1、第二篇 函数、导数及其应用(必修1、选修2-2)返回导航第11节 导数在研究函数中的应用 返回导航利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题是高考考查的重点，常以压轴题的形式出现，难度较大解决此类问题常利用分离参数法或构造函数法将问题转化为函数最值问题求解第四课时 利用导数研究不等式 恒成立求参数范围专题 分离参数法求参数范围(改编题)设函数 f(x)ln xax，g(x)exax，其中 a 为实数若f(x)在(1，)上是单调减函数，且 g(x)在(1，)上有最小值，则 a 的取值范围是()(A)(e，)(B)e，)(C)(1，)(D)1，)返回导航解析：f(x)1xa，g(x)exa，由题意得，
2、当 x(1，)时，f(x)0 恒成立，即当 x(1，)时，a1x恒成立，则 a1.因为 g(x)exa 在(1，)上单调递增，所以 g(x)g(1)ea.又 g(x)在(1，)上有最小值，则必有 ea0，即 ae.综上，可知 a 的取值范围是(e，)返回导航答案：A【反思归纳】已知不等式 f(x，)0(为实参数)对任意的 xD 恒成立，求参数 的取值范围利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下：第一步，将原不等式 f(x，)0(xD，为实参数)分离，使不等式的一边是参数，另一边不含参数，即化为 f1()f2(x)或 f1()f2(x)的形式；第二步，利用导数求出函数 f2(x)(
3、xD)的最大(小)值；第三步，解不等式 f1()f2(x)max 或 f1()f2(x)min，从而求出参数 的取值范围返回导航【即时训练】(2017 洛阳统考)已知函数 f(x)exax2e2x.(1)若曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线平行于 x 轴，求函数 f(x)的单调区间；(2)若 x0 时，总有 f(x)e2x，求实数 a 的取值范围返回导航解：(1)由 f(x)ex2axe2 得：yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率 k4a0，则 a0.此时 f(x)exe2x，f(x)exe2.由 f(x)0，得 x2.当 x(，2)时，f(x)0，f(x)单调递增所以函数 f(x
4、)的单调增区间是(2，)，单调减区间是(，2)返回导航(2)由 f(x)e2x 得 aexx2.设 g(x)exx2，x0，则 g(x)ex2xx3.所以当 x(0,2)时，g(x)0，g(x)在(0,2)上单调递增；当x(2，)时，g(x)0，g(x)在(2，)上单调递减所以g(x)g(2)e24.因此，a 的取值范围为e24，.返回导航分类讨论法求参数范围(2017 全国卷)已知函数 f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围返回导航解析：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex
5、1)()若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(，)单调递减()若 a0，则由 f(x)0 得 xln a.当 x(，ln a)时，f(x)0；当 x(ln a，)时，f(x)0.所以 f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增返回导航(2)()若 a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点()若 a0，由(1)知，当 xln a 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(ln a)11aln a.当 a1 时，由于 f(ln a)0，故 f(x)只有一个零点；当 a(1，)时，由于 11aln a0，即 f(ln a)0，故 f(x)没有零点；返回导航当 a(0,1)时，11a
6、ln a0，即 f(ln a)0.又 f(2)ae4(a2)e222e220，故 f(x)在(，ln a)有一个零点设正整数 n0 满足 n0ln3a1，则 f(n0)en0(aen0a2)n0en0n02n0n00.由于 ln3a1 ln a，因此 f(x)在(ln a，)有一个零点综上，a 的取值范围为(0,1)返回导航【反思归纳】如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数或判别式的方法求解返回导航【即时训练】已知函数 f(x)x22xx0，lnx1x0，若|f(x)|ax，则 a的取值范围是()(A)(，0(B)(，1(C)
7、2,1(D)2,0返回导航解析：|f(x)|axx22xaxx0，1lnx1axx0.2由(1)得 x(x2)ax 在区间(，0上恒成立当 x0 时，aR；当 x0 时，有 x2a 在区间(，0上恒成立，所以 a2.故 a2.返回导航由(2)得 ln(x1)ax0 在区间(0，)上恒成立，设 h(x)ln(x1)ax(x0)，则 h(x)1x1a(x0)，可知 h(x)为减函数当 a0 时，h(x)0，故 h(x)为增函数，所以 h(x)h(0)0 恒成立；当 a1 时，因为 1x1(0,1)，所以 h(x)1x1a0，故 h(x)为减函数，所以 h(x)h(0)0 恒成立，显然不符合题意；返
8、回导航当 0a1 时，对于给定的一个确定值 a，总可以找到一个 x00，满足 h(x0)ln(x01)ax00 成立如当 a12时，取 x04，则 h(x0)ln 520 成立，可知当 0a1 时，不符合题意故 a0.由可知 a 的取值范围是2,0返回导航答案：D利用转化与化归思想求解存在性不等式成立问题 设 f(x)axxln x，g(x)x3x23.(1)如果存在 x1，x20,2使得 g(x1)g(x2)M 成立，求满足上述条件的最大整数 M.(2)如果对于任意的 s，t12，2，都有 f(s)g(t)成立，求实数 a 的取值范围返回导航解析：(1)存在 x1，x20,2使得 g(x1)
9、g(x2)M 成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.由 g(x)x3x23，得 g(x)3x22x3xx23.令 g(x)0 得 x0，或 x23，又 x0,2，所以 g(x)在区间0，23 上单调递减，在区间23，2 上单调递增，所以 g(x)ming23 8527，g(x)maxg(2)1.返回导航故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min11227 M，则满足条件的最大整数 M4.(2)对于任意的 s，t12，2，都有 f(s)g(t)成立，等价于在区间12，2上，函数 f(x)ming(x)max.由(1)可知在区间12，2 上，g(x)的最大值为 g(2)1.在区间
10、12，2 上，f(x)axxln x1 恒成立等价于 axx2ln x 恒成立返回导航设 h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知 h(x)在区间12，2 上是减函数，又 h(1)0，所以当 1x2 时，h(x)0；当12x1 时，h(x)0.即函数 h(x)xx2ln x 在区间12，1 上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以 h(x)maxh(1)1，所以 a1，即实数 a 的取值范围是1，)返回导航【反思归纳】不等式的恒成立与能成立问题(1)f(x)g(x)对一切 xI 恒成立I 是 f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI)(2)f(x)g(x)对
11、 xI 能成立I 与 f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xI)(3)对x1，x2D 使得 f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(4)对x1D1，x2D2 使得 f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min，f(x)定义域为 D1，g(x)定义域为 D2.返回导航【即时训练】已知函数 f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当 a4 时，求曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当 x(1，)时，f(x)0，求 a 的取值范围返回导航解析：()f(x)的定义域为(0，)当 a4 时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(x)ln x1
12、x3，f(1)2，f(1)0.曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 2xy20.()当 x(1，)时，f(x)0 等价于 ln xax1x1 0.设 g(x)ln xax1x1，则g(x)1x2ax12x221ax1xx12，g(1)0，返回导航()当 a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故 g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，因此 g(x)0；()当 a2 时是，令 g(x)0 得x1a1 a 21，x2a1 a 21，由 x21 和 x1x21 得 x11，故当 x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此 g(x)0.综上，a 的取值范围是(，2返回导航返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！
