1、目标导航1会判断空间两直线的位置关系(重点)2理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角(重点、难点)3能用公理 4 和等角定理解决一些简单的相关问题(重点)1 新知识预习探究 知识点一空间两条直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在的两条直线(2)异面直线的画法 任何一个平面内2空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线 不同在，没有公共点一个任何一个平面内【练习 1】如图所示，已知长方体 ABCDA1B1C1D1，则与棱AA1 所在的直线异面的棱有_解析：与棱 AA1 异面的棱有 DC、BC、D1C1、B1C1.答案：DC、BC
2、、D1C1、B1C1知识点二平行公理与等角定理1.平行公理(公理 4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相，这一性质叫做空间(2)符号表述：abbc 2等角定理空间中如果两个角的两边分别对应，那么这两个角平行平行线的传递性ac.平行相等或互补【练习 2】(1)直线 a，b，c，d 满足 ab，bc，cd，则 a与 d 的位置关系是_(2)若 ABAB，ACAC，则下列结论：BACBAC；ABCABC180；ACBACB或ACBACB180.一定成立的是_解析：(1)ab，bc，cd，由公理 4 可知 ad.(2)ABAB，ACAC，ACBACB或ACBACB180.答案：(1)平行(
3、2)知识点三异面直线所成的角异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，我们把 a与 b所成的叫做异面直线a 与 b 所成的角(或夹角)(2)异面直线所成的角 的取值范围：(3)当 90时，a 与 b 互相垂直，记作锐角(或直角)090.ab.【练习 3】如图正方体 ABCDA1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与AD1 所成角为()A30 B45C60 D90解析：连接 BC1、A1C1，BC1AD1，异面直线 A1B 与 AD1 所成的角即为直线 A1B 与 BC1 所成的角在A1BC1 中，A1BBC1A1C1，A1BC160.故异面直
4、线 A1B 与 AD1 所成角为 60.答案：C2新视点名师博客1.正确理解异面直线的定义异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一平面，使其同时经过 a、b 两条直线例如，如图所示的长方体中，棱 AB 和 B1C1 所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线2判断两条直线是异面直线的方法及画法(1)定义法(直观判断法)：由定义判断两直线不可能在同一个平面内或者用下面的结论；过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线用符合语言表示为：B，A，a，Aa，
5、则 a 与直线 AB 为异面直线如图(2)排除法：排除两直线共面(平行或相交)，则两直线是异面直线(3)画法：为表示异面直线 a、b 不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图 3新课堂互动探究 考点一空间两条直线位置关系的判定例 1a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出的几种说法：若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac；若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；若 a平面，b平面，则 a，b 一定是异面直线；若 a，b 与 c 成等角，则 ab.其中正确的是_(只填序号)分析：题目条件中给出了直线 a，b，c 所满足的位置关系，要判断直线 a 与
6、b 或 a 与 c 的位置关系，解答本题可应用平面几何知识，异面直线的定义或公理 4 等解析：对于，由平行公理知正确对于，如图在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，令 AB 所在直线为 b，AA1 所在直线为 a，若 BC 所在直线为 c，则 a 与 c 异面若 AD 所在直线为 c，则 a 与 c 相交，若 BB1 所在直线为 c，则 ac，故不正确对于，若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 可能平行、异面、相交，故不正确对于，a，b，则 a 与 b 可能平行、相交、异面，故不正确对于，当 a，b 与 c 都成 90角时，同，a 与 b 可能平行、相交、异面，故不正确答案
7、：点评：空间两条直线位置关系的判定方法(1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理 4 判断(2)判定两条直线是异面直线的方法定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)变式探究 1 如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB1，BC1 的中点，则以下结论中不成立的是_EF 与 BB1 垂直；EF 与 BD 垂直；EF 与 CD 异面；EF与 A1C1 异面解析：连接 A1B，E、F 分别是 AB1，BC1 的中点，EF 是A1BC1的中位线，EFA1C1，
8、故正确错答案：考点二平行公理及等角定理例 2已知棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 CD、AD 的中点(1)求证：四边形 MNA1C1 是梯形；(2)求证：DNMD1A1C1.分析：(1)通过公理 4 转化为证明平面内两直线平行且不等；(2)可用等角定理证明解析：(1)如图，连接 AC，在ACD 中，M，N 分别是 CD，AD 的中点，MN 是三角形的中位线，MNAC，MN12AC.由正方体的性质得：ACA1C1，ACA1C1.MNA1C1，且 MN12A1C1，即 MNA1C1，四边形 MNA1C1 是梯形(2)由(1)可知 MNA1C1，又因为 NDA1D
