1、第九节 离散型随机变量的均值与方差 1.离散型随机变量的均值与方差(1)离散型随机变量X的分布列 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn(2)离散型随机变量X的均值与方差 均值(数学期望)方差 计 算 公 式 E(X)=_ _ D(X)=_ 作 用 反映了离散型随机变量 取值的_ 刻画了随机变量X与其均值 E(X)的_ 标 准 差 方差的算术平方根 为随机变量X的标准差+xnpn x1p1+x2p2+xipi n2iii 1xE Xp平均水平 平均偏离程度 D(X)2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=_.(2)D(aX+b)=_(a,b为常数).3.两点分布与二项分布的均
2、值和方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)=_,D(X)=_.(2)若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X B(n，p)，则E(X)=_,D(X)=_.aE(X)+b a2D(X)p p(1-p)np np(1-p)判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定.()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.()(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.()【解析】(1)错误.期
3、望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均值，反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)正确.由于随机变量的取值是确定值，而每一个随机变量的概率也是确定的，因此随机变量的均值是定值，即为常数；而样本数据随着抽样的次数不同而不同，因此其平均值也不相同.(3)正确.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小；方差或标准差越大，则偏离变量平均程度越大.(4)错误.均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，均值反映了平均水平，而方差则反映它们与平均值的偏离情况.答案:(1)(2)(3)(4)1设投掷1颗骰子的点数为，则()(A)E()
4、3.5，D()3.52(B)E()3.5，D()(C)E()3.5，D()3.5(D)E()3.5，D()35123516【解析】选B.显然=1,2,3,4,5,6，P(=i，i=1,2,3,4,5,6)=所以，E()(1+2+3+4+5+6)=3.5，D()(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2=16，161635.122某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的 日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)()(A)60.82元 (B)68.02元(
5、C)58.82元 (D)60.28元【解析】选A.E()100 (10)60.82.2353651303653.设XB(n,p)，若E(X)12，D(X)4,则n，p的值分别 为()(A)18和 (B)16和 (C)20和 (D)15和【解析】选A.由已知条件得：np=12，np(1-p)=4，解得：n=18，p=.23121314234有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到 次品的个数，则E(X)等于()(A)(B)(C)(D)1【解析】选A.离散型随机变量X服从N10，M3，n2的超几 何分布，E(X)358151415nM2 33.N1055.某学校要从5名男生和2名女
6、生中选出2人作为学校运动会的志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(X)_(结果用最简分数表示)【解析】首先X0,1,2 P(X0)P(X1)P(X2)E(X)答案:2527C10,C21112527C C10,C212227C1C21，10101124012.21212121747考向 1 离散型随机变量的均值与方差【典例1】(1)已知离散型随机变量X的分布列为：则E(X)_，D(X)_.X 100 90 80 P 0.4 0.2 0.4(2)已知离散型随机变量X的分布列为：则E(X)_，E(2X-3)_.X-2-1 0 1 2 P m 141315120(3)(2
7、013海口模拟)高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选数学运算的有1人，选数学解题思想与方法的有5人，第二小组选数学运算的有2人，选数学解题思想与方法的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.求选出的4人均选数学解题思想与方法的概率；设 为选出的4个人中选数学运算的人数，求 的分布列和数学期望.【思路点拨】(1)利用期望、方差的公式直接计算即可.(2)先由概率分布列的性质求出m值，再利用期望值公式即可得出结论.(3)可由4人分别来自两个不同的小组，因此，从第一、二小组分别选两人是相互独立的事件，从而即可求解
8、；确定随机变量的取值是关键的一步，然后再计算各个概率值即得分布列，最后计算数学期望.【规范解答】(1)由已知及期望、方差的公式得：E(X)0.4100+0.290+0.480=90，D(X)0.4(100-90)2+0.2(90-90)2+0.4(80-90)2=80.答案:90 80(2)由概率分布列的性质可知：解得：因此 E(X)E(2X-3)2E(X)-3 答案:1111m143520，1m,611111172101243562030 ，17622()3.301517306215(3)设“从第一小组选出的2人选数学解题思想与方法”为事件A，“从第二小组选出的2人选数学解题思想与方 法”为
9、事件B.由于事件A，B相互独立,且 所以选出的4人均选数学解题思想与方法的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=22542266C2C2P A,P B.C3C5224.3515由题意知可能的取值为0,1,2,3.得P(=0)=4,15211125524422226666152266CCC CC22P1,CCCC45C11P3,CC452P21P0P1P3,9 的分布列为 的数学期望E()=0 1 2 3 P 4222101231.1545945 145292245415【互动探究】在题(1)中，若条件不变，则E(2X+4)_，D(2X+4)_.【解析】由(1)知E(X)90，D(X)80，因此
