1、向量一、 单选题1骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，均是边长为4的等边三角形设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为A18B24C36D48解：据题意：圆（后轮）的半径均为，均是边长为4的等边三角形点为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则，圆的方程为，可设，所以，故故选：2已知，是平面向量，是单位向量，若向量满足，则，则的最小值是ABCD解：因为是单位向量，由得，即，所以以为原点，将的起点都设为，的方向作为轴的正方向，如图建立坐标系：设，结合，的终点落在以为圆心，半径
2、为1的圆上因为，结合对称性，不妨设的终点落在射线上，其中结合直线与圆的位置关系可知，过做射线，垂足为，且与圆交于点（如图所示），此时的长度最小结合，故为等腰直角三角形，由，可知，因为，所以的最小值为故选：3已知的外接圆圆心为，若，则的最大值为ABCD解：如图，延长交于，设，又，易得，即有，则，由，三点共线，可得，即有，由于是定值，只需最小，过作，垂足为，则，即有，则则即有的最大值为故选：4已知点是所在平面内一点，有下列四个等式：甲：；乙：；丙：；丁：如果只有一个等式不成立，则该等式为A甲B乙C丙D丁解：对于甲：，设是的中点，则，所以，故点是的靠近的三等分点，即该三角形的重心；对于乙：，移项整理
3、得，即，故，所以是直角三角形；对于丙：，则为的外心；对于丁：则，所以，同理可得，所以为的垂心，如果只有一个等式不成立，则该等式为乙故选：5已知直角三角形中，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最大值为ABCD解：根据题意，直角三角形中，设为斜边上的高，又由，则，连接，则圆的半径，则，当与同向时，取得最大值，此时，则的最大值为，故的最大值为，故选：6已知，点是四边形内（含边界）的一点，若，则的最大值与最小值之差为A12B9CD解：如图，过点作交，于点，设，所以，因为点在四边形内部，且，所以，因为，三点共线，所以，所以，且，所以，所以，所以当时，；当时，所以的最大值与最小值之差为故选：7已知，是平面
4、向量，满足，且，记与的夹角为，则的最小值是ABCD解：根据题意，设，则，则有，变形可得，设，其导数，在区间，上，则在区间，上递减，则时，取得最小值，故选：8在中，角，所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为ABCD解：由题意可得：，则，可得，因为，可得，两边平方，可得：，所以：，可得，可得，即，因为，（由得出），当且仅当时等号成立，所以，令，则，且，解得，当且仅当时等号成立，即的最大值为故选：二、 多选题9如图所示，在凸四边形中，对边，的延长线交于点，对边，的延长线交于点，若，则ABC的最大值为1D解：对于，因为，所以，整理得，故正确；对于，过点作，交于点，则，所以，因为，所以，所以，所以，
5、故正确；对于，由知，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故错误；对于，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故正确故选：10在平行四边形中，且，则平行四边形的面积可能为A17B18C19D20解：因为，又在平行四边形中，所以，故平行四边形为矩形，又，所以是上靠近点的四等分点，是上靠近的三等分点，所以，因为平行四边形为矩形，则，设，则，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，所以，故平行四边形的面积，所以平行四边形的面积可能为17或18故选：11如图，直角的斜边长为2，且点，分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，点在线段的右上方则A有最大值也有最小值B有最大值无最小值C有最小值无最大值D无最大值也无最
6、小值解：，设，则，且，故，因为，所以当，即时，取到最大值，无最小值；故选项错误；，当，即时，取到最大值，无最小值故选项正确；，所以，因为，所以当，即时，取到最大值，无最小值；因为，所以，故没有最大值，也没有最小值故选项正确；故选：12中，以下正确的是ABCD解：在直线，上分别取点，使得，以，为邻边作平行四边形，则，即，三点共线且，故和均为等边三角形，故正确，正确；，在外部分别以、为边作等边三角形和等边三角形，则，三点共线，三点共线，故，即，故正确，同理可得：，即，故正确故选：三、 填空题13已知向量及实数满足，若，则的最大值是解：因为，所以，两边平方得，因为，即，所以，而，所以，解得，当且仅当
7、时等号成立，所以的最大值是故答案为：14已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为解：因为对任意均有的最小值为，所以，整理的，所以，即，不妨设为轴方向向量，为轴方向向量，所以，对应点的坐标为，所以，因为，为抛物线向上平移个单位，所以焦点为，准线为，所以到的距离与到的距离相同，所以，当且仅当，时等号成立，此时，所以的最小值为3故答案为：315已知向量，满足，则的取值范围是解：，的夹角为，设，建立如图坐标系，则，点在单位圆上，设，则，则，令，如图，当，三点共线，即点在处时，取最小值，此时当位于处时，取最大值，此时，综上所述，故答案为：，16如图，已知四边形，是的中点，若，则的最小值为解：因为，故，是的中点，故，又因为，设，则，所以故答案为：
