1、2015-2016学年广西南宁八中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将其选出后填入答题卷1全称命题“xR，x2+5x4”的否定是（）Ax0R，x2+5x4B“xR，x2+5x4Cx0R，x2+5x4D以上都不正确2“ab且cd”是“a+cb+d”的（）A充分不必要条件B充分必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件3已知各项均为正数的等比数列an，a1a9=16，则a2a5a8的值（）A16B32C48D644设=（x，4，3），=（3，2，z），且，则xz的值为（）A9B9C4D5设A（3，
2、3，1）、B（1，0，5）、C（0，1，0），则AB的中点M到C点的距离为（）ABCD6有下列三个命题：“若xy，则x2y2”的逆否命题；“若xy=0，则x、y中至少有一个为零”的否命题；“若x2x60，则x3”的逆命题其中真命题的个数是（）A0个B1个C2个D3个7已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，则线段PP的中点M的轨迹是（）A圆B椭圆C直线D以上都有可能8已知点P（3，1）、Q（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A（24，7）B（7，24）C（7，24）D（24，7）9如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A
3、1C1与B1D1的交点若，则下列向量中与相等的向量是（）ABCD10一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（）A海里/时B34海里/时C海里/时D34海里/时11在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A（4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=（）ABCD12已知点F是双曲线=1（a0，b0）的右焦点，点E是左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于点A，若tanAEF1，则双曲线的离心率e的取值范围是B（）A（1，+）B（1，2）C（1，1+）D（2，2+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
4、，共16分把答案填在答题卷的横线上13若双曲线=1（b0）的渐近线方程式为y=，则b等于14已知z=2xy，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为15已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为16已知数列an前n项和Sn=2n1，则数列an的奇数项的前n项的和是三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知命题p：关于x的一元二次不等式x2+mx+m0恒成立；命题q：52m1，若命题“p或q”为真，“非p”为真，求实数m的取值范围18在锐角三角形ABC中，2sin（A+B）=0，c=（1）求角C的大小；（2）求ABC
5、的面积的最大值19已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）令bn=（nN*），记数列bn的前n项和为Tn求证：Tn20在边长为2的正方体ABCDABCD中，E是BC的中点，F是DD的中点（1）求证：CF平面ADE（2）求二面角EADA的平面角的余弦值21已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上的一点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为8（1）求椭圆C的方程；（2）求以椭圆C内的点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程22已知抛物线C：y2=4x，直线l：与C交于A、B两点，O为坐标原点（1）当直线l过抛物线C的焦点F时，求|A
6、B|；（2）是否存在直线l使得直线OAOB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由2015-2016学年广西南宁八中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将其选出后填入答题卷1全称命题“xR，x2+5x4”的否定是（）Ax0R，x2+5x4B“xR，x2+5x4Cx0R，x2+5x4D以上都不正确【考点】命题的否定【专题】计算题；规律型；简易逻辑【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，全称命题“xR，x2+5x4”
7、的否定是：x0R，x2+5x4故选：C【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题2“ab且cd”是“a+cb+d”的（）A充分不必要条件B充分必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】充要条件【专题】规律型【分析】由不等式的基本性持得ab且cd时必有a+cb+d若a+cb+d时，则可能有ad且cb【解答】解：ab且cda+cb+d若a+cb+d时，则可能有ad且cb，故选A【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要认真审题，仔细解答3已知各项均为正数的等比数列an，a1a9=16，则a2a5a8的值（）A16B32C48D64【考点】等比数列的性质【专题】计
8、算题【分析】由等比数列的性质可得a1a9=，结合an0可求a5，然后由a2a5a8=可求【解答】解：由等比数列的性质可得a1a9=16，an0a5=4a2a5a8=64故选D【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础试题4设=（x，4，3），=（3，2，z），且，则xz的值为（）A9B9C4D【考点】共线向量与共面向量【专题】计算题【分析】利用共线向量的条件，推出比例关系，求出x，z的值【解答】解： =（x，4，3）与=（3，2，z），共线，故有x=6，y=则xz的值为：9故选A【点评】本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题5设A（3，3，1）、B（1，0，5）、C（0，
9、1，0），则AB的中点M到C点的距离为（）ABCD【考点】点、线、面间的距离计算【专题】常规题型【分析】先由中点坐标公式求得AB的中点M的空间直角坐标，再利用空间坐标系中两点间的距离公式求出M到C点的距离即可【解答】解：A（3，3，1）、B（1，0，5）AB的中点M坐标为：（2，3），又C（0，1，0），M到C点的距离为：d=故选C【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、距离公式等基础知识，考查点、线、面间的距离计算，考查空间想象力、化归与转化思想属于基础题6有下列三个命题：“若xy，则x2y2”的逆否命题；“若xy=0，则x、y中至少有一个为零”的否命题；“若x2x60，则x3”的逆命题其中真
10、命题的个数是（）A0个B1个C2个D3个【考点】命题的真假判断与应用【专题】对应思想；定义法；简易逻辑【分析】根据四种命题的真假关系，结合逆否命题的等价性进行判断【解答】解：“若xy，则x2y2”，则命题为假命题，当x=0，y=1时，满足xy，但x2y2，不成立，即原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题；故错误，“若xy=0，则x、y中至少有一个为零”的逆命题为x、y中至少有一个为零，则xy=0，则逆命题为真命题，则命题的否命题为真命题；故正确，“若x2x60，则x3”的逆命题为x3，则x2x60，为真命题故正确故正确的是，共有2个，故选：B【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的