10、，E(2X+4)2E(X)+4290+4=184，D(2X+4)4D(X)480=320.答案:184 320【拓展提升】求离散型随机变量的均值与方差的步骤(1)理解的意义，写出可能的全部值.(2)求取每个值的概率.(3)写出的分布列.(4)由均值的定义求E().(5)由方差的定义求D().【变式备选】在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某歌唱家判断正确的概率为 p，判断错误的概率为q，若判断正确则加1分，判断错误则减1 分，现记“该歌唱家答完n题后总得分为Sn”.(1)当p=q=时，记=|S3|，求 的分布列、数学期望及方差.(2)当p=q=时，求S8=2且
11、Si0(i=1,2,3,4)的概率.12 1,323【解析】(1)=|S3|的取值为1，3，p=q=，故P(=1)=P(=3)=()3+()3=.所以的分布列为：E()=1 +3 =，D()=(1-)2 +(3-)2 =.121231132C()()224，121214 1 3 P 34143234143234321434(2)当S8=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错 误的题数是3题，又已知Si0(i=1,2,3,4)，若第一题和第二 题回答正确，则其余6题可任意答对3题，P1=若第一题和第三题回答正确，第二题回答错误，则后5题可任 意答对3题，P2 此时的概率为P=P1+P2
12、=23336112()C()()333；233251212()C()().333378080.32 187考向 2 与二项分布有关的期望与方差【典例2】(1)某同学参加科普知识竞赛，需回答4个问题，每 一道题能否正确回答是相互独立的，且回答正确的概率是 若回答错误的题数为,则E()=_,D()=_.34，(2)(2012天津高考)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；求这4个人中去参加甲游
13、戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量 的分布列与数学期望E().【思路点拨】(1)依题意先判断随机变量服从二项分布，再直接用公式解答.(2)先确定随机变量，再判断其是否服从二项分布，依据公式直接得出结论；先分析该事件的构成，然后解答得出结论；先确定随机变量的取值，再分别求出概率，最后求出分布列及期望.【规范解答】(1)由题意知，随机变量服从二项分布，所以 E()=4 =3,D()=4 (1-)=.答案:3 (2)依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 去 参加乙游戏的概率为 设“这4个人中恰有i人去参加甲游 戏”
14、为事件Ai(i0,1,2,3,4)，则P(Ai)343434343413，2.3ii4i412C()().33这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P(A2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则BA3A4，由于A3与A4互斥，故 P(B)P(A3)P(A4)所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 2224128C ()().33273344441211C()C().33391.9的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故 P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).827408
15、11781所以的分布列是 随机变量的数学期望E()0 2 4 40811781 0 2 4 P 82740811781827148.81【拓展提升】与二项分布有关的期望、方差的求法(1)求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果B(n,p)，则用公式E()=np,D()=np(1-p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(a+b)=aE()+b以及E()=np求出E(a+b)，同样还可求出D(a+b).【提醒】E(a+b)=aE()+b，但注意D(a+b)aD()+b，D(a+b)aD()
16、.【变式训练】今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量例如，家居用电的碳排放量(千克)耗电度数0.785，汽车的碳排放量(千克)油耗公升数0.785等某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：A小区 低碳族 非低碳族 比例P B小区 低碳族 非低碳族 比例P 12124515(1)如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是“低碳族”的概率.(2)A小区经过大力宣传，每周“非低碳族”中有
17、20%的人加入到“低碳族”的行列如果2周后随机地从A小区中任选25人，记 表示25人中“低碳族”人数，求E()【解析】(1)记这4人中恰有2人是“低碳族”为事件A，P(A)(2)设A小区有a人，2周后1人是“非低碳族”的概率 P 2周后1人是“低碳族”的概率P 依题意B(25，)，所以E()25 17.111111411144334.225522552255100211a(1)825a25，81712525，17251725考向 3 均值与方差的实际应用【典例3】(1)两台相互独立工作的电脑产生故障的概率分别为a，b，则产生故障的电脑台数的均值为()(A)ab (B)ab(C)1ab (D)1
18、ab(2)一个盒子中装有大小相同的10个小球，其中2个红球，4个 黑球，4个白球规定：一次摸出3个球，如果这3个球是同色 的，就奖励10元，否则罚款2元 若某人摸一次球，求他获奖励的概率；若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变 量 为获奖励的人数，求P(1)及这10人所得钱数的期 望(结果用分数表示，参考数据：)10141()152【思路点拨】(1)产生故障的电脑台数的均值为其期望值，可由期望公式解决.(2)本题为等可能事件的概率，属于古典概型；显然随机变量服从二项分布，运用二项分布的知识解决即可.【规范解答】(1)选B.因为产生故障的电脑台数的均值为其期 望值，由期望值公式可
19、得：所求均值为ab.(2)由已知得，摸一次球获奖励的概率为P 由题意，B(10，)，则P(1)1P(0)P(1)1()10 设为一人在一局中的输赢，则E()E(10)10E()10()12.343102C1.C15115141519101141C.15157（）114610215155，65【拓展提升】均值与方差的实际应用(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用 来描述X的分散程度.(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，
