1、2.绝对值不等式的解法【自主预习】1.含绝对值不等式|x|a的解法(1)|x|a _(a0)._(a0),_(a0).-axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法(1)|ax+b|c_.(2)|ax+b|c_.-cax+bc ax+bc或ax+b-c 3.|x-a|+|x-b|c和|x-a|+|x-b|c型不等式的三种解法(1)利用绝对值不等式的几何意义.(2)利用x-a=0,x-b=0的解,将数轴分成三个区间,然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之.(3)通过构造函数,利用函数图象.【即时小测】1.若不等式|8x+9|7和不等式x2+ax+b0的解集相同,则a=_
2、,b=_.【解析】由|8x+9|7得-2x 所以-a=(-2)+所以 答案:1,419(),44 911a,b2().442 91422.不等式 的解集是_.【解析】由 知 0,解得0 x2.答案:x|0 x2 xx|2xx2xx|2xx2xx23.不等式|x+1|2-x的解集是_.【解析】当x-1时,原不等式可化为x+12-x,解得x 当x-1时,原不等式可化为-(x+1)2-x,此不等式无解.1;2综合上述,不等式|x+1|2-x的解集为 答案:1x|x.21x|x2【知识探究】探究点 绝对值不等式的解法 1.|x|的几何意义是什么?提示:|x|表示数轴上的点x到原点0的距离.2.|x-a
3、|x-b|(ab)型的不等式如何来解?提示:可通过两边平方去绝对值符号的方法求解.【归纳总结】1.|x-a|x-b|的几何意义 数轴上的点x到点a,b的距离之和(差)2.解含绝对值不等式的关键 解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,转化为不含绝对值的不等式.3.|f(x)|g(x)|的解法 关于|f(x)|g(x)|的解法可利用|x|0)x2a2的思想去掉绝对值符号(首先使f(x),g(x)都有意义).【典例】1.(2016承德高二检测)若不等式|8x+9|0的解集相同,则a,b的值为()A.a=-8,b=-10 B.a=-4,b=-9 C.a=-1,b=9 D.a=-1,b=2 2.对于x
4、R,解不等式|2x-3|-x3.【解题探究】1.|8x+9|7的解集是什么?提示:2.典例2中不等式|2x-3|-x3等价于什么?提示:|2x-3|-x3|2x-3|x+3.2x-3x+3或2x-3-x-3.1x2x.4【解析】1.选B.|8x+9|7-78x+97,解得-2x 因为不等式|8x+9|0的解集相同,所以-2和 是方程ax2+bx-2=0的两根,由根与系数的关系得:1,4141b2,a4,4a12b9.2(),4a 解得2.方法一:原不等式等价于|2x-3|x+3,即2x-3x+3 或2x-3-x-3,解得x6或x0.所以不等式的解集为(-,06,+).方法二:由题知 解得x6或
5、x0,所以不等式的解集为(-,06,+).2x302x3 0 x333 3x3,，或【方法技巧】含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法(1)形如|f(x)|a(aR)型不等式.当a0时,|f(x)|a-af(x)af(x)a或f(x)-a;当a=0时,|f(x)|af(x)0;当a0时,|f(x)|af(x)有意义即可.(2)形如|f(x)|g(x)型不等式.|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x)(其中g(x)可正也可负).(3)形如a|f(x)|a0)型不等式.a|f(x)|b(0ab)af(x)b或-bf(x)-a.(4)形如|f(x)|f(x
6、)型不等式.|f(x)|f(x)f(x)0.【变式训练】1.不等式|5x-x2|6的解集为()A.x|x3 B.x|-1x2或3x6 C.x|-1x6 D.x|2x3【解析】选B.不等式|5x-x2|6等价于-65x-x26,由5x-x23或x2;由-65x-x2解得-1x6.综上知不等式|5x-x2|6的解集为x|-1x2或3x6.2.解不等式:1c(c0)或|ax+b|0)型不等式后逐一求解,也可利用分区讨论法分两种情况去掉绝对值符号,还可用平方法转化为不含绝对值的不等式.【解析】方法一:原不等式等价于不等式组 即 解得-1x1或3x5,所以原不等式的解集为x|-1x1或3x5.x21,x
7、23,x1x3,1x5,或方法二:原不等式可转化为:或 由得3x5,由得-1x1,所以原不等式的解集是x|-1x1或3x5.x20,1x23 x20,1x23,方法三:原不等式的解集就是1(x-2)29的解集,即 解得 所以-1x1或3x5.所以原不等式的解集是x|-1x1或3a恒成立,求实数a的取值范围.【解题探究】典例(1)如何去掉|2x+1|+|2x-3|6的绝对值符号?(2)如何求f(x)的最小值?提示:(1)将x分成x ,-x 和x-三种情况,通过分类讨论去掉绝对值,将原不等式等价转化为三个 一元一次不等式组,解这些不等式组即可得到原不等式 的解集.(2)利用绝对值不等式性质:|a|
