1、目标导航1理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性2掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题(重点)3了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法(难点)1 新知识预习探究 知识点一直线与平面垂直直线与平面垂直的定义定义如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面 互相垂直记法l有关概念直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面它们唯一的公共点 P 叫做垂足图示 画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语
2、言la，lb，a，b，abPl作用判断直线与平面垂直【练习 1】下列说法中错误的是()如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线A BCD解析：如图，直线 A1B1BC，BC面 ABCD，显然 A1B1面 ABCD，错；由于 A1B1面 ABCD，B1C1A1B1，但 B1C1面 ABCD，错；AA1面 ABCD，A1B1AA1，但 A1B1面 ABCD，错由直线与平面垂直的定义知正确，故选 D.答案：D知
3、识点二直线与平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面，但不和这个平面，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引的直线叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于 0.因此，直线与平面所成的角 的范围是.相交垂直交点垂线，过垂足和斜足90090【练习 2】如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是棱DD1 的中点求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值解析：取 AA1
4、 的中点 M，连接 EM，BM，因为 E 是 DD1 的中点，四边形 ADD1A1 为正方形，所以 EMAD.又在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD平面 ABB1A1，所以 EM平面 ABB1A1，从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影，EBM 即为直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角设正方体的棱长为 2，则 EMAD2，BE 2222123，于是在 RtBEM 中，sinEBMEMBE23，即直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为23.2 新视点名师博客1.线面垂直定义的透析定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同，
5、定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式2线面垂直判定定理的理解(1)直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”，这里“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”，不是“一条”“无数条”，也不是“两条平行直线”；“线面”是指这条直线和两相交直线所在的平面，要证线面垂直，只需证直线与平面内的两条相交直线垂直即可，至于这两条直线与已知直线是否有公共点，是无关紧要的(2)定理在使用时五个条件缺一不可即 la，lb，a，b，abOl.(3)重要结论两平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面即 ab，ab.一条直线垂直于两个
6、平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面即 a，a.注：这两个结论也可作为直线和平面垂直的判定来使用另外还有定义、判定定理是证线面垂直的常用方法3求线面角的解题步骤求直线与平面所成角的步骤为“作角，证角，求角”，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心，垂心，重心等.3 新课堂互动探究 考点一线面垂直关系的判定例 1下列命题中正确的个数是()如果直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则 l；如果直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则 l；如果直线 l 不垂直于，则 内没有与 l 垂直的直线；如果直线 l 不垂直于，则
7、 内也可以有无数条直线与 l 垂直A0 B1C2 D3分析：根据线面垂直的概念进行判断，注意将文字语言转化为图形语言，借助于图形的直观性帮助思考解析：当 内的无数条直线平行时，l 与 不一定垂直，故不对；当 l 与 内的一条直线垂直时，不能保证 l 与 垂直，故不对；当 l 与 不垂直时，l 可能与 内的无数条直线垂直，故不对；正确故选 B.答案：B点评：注意直线和平面垂直定义中的关键词语变式探究 1 下面叙述中：若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；若直
8、线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线其中正确的有()A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；由定义知正确；中直线与梯形的两腰所在直线垂直，则与梯形所在平面垂直，由定义知也与两底边所在直线垂直，所以正确；中直线与梯形两底边所在直线垂直，则不一定与梯形所在平面垂直，故不一定与两腰所在直线垂直，不正确，故选 B.答案：B考点二 线面垂直关系的证明例 2如图所示，空间四边形 ABCD 的边 BCAC，ADBD，作BECD，垂足为 E，作 AHBE，垂足为 H.求证：AH平面 BCD.分析：解析：如图所示，取 A
