1、山东省日照市2020-2021学年高二数学下学期期末考试校际联合试题（含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知集合Ax|x21，且aA，则a的值可能为（）A2B1C0D12已知函数f（x）x32x+2，在下列区间中，一定包含f（x）零点的区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）3已知a，bR，则“ab0”是“a2+b20”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件4若a，b都是正数，则的最小值为（）A7B8C9D105函数yf（x）的图像如图所示，则f（x）的解析式可以为（）AyexByx5Cyx4Dylnx6对于一个给定的
2、数列，从第二项开始，每一项减去前一项得出第二个数列，又将第二个数列从第二项开始，每一项减去前一项得出第三个数列，这样一直做下去，假如减了P（P2，PN）次之后，得到了一个非零常数列，那么我们就称第一个数列为P阶等差数列，即为高阶等差数列南宋数学家杨辉在详解九章算术和算法通变本末中研究了高阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（）A99B131C139D1417已知函数f（x）则不等式f（x+1）1的解集为（）A（1，7）B（0，7）C（1，8）D（，7）8已知函数f（x）（xx1
3、）（xx2）（xx3）（其中x1x2x3），g（x）exex，且函数f（x）的两个极值点为，（）设，则（）Ag（）g（）g（）g（）Bg（）g（）g（）g（）Cg（）g（）g（）g（）Dg（）g（）g（）g（）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9图中阴影部分用集合符号可以表示为（）AA（BC）BA（BC）CAU（BC）D（AB）（AC）10已知函数f（x），则（）Af（x）为奇函数Bf（x）为减函数Cf（x）有且只有一个零点Df（x）的值域为（1，1）11函数f（x）x+cosx（x0）
4、的所有极值点从小到大排列成数列an，设Sn是an的前n项和，则（）A数列an为等差数列Ba4Ca3为函数f（x）的极小值点DsinS202112记x表示与实数x最接近的整数，数列an通项公式为an（nN*），其前n项和为Sn，设k，则（）AkBk+Cnk2k+1DS202189三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知等比数列an满足log2（a1a2a3a4a5）5，等差数列bn满足b3a3，则b1+b2+b3+b4+b5 14已知奇函数f（x），则f（1）+g（2） 15函数f （x）（x2）exx2+ax（aR）在R上为增函数，则实数a的值为 16对于函数yf（x），若存在
5、x0，使f（x0）f（x0），则点（x0，f（x0）与点（x0，f（x0）均称为函数f（x）的“准奇点”已知函数f（x），若函数f （x）存在5个“准奇点”，则实数a的取值范围为 四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17设不等式x25x4的解集为A，关于x的不等式x2（2a+1）x+a（a+1）0的解集为M（1）求集合A；（2）条件p：xM，条件q：xA，p是q的充分条件，求实数a的取值范围18数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，a11，且Sn+Sn+1an+12（1）证明：数列an为等差数列；（2）若数列bn满足bn+bn+1an，求数列bn的前2n项和T2n
6、19已知函数f（x）log4（4x+1）+kx是偶函数（1）求实数k的值；（2）若函数g（x）log4（a2xa），函数F（x）f（x）g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围20设数列an是等差数列，数列bn是公比大于0的等比数列，已知a11，b13，b23a3，b312a2+3（1）求数列an和数列bn的通项公式；（2）设数列cn满足cn，求数列ancn的前n项和Tn21如图，某广场内有一半径为50米的圆形区域，圆心为O，其内接矩形ABCD的内部区域为居民的健身活动场所，已知AB100米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心O作直径MN，使得MNAB，在