11、真假关系，比较基础7已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，则线段PP的中点M的轨迹是（）A圆B椭圆C直线D以上都有可能【考点】轨迹方程【专题】方案型；方程思想；交轨法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意写出已知圆的方程，设出M、P的坐标，由中点坐标公式把P的坐标用M的坐标表示，再把P的坐标代入已知圆的方程整理得答案【解答】解：如图，由题意可得，已知圆的方程为x2+y2=4，设M（x，y），P（x1，y1），则，P在圆x2+y2=4上，即x2+4y2=4，则线段PP的中点M的轨迹方程是故线段PP的中点M的轨迹是椭圆故选：B【点评】本题考查轨迹方程的求
12、法，训练了代入法求曲线的方程，是中档题8已知点P（3，1）、Q（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A（24，7）B（7，24）C（7，24）D（24，7）【考点】直线的斜率【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】根据点（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，我们将两点坐标代入直线方程所得符号相反，则我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案【解答】解：若点A（3，1）和点B（4，6）分别在直线3x2y+a=0两侧，则（3321+a）（34+26+a）0，即（a+7）（a+24）0，解得24a7，故选：D【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式与平
13、面区域，根据A、B在直线两侧，则A、B坐标代入直线方程所得符号相反构造不等式是解答本题的关键，属于基础题9如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若，则下列向量中与相等的向量是（）ABCD【考点】空间向量的基本定理及其意义【专题】计算题【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出【解答】解：=故选A【点评】本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决10一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（）A海
14、里/时B34海里/时C海里/时D34海里/时【考点】解三角形的实际应用【专题】应用题【分析】根据题意可求得MPN和，PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案【解答】解：由题意知MPN=75+45=120，PNM=45在PMN中，由正弦定理，得=，MN=68=34又由M到N所用时间为1410=4（小时），船的航行速度v=（海里/时）；故选A【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生分析问题和解决问题的能力11在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A（4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=（）ABCD【考点】椭圆的简单性质；正
15、弦定理的应用【专题】计算题【分析】由椭圆的性质得到A、C 是椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知，AB+BC=2a=10，AC=8，再利用正弦定理得=，从而求出结果【解答】解：椭圆中a=5，b=3，c=4，故A（4，0）和C（4，0）是椭圆的两个焦点，AB+BC=2a=10，AC=8，由正弦定理得=2r，=，故选 D【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的定义以及正弦定理的应用12已知点F是双曲线=1（a0，b0）的右焦点，点E是左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于点A，若tanAEF1，则双曲线的离心率e的取值范围是B（）A（1，+）B（1，2）C（1，1+）D（2，2+）【考点】双曲线的简单
16、性质【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得E（a，0），F（c，0），|EF|=a+c，令x=c，代入双曲线的方程可得|AF|，再由正切函数的定义，解不等式结合离心率公式，计算即可得到所求范围【解答】解：由题意可得E（a，0），F（c，0），|EF|=a+c，令x=c，代入双曲线的方程可得y=b=，在直角三角形AEF中，tanAEF=1，可得b2a（c+a），由b2=c2a2=（ca）（c+a），可得caa，即c2a，可得e=2，但e1，可得1e2故选：B【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，考查双曲线的方程和性质，注意运用正切函数的定义，考
17、查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共16分把答案填在答题卷的横线上13若双曲线=1（b0）的渐近线方程式为y=，则b等于1【考点】双曲线的简单性质；函数解析式的求解及常用方法【专题】计算题【分析】根据双曲线的性质求得渐近线方程的表达式求得b【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程为y=，又双曲线的渐近线方程式为y=，解得b=1故答案为1【点评】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题14已知z=2xy，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为5【考点】简单线性规划【专题】常规题型；作图题【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2xy，再利用z的几何意义求最值
18、，只需求出直线z=2xy过可行域内的点A时，从而得到z=2xy的最大值即可【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2xz，当直线经过A（2，1）时，z取到最大值，Zmax=5故答案为：5【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解15已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为15【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理【专题】综合题；压轴题【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一
19、条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x4，根据余弦定理表示出cos120的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：设三角形的三边分别为x4，x，x+4，则cos120=，化简得：x16=4x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则ABC的面积S=610sin120=15故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题16已知数列an前n项和Sn=2n1，则数列an的奇数项的前n项的和是【考点】等比数列的前n项和【
