1、第二篇 函数、导数及其应用(必修1、选修2-2)返回导航第11节 导数在研究函数中的应用 返回导航利用导数研究函数零点问题是导数的应用之一，也是高考考查的热点题型，常作为解答题的一问出现，难度较大解决此类问题一般是利用转化与化归思想把问题转化为相应的方程根的问题或函数图象交点问题第五课时 利用导数研究函数零点专题 利用函数图象研究函数零点问题(2015 全国卷)已知函数 f(x)x3ax14，g(x)ln x.(1)当 a 为何值时，x 轴为曲线 yf(x)的切线(2)用 minm，n表示 m，n 中的最小值，设函数 h(x)minf(x)，g(x)(x0)，讨论 h(x)零点的个数返回导航解
2、析：(1)当 a34，x 轴为曲线 yf(x)的切线(2)当 x(1，)时，g(x)ln x0，故而 h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故 h(x)在(1，)上无零点当 x1 时，若 a54，则 f(1)a540，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故 x1 是 h(x)的零点；若 a54，则 f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0，故 x1 不是h(x)的零点；当 x(0,1)时，g(x)ln x0.所以只需考虑 f(x)在(0,1)上的零点个数返回导航()若 a3 或 a0，则 f(x)3x2a 在(0,1)上无零点，故 f(x)在(0,1)上单调而 f(
3、0)14，f(1)a54，所以当 a3 时，f(x)在(0,1)上有一个零点；当 a0 时，f(x)在(0,1)上没有零点返回导航()若3a0，则 f(x)在0，a3 上单调递减，在a3，1 上单调递增，故在(0,1)中，当 xa3时，f(x)取得最小值，最小值为 fa3 2a3a314.若 fa3 0，即34a0，f(x)在(0,1)上没有零点；返回导航若 fa3 0，即 a34，则 f(x)在(0,1)上有唯一零点；fa3 0.即3a34，由于 f(0)14，f(1)a54，所以当54a34时，f(x)在(0,1)上有两个零点；返回导航当3a54时，f(x)在(0,1)上有一个零点综上，当
4、 a34或 a54时，h(x)有一个零点；当 a34或 a54时，h(x)有两个零点；当54a34时，h(x)有三个零点返回导航【反思归纳】1利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点的一般思路(1)转化为可用导数研究其图象的函数的图象与 x 轴(或直线 yk)在该区间上的交点问题(2)利用导数研究出该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象(3)结合图象求解 返回导航2利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值结构方程根的个数问题的一般方法将问题转化为可用导数研究的某函数的零点问题或用导数能研究其图象的两个函数的交点个数问题
5、求解3证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步：利用导数证明该函数在该区间上单调第二步：证明端点值异号返回导航提醒：对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与 x 轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件返回导航【即时训练】已知定义域为 R 的奇函数 f(x)，当 x0 时，f(x)ln xax1(aR)(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若函数 yf(x)在 R 上恰有 5 个零点，求实数 a 的取值范围返回导航解：(1)设 x0，因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)ln(x)ax1，当
6、 x0 时，f(x)0，所以函数 f(x)ln xax1x0，0 x0，lnxax1x0 时的情况：因为 f(x)1xa，所以当 a0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上为单调递增函数，所以方程 f(x)0 在(0，)上不可能有两个不同的实数根所以当 a0 时，f(x)ax1ax，令 f(x)0，得 x1a.返回导航当 0 x0，函数 f(x)单调递增；当 x1a时，f(x)0，解得 0a1，故 a 的取值范围是(0,1)返回导航构造函数法研究函数零点问题 已知函数 f(x)ex2x1.()求曲线 yf(x)在(0，f(0)处的切线方程；()设 g(x)af(x)(1a)ex，若 g(x)有
7、两个零点，求实数 a 的取值范围返回导航解析：()由题易知 f(x)ex2，f(0)121，f(0)e02010，f(x)在(0，f(0)处的切线方程为 yx.()由题易知 g(x)ex2axa，g(x)ex2a.当 a0 时，g(x)0，g(x)在 R 上单调递增，不符合题意当 a0 时，令 g(x)0，得 xln 2a，在(，ln 2a)上，g(x)0，在(ln 2a，)上 g(x)0，g(x)在(，ln 2a)上单调递减，在(ln 2a，)上单调递增，g(x)极小值g(ln 2a)2a2aln 2aaa2aln 2a.返回导航g(x)有两个零点，g(x)极小值0，即 a2aln 2a0，
8、a0，ln 2a12，解得 a e2，实数 a 的取值范围为e2，.返回导航【反思归纳】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数 yg(x)，yh(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 ya，yg(x)的交点个数的图象的交点个数问题返回导航【即时训练】设函数 f(x)2ln
9、x1x，g(x)2xaln x(aR)(1)求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数 g(x)在(0，e2上恰有 2 个零点，求 a 的取值范围返回导航解析：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，所以 f(x)2x1x22x1x2所以 f(1)1 且 f(1)1由导数几何意义知 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y1x1，即 xy0(2)由 g(x)2xaln x0，2aln xx令 p(x)ln xx，所以 p(x)1ln xx2，所以 p(x)在(0，e)上单调递增，在(e，e2)上单调递减，所以当 xe 时，p(x)取得极大值，也是最大值因为 p(e)ln ee 1e，p(e2)ln e2e2 2e2，且 x0 时，p(x)，故2e22a1e，所以 2eae2.返回导航返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！