7、劣弧上取一点E，过点E作圆O的内接矩形EFGH，使EFMN，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设MOEx（1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为f（x）（单位：平方米），求f（x）的表达式（不需要注明x的范围）；（2）当f（x）取最大值时，求x的值22已知函数f（x）lnx（1）若yf（x）在点（x0，f（x0）处的切线方程为ykx+b，求k+b的最小值；（2）若A（a，lna），B（b，lnb）为函数yf（x）图像上不同的两点，直线AB与y轴相交于正半轴，求证：abe2参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知集合Ax|x
8、21，且aA，则a的值可能为（）A2B1C0D1解：集合Ax|x21x|1x1，四个选项中，只有0A，故选：C2已知函数f（x）x32x+2，在下列区间中，一定包含f（x）零点的区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）解：由f（x）x32x+2，得f（x）3x22，由f（x）3x220，得x当x（，）（，+）时，f（x）0，当x（，）时，f（x）0，f（x）的增区间为（，），（，+），减区间为（，）f（）0，f（）0，且f（2）20，f（1）30，一定包含f（x）零点的区间是（2，1），故选：A3已知a，bR，则“ab0”是“a2+b20”的（）A充分不必要条件B必要不充分条
9、件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解：a2+b20a0且b0，ab0a0或b0，“ab0”是“a2+b20”的必要不充分条件故选：B4若a，b都是正数，则的最小值为（）A7B8C9D10解：a，b都是正数，则5+5+29，当且仅当b2a0时取等号故选：C5函数yf（x）的图像如图所示，则f（x）的解析式可以为（）AyexByx5Cyx4Dylnx解：根据题意，用排除法分析：对于B，f（x）x5，其定义域为x|x0，有f（x）（x5）f（x），f（x）为奇函数，排除B，对于C，f（x）x4，当f（2），f（1）2，f（x）不会是减函数，排除C，对于D，ylnx，其定义域为（0，+），排除D，
10、故选：A6对于一个给定的数列，从第二项开始，每一项减去前一项得出第二个数列，又将第二个数列从第二项开始，每一项减去前一项得出第三个数列，这样一直做下去，假如减了P（P2，PN）次之后，得到了一个非零常数列，那么我们就称第一个数列为P阶等差数列，即为高阶等差数列南宋数学家杨辉在详解九章算术和算法通变本末中研究了高阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（）A99B131C139D141解：由题意可知：1，5，11，21，37，61，95，的差的数列为：4，6，10，16，24，34，
11、这个数列的差组成的数列为：2，4，6，8，10，12是等差数列，所以前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为：95+34+12141故选：D7已知函数f（x）则不等式f（x+1）1的解集为（）A（1，7）B（0，7）C（1，8）D（，7）解：当x+11，即x0时，e2（x+1）1，即e1x1，1x0，x1，又x0，无解当x+11，即x0时，lg（x+1+2）1，lg（x+3）1，0x+310，3x7，又x0，0x7，故选：B8已知函数f（x）（xx1）（xx2）（xx3）（其中x1x2x3），g（x）exex，且函数f（x）的两个极值点为，（）设，则（）Ag（）g（
12、）g（）g（）Bg（）g（）g（）g（）Cg（）g（）g（）g（）Dg（）g（）g（）g（）解：由题意，f（x）（xx1）（xx2）+（xx2）（xx3）+（xx1）（xx3），f（）0，f（）0，f（x）在（，），（，+）上递增，（，）上递减，g（x）exex单调递增，g（）g（）g（）g（）故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9图中阴影部分用集合符号可以表示为（）AA（BC）BA（BC）CAU（BC）D（AB）（AC）解：图中阴影部分用集合符号可以表示为：A（BC）或（AB）（
13、AC）故选：AD10已知函数f（x），则（）Af（x）为奇函数Bf（x）为减函数Cf（x）有且只有一个零点Df（x）的值域为（1，1）解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x），其定义域为R，有f（x）f（x），f（x）为奇函数，A正确；对于B，f（x）1，设t2x+1，有t0且t2x+1在R上为增函数，而y1在（0，+）为增函数，故f（x）在R上为增函数，B错误；对于C，由B的结论，f（x）在R上为增函数，且f（0）0，故f（x）有且只有一个零点，C正确；对于D，y，变形可得2x，则有0，解可得1y1，即f（x）的值域为（1，1），D正确；故选：ACD11函数f（x）x+cosx（x0）的