20、分析】首先由数列an的前n项和Sn表示出其通项an，再判定该数列为等比数列，进一步确定数列an的奇数项依然为等比数列，最后利用等比数列的前n项和公式求之即可【解答】解：an=SnSn1=2n12n1+1=2n1（n2），又a1=S1=1，所以an=2n1（nN+），所以数列an是1为首项、2为公比的等比数列，则数列an的奇数项是1为首项、4为公比的等比数列，所以它的前n项的和是=故答案为【点评】本题考查等比数列的判定方法及其前n项和公式三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知命题p：关于x的一元二次不等式x2+mx+m0恒成立；命题q：52m1，若命题
21、“p或q”为真，“非p”为真，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】x的一元二次不等式x2+mx+m0恒成立，0，解得m取值范围由52m1解得m范围，可得命题q由“p或q”为真，“非p”为真，即p为假命题且q为真命题，即可得出【解答】解：x的一元二次不等式x2+mx+m0恒成立，=m24m+30，解得1m3，即命题p：1m3；解52m1得m2，即命题q：m2又“p或q”为真，“非p”为真，即p为假命题且q为真命题，由m1或m3，且m2 解得m1，实数m的取值范围m1【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解集与
22、判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18在锐角三角形ABC中，2sin（A+B）=0，c=（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】方程思想；综合法；解三角形【分析】（1）由题意可得sinC=，由锐角三角形可得C=60；（2）由余弦定理和基本不等式可得20=a2+b2ab2abab=ab，再由三角形的面积公式可得【解答】解：（1）由2sin（A+B）=0得sin（A+B）=，即sin（C）=sinC=，ABC是锐角三角形，C=60；（2）由余弦定理得20=a2+b22abcos60，即20=a2+b2ab，20=a2+b2ab2abab=a
23、b（当且仅当a=b时，等号成立）SABC=absin6020=，即SABC的最大值【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式和三角形的面积公式，属中档题19已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）令bn=（nN*），记数列bn的前n项和为Tn求证：Tn【考点】数列的求和；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】（I）利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出；（II）由bn=，利用“裂项求和”与“放缩法”即可证明【解答】（I）解：设等差数列an的公差为d，a3=7，a5+a7=26，解得，an=3+2（n1）=2n+1Sn=
24、n2+2n（II）证明：bn=数列bn的前n项和为Tn=+=【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、“裂项求和”与“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20在边长为2的正方体ABCDABCD中，E是BC的中点，F是DD的中点（1）求证：CF平面ADE（2）求二面角EADA的平面角的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；向量语言表述线面的垂直、平行关系【专题】计算题；证明题【分析】（1）分别以DA，DC，DD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出各顶点坐标后，进而求出直线CF的方向向量和平面ADE的法向量，根据两个向量的数量积为0，得到两个向量垂直后，进而得到CF平面
25、ADE（2）结合正方体的几何特征，可得是面AAD的法向量，结合（1）中平面ADE的法向量为，代入向量夹角公式，即可求出二面角EADA的平面角的余弦值【解答】证明（1）：分别以DA，DC，DD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），则，设平面ADE的法向量是，则，取，所以，CF平面ADE解：（2）由正方体的几何特征可得是面AAD的法向量又由（1）中向量为平面ADE的法向量故二面角EADA的平面角满足；即二面角EADA的平面角的余弦值为【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，向量语言表述线面的平行
26、关系，其中建立适当的空间直角坐标系，将空间线面关系及面面夹角转化为向量夹角问题，是解答本题的关键21已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上的一点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为8（1）求椭圆C的方程；（2）求以椭圆C内的点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设椭圆C的方程为（ab0），运用椭圆的定义和离心率公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设以椭圆C内的点M（1，1）为中点的弦为AB，A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，作差，再由中点坐标公式和直
27、线的斜率公式，可得直线AB的斜率，再由点斜式方程可得所求直线的方程【解答】解：（1）设椭圆C的方程为（ab0），则e=，2a=8，解得a=4，c=2，则b2=a2c2=4，可得椭圆C的方程为；（2）设以椭圆C内的点M（1，1）为中点的弦为AB，A（x1，y1）、B（x2，y2），则x12+4y12=16，x22+4y22=16，x1+x2=2，y1+y2=2，作差，代入，可得2（x1x2）+42（y1y2）=0，可得，即有直线AB的方程为y1=（x1），即x+4y5=0【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和定义，考查中点弦方程的求法，注意运用点差法和中点坐标公式以及斜率公
28、式，考查化简整理的能力，属于中档题22已知抛物线C：y2=4x，直线l：与C交于A、B两点，O为坐标原点（1）当直线l过抛物线C的焦点F时，求|AB|；（2）是否存在直线l使得直线OAOB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2），根据韦达定理得到x1+x2=18，继而求出|AB|=x1+x2+2=20，（2）假设直线y=x+b，根据正弦垂直得到x1x2+y1y2=0，根据韦达定理得到x1+x2=4（4b），x1x2=4b2，即可求出b的值，问题得以解决【解答】解：（1）F（1，0），l：，由，消去y得：x218x+1=0设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=18，|AB|=x1+x2+2=20（2）OAOB，x1x2+y1y2=0由，消去y得：x2+4（b4）x+4b2=0由=16（b4）216b20得：b2又 x1+x2=4（4b），x1x2=4b2，=x1x2+y1y2=4b2+8b=0b=0（舍）或b=2l：，即x+2y4=0【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系的综合应用，主要考查韦达定理，考查运算能力，属于中档题