8、+|b|a-b|,求出|2x+1|+|2x+a|的最小值|1-a|.32121232【解析】(1)当a=-3时,f(x)6为|2x+1|+|2x-3|6,等价于 解得 x2或-x 或-1x-,所以不等式f(x)6的解集为-1,2.1313xxx22222x 12x362x 12x362x 1 2x36 ，或或，32123212(2)因为|2x+1|+|2x+a|2x+1-(2x+a)|=|1-a|,所以a|1-a|,解得a ,即实数a取值范围 121().2，【延伸探究】1.若将本例条件“f(x)=|2x+1|+|2x+a|”换为“f(x)=|2x+1|-|2x+a|”,且f(x)a对任意x恒
9、成立,求a的取值范围是什么?【解析】因为|2x+1|-|2x+a|2x+1-2x-a|=|1-a|因为f(x)a恒成立,所以|1-a|,所以a的取值范围是 121().2，2.本例条件不变,若f(x)|2x-4|的解集包含1,2,求a的取值范围.【解析】f(x)|2x-4|,即|2x-4|-|2x+1|2x+a|,而|2x-4|-|2x+1|2x-4-2x-1|=5 所以|2x+a|5,得 由条件得:解得-7a1.所以a的取值范围是-7,1.5 a5 ax22 5 a125 a22 ，【方法技巧】1.形如|f(x)|g(x)|型不等式的解法 此类问题的简单解法是利用平方法,即|f(x)|g(x
10、)|f(x)2g(x)2 f(x)+g(x)f(x)-g(x)0)型不等式的解法(1)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式有三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况.(2)“零点分段法”的关键在于对绝对值代数意义的理 解,即|x|=也即xR.x为非负数时,|x|为 x;x为负数时,|x|为-x,即x的相反数.xx0 xx0，(3)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式 的图象解法和画出函数f(x)=|x-a|+|x-b|-c的图象是 密切相关的,
11、正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分 段表达式.不妨设ab,于是f(x)=2xabcxabacaxb2xabcxb.，这种图象法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想.【变式训练】1.解不等式|x+1|+|x-1|3.【解析】当x-1时,原不等式可化为-(x+1)-(x-1)3,解得x-.当-1x1时,原不等式可化为x+1-(x-1)3,32即23无解.当x1时,原不等式可化为x+1+x-13 解得x .综上所述,原不等式的解集是:x|x-或x .3232322.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,aR.(1)当a=-1时,解不
12、等式f(x)1.(2)若当x0,3时,f(x)4,求a的取值范围.【解析】(1)当a=-1时,不等式为|x+1|-|x+3|1.当x-3时,不等式化为-(x+1)+(x+3)1,不等式不成 立.当-3x-1时,不等式化为-(x+1)-(x+3)1,解得 x-1.52当x-1时,不等式化为(x+1)-(x+3)1,不等式必成立.综上,不等式的解集为 5).2，(2)当x0,3时,f(x)4即|x-a|x+7,由此得a-7且a2x+7,当x0,3时,2x+7的最小值为7,所以a的取值范围是-7,7.【补偿训练】已知f(x)=|x-3|+|x+1|-6,若不等式f(x)m+1的解集为R,求m的取值范
13、围.【解析】因为对任意xR,f(x)m+1恒成立,f(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6|3-x+x+1|-6=4-6=-2,于是有m+1-2,得m-3.即m的取值范围是(-,-3.自我纠错 绝对值不等式的恒成立问题【典例】求使不等式 (|x+3|-|x+7|)m恒成立 的m的取值范围.12log【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是指数函数与对数函数的单调性记错,底数小于1,应为减函数,所以不等式要变号.【解析】不等式 (|x+3|-|x+7|)恒成立.由绝对值不等式的几何意义知|x+3|-|x+7|(x+3)-(x+7)|=4,即 所以m-2.12logm1()2m211()4(),22
