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2012优化方案数学精品课件(苏教版选修1-1):3.3.3 最大值与最小值.ppt

上传人:高**** 文档编号:25260 上传时间:2024-05-23 格式:PPT 页数:36 大小:989.50KB
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资源描述

1、33.3 最大值与最小值学习目标1.能够区分极值与最值两个不同的概念;2掌握用导数求函数的极值与最值的步骤,会求闭区间上函数的最大值与最小值 课堂互动讲练 知能优化训练 33.3 课前自主学案 课前自主学案 1函数极值是_概念,极值只是某个点的函数值与它附近的点的函数值相比是最大或最小,并不意味着它在函数的_内最大或最小2函数的极值_惟一的,即函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值_温故夯基一个局部某区间上或整个定义域不是可以不止一个3极大值与极小值之间无确定的_关系,即一个函数的极大值未必_极小值大小大于1函数的最大值与最小值 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的xI,总有f(x)

2、f(x0),则f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值最大值是相对函数定义域整体而言的,如果存在最大值,那么最大值_知新益能惟一观察右图中一个定义在闭区间a,b上的函数f(x)的图象,图中_是极小值,_是极大值,函数f(x)在a,b上的最大值是_,最小值是_一般地,在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值f(x1)与f(x3)f(b)f(x3)f(x2)(1)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的(2)函数在其定义区间上的_最多各有一个,而函数的_可能不止一个,也可能一个也没有2求函数yf(x)在区间a,b上的最值的步骤:第

3、一步,求f(x)在区间(a,b)上的_;第二步,将第一步中求得的_与_比较,得到f(x)在区间a,b上的最大值与最小值最大值,最小值极值极值极值f(a),f(b)在区间a,b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,想一想,在a,b上一定存在最值和极值吗?提示:一定有最值,但不一定有极值如果函数f(x)在a,b上是单调的,此时f(x)在a,b上无极值;如果f(x)在a,b上不是单调函数,则f(x)在a,b上有极值问题探究 课堂互动讲练 在求函数的最大值和最小值时,需要先确定函数的极值,因此函数极值的求法是关键求函数的最值 考点突破【思路点拨】函数f(x)在给定闭区间上连续可导,必有最大值和最

4、小值,因此,在求闭区间a,b上函数的最值时,只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值,然后与端点处函数值比较大小即可求下列函数的最值:(1)f(x)12xsinx,x0,2;(2)f(x)13x32x23x,x0,4例1【解】(1)f(x)12cosx.令 f(x)0,解得 x23 或 x43.当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:当x0时,f(x)有最小值f(0)0;当x2时,f(x)有最大值f(2).(2)f(x)x24x3(x3)(x1),由f(x)0,解得x1或x3.列表:由上表可知,函数在区间0,4上的最大值是 0,最小值是43.【名师点评】若函数f(x)在闭区间

5、a,b上连续,在开区间(a,b)上可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值,其最值一定在极值点处或区间端点处取得,因此在求闭区间a,b上连续,开区间(a,b)内可导的函数的最值时,可将过程简化,即不用判断导数为零的点是极大值点还是极小值点,直接将极值点与端点的函数值进行比较,就可判定最大(小)的函数值对于开区间(a,b)内可导的函数(定义域为开区间或半开半闭区间)求最值,除求出函数的极大值、极小值外,还应考虑函数在区间端点处的函数值或画出函数的大致图象,再判定函数的最大(小)值,否则会犯错误,但定义在开区间(a,b)上的可导函数,如果只有一个极值点,该极值点必为最值点函数解析式中含有参数,

6、求最值,往往需要讨论已知a是实数,函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3,求a的值及曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求f(x)在区间0,2上的最大值含参数的最值问题 例2【思 路 点 拨】先 对 函 数 求 导,由f(1)3得a的值及切线方程;根据a的不同取值范围,讨论确定f(x)在0,2上的最大值【解】(1)f(x)3x22ax.因为 f(1)32a3,所以 a0.当 a0 时,f(1)1,f(1)3,所以曲线 yf(x)在(1,f(1)处的切线方程为 3xy20.(2)令 f(x)0,解得 x10,x22a3.当2a3 0,即 a0 时,f(x)在0,2上单调递增,

7、从而f(x)maxf(2)84a.当2a3 2,即 a3 时,f(x)在0,2上单调递减,从而f(x)maxf(0)0.当 02a3 2,即 0a3 时,f(x)在0,2a3 上单调递减,在2a3,2 上单调递增,从而f(x)max84a,0a2,0,2a2.互动探究1 将本例(2)中区间0,2改为1,0,结果如何?解:令 f(x)0,解得 x10,x223a,当23a0,即 a0 时,f(x)在1,0上单调递增,从而 f(x)maxf(0)0;当23a1,即 a32时,f(x)在1,0上单调递减,从而 f(x)maxf(1)1a;当123a0,即32a0 时,f(x)在1,32a上单调递增;

8、在23a,0上单调递减则 f(x)maxf23a 427a3.综上所述:f(x)max1a a32,427a332a0,0 a0.恒成立求参数范围:若f(x)f(x)max;若f(x)c恒成立,则c0)(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立,求实数m的取值范围例3【思路点拨】先通过配方求f(x)的最小值,然后由h(t)2tm,得t33t1m0),当xt时,3分 f(x)取最小值f(t)t3t1,即h(t)t3t1.6分(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m,由g(t)3t230,得t1或t1(不合题意,舍去).8分当t变化时,g(t),g(t)的变

9、化情况如表:g(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m,12分 h(t)2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立,即等价于1m1.14分【名师点评】有关恒成立问题,一般是转化为求函数的最值问题确定这个函数,要看哪一个变量的范围已知,即函数是以已知范围的变量为自变量的函数自我挑战2 设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a、b的值;(2)若对于任意的x0,3,都有f(x)0;当x(1,2)时,f(x)0.所以,当x1时,f(x)取得极大值f(1)58c,又f(0)8c,f(3)98c.则当x0,3时,f(x)的最大值为f(3)98c.因为对于任意的x0,3,有f(x)c2恒成立,所以98cc2,解得c9,因此c的取值范围为(,1)(9,)1函数存在最值的条件:(1)给定函数的区间必须是闭区间,即f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值;(2)在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间断点亦不能保证f(x)有最大值和最小值方法感悟 2函数的最值与极值不是同一个概念若函数在闭区间a,b内有多个极值时,则最值由极值与端点处的函数值相比较得到,若在闭区间a,b内为单峰函数,则极值点就是最值点函数极值与区间端点值的比较,得到函数最大(小)值,从而可以直接利用求极值时的列表分析的途径来得到最大(小)值知能优化训练

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