14、所有极值点从小到大排列成数列an，设Sn是an的前n项和，则（）A数列an为等差数列Ba4Ca3为函数f（x）的极小值点DsinS2021解：，则，令f（x）0，解得，所以或，当x变化时，f（x），f（x）变化情况如下表所示xf（x）+00+00f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值因为函数f（x）的所有极值点从小到大排列陈数列an，所以，nN*，所以，故B正确，C错误；因为a2a1a3a2，所以数列an不是等差数列，故A错误；S2021a1+a2+a2021（a1+a3+a2021）+（a2+a4+a2020）所以，故D正确故选：BD12记x表示与实数x最接近的整数
15、，数列an通项公式为an（nN*），其前n项和为Sn，设k，则（）AkBk+Cnk2k+1DS202189解：根据题意，当n1时，有1；k1，即此时k，所以A错误；由于|，所以|k|，即k，可得k+，所以B正确；由k，可得kk+，所以k2k+nk2+k+，因为nN+，且k2k+不是整数，其中k2k+1是k2k+右侧最接近的整数，所以nk2k+1成立，所以C正确；当n1或2时，1，此时a1a21；当n3，4，5，6时，2，此时a3a4a5a6；当n7，8，9，10，11，12时，3，此时a7a8a9a10a11a12；当n13，14，20时，4，此时a13a14a20；归纳可得数列an中，有2个
16、1，4个，6个，8个，又2，4，6，8构成以2为首项，2为公差的等差数列，可得Snn（n+1），令n（n+1）2021，nN+，解得n44，所以S202112+4+6+44+4188+，所以S202189+90，所以选项D错误故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知等比数列an满足log2（a1a2a3a4a5）5，等差数列bn满足b3a3，则b1+b2+b3+b4+b510解：因为等比数列an中，log2（a1a2a3a4a5）log2（a35）5，所以a32，因为b3a32，则由等差数列的性质得b1+b2+b3+b4+b55b310故答案为：1014已知奇函数f（
17、x），则f（1）+g（2）7解：奇函数f（x），f（1）（1）312，g（2）f（2）（2）319f（1）+g（2）2+97故答案为：715函数f （x）（x2）exx2+ax（aR）在R上为增函数，则实数a的值为 e解：f （x）（x2）exx2+ax，f（x）（exa）（x1），f（x）在R递增，（exa）（x1）0在R恒成立，当x1时，x10，exa0在R恒成立，a（ex）mine；当x1时，x10，exa0在R恒成立，a（ex）maxe，综上，ae故答案为：e16对于函数yf（x），若存在x0，使f（x0）f（x0），则点（x0，f（x0）与点（x0，f（x0）均称为函数f（x）的“准
18、奇点”已知函数f（x），若函数f （x）存在5个“准奇点”，则实数a的取值范围为 （6，+）解：由题意，f（x）存在5个“准奇点”，原点是一个，其余还有两对，即函数y6xx3（x0）关于原点对称的图象恰好与函数y16ax（x0）有两个交点，而函数y6xx3（x0）关于原点对称的函数为y6xx3（x0），即16ax6xx3有两个正根，a（x0）有两个正根，令h（x）6（x0），则h（x）2x，当0x2时，h（x）0，当x2时，h（x）0，h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，则当x2时，h（x）min4+866，且当x0和x+时，f（x）+，实数a的取值范围为（6，+），故答案
19、为：（6，+）四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17设不等式x25x4的解集为A，关于x的不等式x2（2a+1）x+a（a+1）0的解集为M（1）求集合A；（2）条件p：xM，条件q：xA，p是q的充分条件，求实数a的取值范围解：（1）x25x4即（x1）（x4）0，故A1，4；（2）x2（2a+1）x+a（a+1）0，（xa）x（a+1）0，解得：axa+1，故Ma，a+1，条件p：xM，条件q：xA，p是q的充分条件，MA，故，解得：1a3，故实数a的取值范围是1，318数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，a11，且Sn+Sn+1an+12（1）证明：数列