20、它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.D(X)【变式训练】某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交的保险金为_元【解析】设要求投保人交x元，公司的收益额作为随机变量，则P(x)1p，P(xa)p，故E()x(1p)(xa)pxap，xap0.1a，x(0.1p)a.答案:(0.1p)a 【满分指导】概率分布列及其期望值、方差综合题的求解【典例】(12分)(2012辽宁高考改编)电视传媒公司为了解某地
21、区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”(1)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷 体育迷 总计 男 女 10 55 总计(2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电 视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次记 被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果 是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X)附：22n adbcK.abcdacbdP(K2k0)
22、0.05 0.01 k0 3.841 6.635【思路点拨】已 知 条 件 条 件 分 析 看该体育节目时间的频率分布直方图 由图得出符合条件的频率，频率可估计概率 收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”得出什么为“体育迷”随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，每次抽取的结果是相互独立的 3次独立重复试验【规范解答】(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22列联表如下：2分 非体育迷 体育迷 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将22列联表中的数据代入公式计算，得 4分 因为3.0303.841，所以没有
23、理由认为“体育迷”与性别有关 6分 210030 10 15 45100k3.030.45 55 75 2533(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频 率视为概率，即从观众中抽取1名“体育迷”的概率为 8分 由题意XB(3,)，从而X的分布列为 10分 1.414X 0 1 2 3 P 27642764964164E(X)np 11分 D(X)np(1p)12分 13344 ，1393.4416【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013清远模拟)设X为随机变量，XB(n,)，若随机变 量X的数学期望E(X)2，则P(X2)等于()(A)(B)(C)(D)【解析】选D
24、.XB(n,)，E(X)2，n6，P(X2)1313164243132438024313n322461280C.33243（）（）2.(2013河源模拟)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客 在这三层的每一层下电梯的概率均为 用 表示5位乘客在20 层下电梯的人数，则随机变量 的期望E()=()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.依题意，该问题可看作是5次独立重复试验,B(5,),E()=5 =.13，437353231313533.(2013衡水模拟)若 B(n，p)且E()6，D()3，则P(1)的值为()(A)322 (B)
25、3210 (C)24 (D)28【解析】选B.E()np6，D()np(1p)3p ，n12，P(1)1211210121C3 2.2（）4.(2013惠州模拟)某射手射击所得环数 的分布列如下：已知 的期望E()=8.9，则y的值为_.7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y【解析】依题意有：解方程组得：答案:0.4 x0.1 0.3y1,7x0.1 80.3 9 10y8.9,x0.2,y0.4.5.(2013成都模拟)为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ用户推出了多款QQ应用，如“QQ农场”“QQ音乐”“QQ读书”等.某校研究性学习小组准备举行一次“QQ使用情况”调查，从高二年级的一、二
26、、三、四班中共抽取10名学生代表参加，抽取不同班级的学生人数如下表所示：班级 一班 二班 三班 四班 人数 2人 3人 4人 1人(1)从这10名学生中随机选出2名，求这2人来自相同班级的概 率.(2)假设在某时段，3名学生代表甲、乙、丙准备分别从“QQ农 场”“QQ音乐”“QQ读书”中任意选择一项，他们选择“QQ农 场”的概率都为 选择“QQ音乐”的概率都为 选择“QQ读 书”的概率都为 他们的选择相互独立.设在该时段这3名学 生中选择“QQ读书”的总人数为随机变量，求随机变量 的 分布列及数学期望E().16；13；12；【解析】(1)记这2名学生都来自第i班为事件Ai(i=1,2,3,4
27、),则 P=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=223212221010CC131P(A);P A;C45C45152434210C62P A;P A0.C4515102.459(2)的取值为0，1，2，3，则B(3,),的分布列为：E()=1231331113P0;P1C;2828 （）（）2333331311P2C;P3C.2828 （）（）0 1 2 3 P 18183838 13313130123E3.8888222 或1已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴在y轴的左 侧其中a，b，c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线 中，若随机变量X|ab|的取值，则X的数学期望E(X)()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有 126条，X的可能取值有0,1,2.P(X0)P(X2)893525131113372C C C6 718 74P X 112631269，4 728E X.12699 ，2.已知离散型随机变量，满足 8，且 B(10,0.6)，则E()，D()分别是()(A)6，2.4 (B)2，2.4(C)2，5.6 (D)6，5.6【解析】选B.由均值、方差的性质，8，得 8，E()8E()8100.62，D()D(8)(1)2D()100.6(1-0.6)2.4.