9、1，DNM 与D1A1C1 相等或互补而DNM 与D1A1C1 均是直角三角形的锐角，DNMD1A1C1.点评：求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用公理 4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似 变式探究 2 如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：ACBD.证明：(1)在ABD 中，E，H 分别
10、是 AB，AD 的中点，EHBD.同理 FGBD，则 EHFG.故 E，F，G，H 四点共面(2)由(1)知 EHBD，同理 ACGH.又四边形 EFGH 是矩形，EHGH.故 ACBD.考点三求异面直线所成的角例 3已知三棱锥 ABCD 中，ABCD，且直线 AB 与 CD 成 60角，点 M，N 分别是 BC，AD 的中点，求直线 AB 和 MN 所成的角分析：解析：如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，因为点 M，N 分别是 BC，AD 的中点，所以 PMAB，且 PM12AB；PNCD，且 PN12CD，所以MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角所以PMN(或其补角)为
11、 AB 与 MN 所成的角因为直线 AB 与 CD 成 60角，所以MPN60或MPN120.又因为 ABCD，所以 PMPN，(1)若MPN60，则PMN 是等边三角形，所以PMN60，即 AB 与 MN 所成的角为 60.(2)若MPN120，则易知PMN 是等腰三角形所以PMN30，即 AB 与 MN 所成的角为 30.综上，直线 AB 与 MN 所成的角为 60或 30.点评：(1)求两异面直线所成角的一般步骤作：作出或找出异面直线所成的角；证：用定义证明前一步的角即为所求；算：在三角形中计算角的大小(2)求两异面直线所成角的技巧求两异面直线所成角的关键在于作角，总结起来有如下“口诀”
12、：中点、端点定顶点，平移常用中位线；平行四边形柱中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平行线若在外，补上原体在外边如果求得的角的余弦值为负值的话，这说明两条异面直线所成的角应该是所求角的补角，所以在指明所求角的时候，应该说“这个角或其补角”即为所求的角变式探究 3 如图所示，在五面体 ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，EDCD，CD1，AD2 2，求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值解析：因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FAED.因为 EDCD，故CED 为锐角，即为异面直线 CE 与 AF 所成的角在 RtCDE 中，CD1，EDAD2 2，CE CD
13、2ED23，故 cosCEDEDCE2 23.所以异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为2 23.4 新思维随堂自测1.若 a 和 b 是异面直线，b 和 c 是异面直线，则 a 和 c 的位置关系是()AacBa 和 c 异面Ca 和 c 相交Da 和 c 平行、相交或异面解析：如图，在长方体 ABCDABCD中，令 AD所在直线为 a，AB 所在直线为 b，由题意，a 和 b 是异面直线，b 和 c 是异面直线若令 BC所在直线为 c，则 a 和 c 平行若令 CC 所在直线为 c，则 a 和 c 异面若令 DD 所在直线为 c，则 a 和 c 相交故选D.答案：D2已知空间四边形的两
14、条对角线相等，那么顺次连结空间四边形各边中点所得的四边形是()A菱形 B正方形C矩形D平行四边形解析：顺次连结空间四边形的各边中点所得到的四边形一定是平行四边形如果空间四边形的对角线相等，则这个平行四边形就成为菱形答案：A3下列命题中正确的是()A没有公共点的两条直线是平行直线B互相垂直的两条直线是相交直线C既不平行又不相交的两条直线是异面直线D不在同一平面内的两条直线是异面直线解析：没有公共点的两条直线还可能异面，所以 A 选项不正确；互相垂直的直线还可能是异面直线，所以 B 选项不正确；D 选项中，缺少任一平面内，所以 D 选项不正确；很明显 C 选项正确答案：C4若正方体 ABCDA1B
15、1C1D1 的棱长为 1，则 B1D 与 CC1 所成角的正切值为_解析：如图，B1D 与 CC1 所成的角为BB1D.DBB1 为直角三角形tanBB1DBDBB1 2.答案：25在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求：(1)异面直线 AB 与 A1D1 所成的角；(2)AD1 与 DC1 所成的角解析：(1)A1B1AB，而 A1D1A1B1，A1D1AB，即 AB 与 A1D1 所成的角为 90.(2)如图，连接 AB1，B1D1，AB1DC1，AB1 与 AD1 所成的角即为 DC1 与 AD1 所成的角又 AD1AB1B1D1，AB1D1 为正三角形，AD1 与 AB1 所成的角为 60，即 AD1 与 DC1 所成的角为 60.5 辨错解走出误区易错点：将平面几何结论直接应用到立体几何中出错【典例】下列命题正确的个数是()若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l；若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行A0 B1 C2 D3【错解】D【错因分析】直线 l 上有无数个点不在平面 内，有可能是直线与平面相交，但如果说直线 l 上所有的点都不在平面 内，则 l 是正确的；若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内直线平行或异面；另一条直线也可能在这个平面内【正解】A
