan 0，cos 30，故 sin 2cos 3tan 40，故选 C.答案：C 2已知 是第四象限角，则 sin(sin)()A大于 0 B大于等于 0C小于 0 D小于等于 0解析：是第四象限角，sin(1,0)令 sin，当10 时，sin 0.故 sin(sin)0.答案：C 3.已知角 的终边与单位圆的交点 Px，32，则 tan()A.3 B 3C.33 D 33解析：因为 Px，32 在单位圆上，所以 x23221，解得 x12.所以 tan 3.答案：B考点二4.考点二、三设 是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos 15x，则 tan()A.43B.34C34 D43解析：是第二象限角，x0.又由题意知xx24215x，解得 x3.tan 4x43.答案：D5.考点三已知角 的终边经过点(3a9，a2)，且 cos 0，sin 0，则实数 a 的取值范围是_解析：cos 0，sin 0，3a90，a20，即2a3.答案：(2,3