9、B 的中点 F，连接 CF，DF.由已知 ACBC，ADBD，ABCF，ABDF.CFDFF，AB平面 CDF.而 CD平面 CDF，ABCD.又BECD，且 ABBEB，连接 AE，CD平面 ABE.又 AH平面 ABE，AHCD.又AHBE，且 BECDE，BE平面 BCD，CD平面 BCD，AH平面 BCD.点评：线面垂直的判定定理的应用(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；根据判定定理得出结论(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形
10、，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法变式探究 2 如图，AB 为O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，ANPM，N 为垂足(1)求证：AN面 PBM.(2)若 AQPB，垂足为 Q，求证：NQPB.解析：(1)AB 为O 的直径，AMBM.又 PA面 ABM，PABM.又PAAMA，BM面 PAM.又 AN面 PAM，BMAN.又 ANPM，且 BMPMM，AN面 PBM.(2)由(1)知 AN平面 PBM，PB平面 PBM，ANPB.又AQP
11、B，ANAQA，PB平面 ANQ.又 NQ平面 ANQ，PBNQ.考点三直线与平面所成的角例 32014河南灵宝市高一检测如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAD1，AA12，点 P 为 DD1 的中点(1)求证：直线 BD1平面 PAC；(2)求 CP 与平面 BDD1B1 所成角的大小 分析：(1)利用线线平行证明线面平行(2)确定直线 CP 在平面 BDD1B1 内的射影，作出所求的线面角，在直角三角形中求角的大小解析：(1)证明：设 AC 和 BD 交于点 O，连 PO.由 P，O 分别是 DD1，BD 的中点，故 POBD1，PO平面 PAC，BD平面 PAC，所以直线
12、BD1平面 PAC.(2)长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAD1，底面 ABCD 是正方形，则 ACBD，又 DD1面 ABCD，则 DD1AC，BD平面 BDD1B1，D1D平面 BDD1B1，BDD1DD，AC面 BDD1B1，CP 在平面 BDD1B1 内的射影为 OP，CPO 是 CP 与平面 BDD1B1 所成的角，依题意得 CPCD2DP2 2，CO12AC 22，在 RtCPO 中，CO12CP，CPO30，CP 与平面 BDD1B1 所成的角为 30.点评：求线面角的关键是找出或作出直线与平面所成的角，然后放在直角三角形中求解，具体步骤如下：(1)作图：作(或找)出斜
13、线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算变式探究 3 如图，三棱锥 ASBC 中，BSC90，ASBASC60，SASBSC.求直线 AS 与平面 SBC 所成的角分析：ASBASC60SASBSC SAACAB 取BC中点D ADBC 证AD2SD2SA2 ADSD AD平面SBC ASD为所求角 结论解析：因为ASBASC60，SASBSC，所以ASB 与SAC 都是等边三角形因此，AB
14、AC.取 BC 的中点 D，连接 AD，SD，则 ADBC.设 SAa，则在 RtSBC 中，BC 2a，CDSD 22 a.在 RtADC 中，AD AC2CD2 22 a，则 AD2SD2SA2，所以 ADSD.又 BCSDD，所以 AD平面 SBC.因此，ASD 即为直线 AS 与平面 SBC 所成的角在 RtASD 中，SDAD 22 a，所以ASD45，即直线 AS 与平面 SBC 所成的角为 45.4 新思维随堂自测1.2014聊城高一检测下列条件中，能使直线 m平面 的是()Amb，mc，b，cBmb，bCmbA，bDmb，b解析：由线线平行及线面垂直的判定定理知选项 D 正确答
15、案：D2.2014银川高一检测 正 方 体ABCDA1B1C1D1 中，BD1 与平面 ABCD所成角的余弦值为()A.23 B.33C.23 D.63解析：连接 BD，BD1 在平面 ABCD 内的射影为 BD.BD1 与平面 ABCD 所成的角为DBD1，设正方体的棱长为 1，则 BD 2，BD1 3，cosDBD1 BDBD1 23 63.答案：D3给出下列命题：ab，ba；a，a；PO，O 为垂足，PAA，a，aOAaPA；a，bab.其中正确命题的个数为()A1 B2C3 D4解析：正确，正确，由 aOA，aPO 知 aPA，正确，正确答案：D4在三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱
16、长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是()A30 B45C60 D90解析：如图，取 BC 的中点 E，连接 AE，则 AE平面 BCC1B1.故ADE 为直线 AD 与平面 BB1C1C 所成的角设各棱长为 a，则 AE 32 a，DE12a.tanADE 3.ADE60.答案：C5如图所示，在三棱锥 PABC 中，PAC和ABC 都是边长为 a 的正三角形，D 为 AC的中点，PD平面 ABC，求 PB 与平面 ABC 所成的角解析：在三棱锥 PABC 中，连接 BD.PD平面 ABC，PBD 是 PB 与平面 ABC
17、所成的角PAC 和ABC 都是边长为 a 的正三角形，D 为 AC 的中点，BDPD 32 AB 32 a.BD平面 ABC，PDBD.在等腰 RtPBD 中，PBD45，即直线 PB 与平面 ABC 所成的角是 45.5 辨错解走出误区易错点：利用线面垂直的判定定理忽视“相交直线”这一重要条件【典例】如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F、G 分别是 AB、B1B、C1C 的中点，求证：B1E平面 A1FGD1.【错解】F、G 分别为棱 B1B、C1C 的中点，BCFG.BCAB，BCB1B，且 B1BABB，BC平面 A1ABB1.又B1E平面 A1ABB1，BCB1E，即
18、FGB1E.同理 A1D1B1E，B1E平面 A1FGD1.【错因分析】本题的错误在于只证明了直线和平面内的两条平行直线垂直，不符合判定定理的要求根据线面垂直的判定定理，直线要垂直于平面内的两条相交直线时才能垂直于这个平面【正解】E、F 分别为 AB、B1B 的中点，且 ABB1B，B1FBE.RtA1B1FRtB1BE，B1A1FBB1E.B1A1FB1FA190，BB1EB1FA190，B1EA1F.F、G 分别为棱 B1B、C1C 的中点，FGBC.又BCBA，BCB1B，且 BAB1BB，BC平面 A1ABB1.又B1E平面 A1ABB1，BCB1E.FGB1E.FGA1FF，B1E平面 A1FGD1.