20、an为等差数列；（2）若数列bn满足bn+bn+1an，求数列bn的前2n项和T2n解：（1）证明：当n1时，有S1+S2a，则2+a2a，又a20，所以a22，当n2时，有Sn1+Snan2，所以Sn+Sn+1Sn1Snaa，即an+1+an（an+1+an）（an+1an），由于数列an各项均为正数，所以an+1+an0，则an+1an1（n2），而a2a11满足上式，所以an是以1为公差的等差数列；（2）由（1）可知ann，所以bn+bn+1ann，所以T2nb1+b2+b3+b4+b2n1+b2n（b1+b2）+（b3+b4）+（b2n1+b2n）a1+a3+a2n1n2；所以数列bn
21、的前2n项和为T2nn219已知函数f（x）log4（4x+1）+kx是偶函数（1）求实数k的值；（2）若函数g（x）log4（a2xa），函数F（x）f（x）g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围解：（1）f（x）为偶函数，f（x）f（x），即log4（4x+1）+kxkx，所以2kx，即x2kx，则（2k+1）x0对xR恒成立，解得k；（2）F（x）f（x）g（x）log4（4x+1）xlog4（a2xa）只有一个零点，所以方程log4（4x+1）x+log4（a2xa）有且只有一个实根，即方程log4（4x+1）+log4（a2xa）有且只有一个实根，即方程（2x）+1a（2x）t1有
22、且只有一个实根，令t2x（t0），则方程（a1）tt10有且只有一个正根，当a1时，t，不合题意；当a1时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，0，得a3或，当a，则t2不合题意，舍去；当a3，则t，符合题意，若方程有两根异号，则，a1，综上，a的取值范围是3（1，+）20设数列an是等差数列，数列bn是公比大于0的等比数列，已知a11，b13，b23a3，b312a2+3（1）求数列an和数列bn的通项公式；（2）设数列cn满足cn，求数列ancn的前n项和Tn解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q（q0），根据题意，解得d1，q3，所以an1+（n1）
23、n；bn33n13n（2）当n5时，cn1，所以Tna1+a2+an1+2+n，当n6时，cnbn5，3n5，所以TnT5+a6b1+a7b2+anbn515+631+732+n3n5；令M631+732+n3n5；则3M632+733+（n1）3n5+n3n4，两式相减得2M631+（32+33+3n5）n3n418+n3n4，整理得M+3n4，所以Tn+3n4，综上，Tn21如图，某广场内有一半径为50米的圆形区域，圆心为O，其内接矩形ABCD的内部区域为居民的健身活动场所，已知AB100米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心O作直径MN，使得MNAB
24、，在劣弧上取一点E，过点E作圆O的内接矩形EFGH，使EFMN，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设MOEx（1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为f（x）（单位：平方米），求f（x）的表达式（不需要注明x的范围）；（2）当f（x）取最大值时，求x的值解：（1）设OM与EH相交于点P，OM与BC相交于点Q，MOEx，OQ50，PQ，PQ0，cosx，即f（x）（2）f（x）5000（6cos2x2cosx），f（x）1000（3cosx+）（2cosx），令f（x）0，得cosx或cosx（不符合题意，舍去），cosx，设x0COM，则，则当
25、x（0，x0），当x（0，）时，f（x）0，f（x）单调递增，当x（）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x时，f（x）取得最大值22已知函数f（x）lnx（1）若yf（x）在点（x0，f（x0）处的切线方程为ykx+b，求k+b的最小值；（2）若A（a，lna），B（b，lnb）为函数yf（x）图像上不同的两点，直线AB与y轴相交于正半轴，求证：abe2解：（1）函数f（x）lnx的定义域为，函数yf（x）在点（x0，f（x0）处的切线方程为yf（x0）f（x0）（xx0），即yf（x0）xx0f（x0）+f（x0），即，所以，令当0x1时，（x）0；当x1时，（x）0，所以（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以（x）（1）0，即k+b的最小值为0（2）不妨设ab0，由题意可知，直线AB的斜率为，直线AB的方程为，即由题意可知，即alnbblna0，所以，令，则abt，所以，又lnalnbtlnb+lnt，所以，要证abe2，即证lna+lnb2，只需证，令，则，所以h（t）在（0，+）上单调递增，当t1时，h（t）h（1）0，即，所以abe2
