1、第三篇 三角函数、解三角形(必修4、必修5)第 2 节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，sin xcos xtan x.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式.返回导航返回导航【教材导读】1同角三角函数的基本关系中，对任意角均成立吗？提示：在 tan sin cos 的关系中，须保证 tan 有意义，所以须使 2k，kZ.2诱导公式的功能是什么？提示：负角化正角，大角化小角，再求值1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2 cos2 _；(2)商数关系tan _.返回导航12诱导公式组序一二
2、三四五六角2k(kZ)22正弦sin sin sin sin cos _余弦cos cos cos _sin sin 正切tan tan tan _返回导航cos cos tan【重要结论】诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇”与“偶”指的是诱导公式 k2 中的整数 k 是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在 k2 中，将 看成锐角时 k2 所在的象限返回导航1已知和的终边关于直线yx对称，且3，则sin 等于()(A)32(B)32(C)12(D)12返回导航D 解析：因为 和 的终边关
3、于直线 yx 对称，所以 2k2(kZ)又 3，所以 2k56(kZ)，即得 sin 12.故选 D.2已知 f()sincos2costan，则 f253 的值为()(A)12(B)12(C)32(D)32返回导航A 解析：f()sin cos cos tan sin tan cos，f(253)cos(253)cos 3 12.故选 A.3若 113，则 tan cos 等于()(A)12(B)12(C)32(D)32返回导航C 解析：若 113，tan cos sin cos cos sin sin113 sin43 sin 3 32.故选 C.4已知 a2，sin 45，则 tan _
4、.返回导航解析：因为 a2，所以 cos 1sin235，所以 tan sin cos 43.答案：435已知 sin xcos x38，且 x4，2，则 cos xsin x_.返回导航解析：因为 x4，2，所以 sin xcos x，即 cos xsin x0，所以(cos xsin x)212sin xcos x14，所以 cos xsin x12.答案：12 返回导航考点一 同角三角函数的基本关系(1)已知，32，tan 2，则 cos _.(2)已知sin 3cos 3cos sin 5，则 sin2 sin cos 的值是()(A)25(B)25(C)2(D)2解析：(1)依题意得
5、tan sin cos 2，sin2 cos2 1，由此解得 cos2 15；又，32，因此 cos 55.(2)由sin 3cos 3cos sin 5 得tan 33tan 5，即 tan 2.所以 sin2 sin cos sin2 sin cos sin2 cos2 tan2 tan tan 125.返回导航答案：(1)55 (2)A【反思归纳】同角三角函数关系式的应用技巧(1)利用 sin2cos21 可实现 的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan 可以实现角 的弦切互化(2)关系式的逆用及变形用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.(3)sin，co
6、s 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin，cos 的齐次式，或含有 sin2，cos2 及 sin cos 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2cos21”代换后转化为“切”后求解返回导航【即时训练】已知角 的始终与 x 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点 P(3,4)，则sin 2cos sin cos _.返回导航答案：10考点二 三角函数的诱导公式(1)化简sinkcosk1sink1cosk，kZ；(2)已知 sin 2 55，求 tan()sin52 cos52；(3)化简tancos2sin32cossin.返回导航解：(1)当 k2n1
7、(nZ)时，原式sin2ncos2nsin2n2cos2nsincos sin cossin cos sin cos 1；当 k2n(nZ)时，原式sin2ncos2nsin2ncos2nsin cos sin cos 1.所以原式sinkcosk1sink1cosk1.返回导航(2)sin 2 55 0，为第一或第二象限角当 是第一象限角时，cos 1sin2 55，tan()sin52 cos52 tan cos sin sin cos cos sin 1sin cos 52.当 是第二象限角时，cos 1sin2 55，原式1sin cos 52.返回导航(3)方法一：原式tan cos
8、sin2cos sintan cossin2cos sin tan cos cos cos sin tan cos sin sin cos cos sin 1.返回导航方法二：原式tan cossin2cossintan cos sin2cos sin sin cos cos sin 1.返回导航【反思归纳】利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值返回导航【即时训练】已知 sin(3)13，求coscoscos1
9、cos2sin32 cossin32 的值返回导航答案：18考点三 诱导公式与同角关系的综合应用(高频考点)已知 sin、cos 是关于 x 的方程 x2axa0(aR)的两个根求：(1)cos32 sin32 的值；(2)tan()1tan 的值返回导航解：由已知原方程判别式 0，即(a)24a0，a4 或 a0.又sin cos a，sin cos a，(sin cos)212sin cos，即 a22a10，a1 2或 a1 2(舍去)，sin cos sin cos 1 2.返回导航(1)cos32 sin32 sin3 cos3(sin cos)(sin2 sin cos cos2)
10、(1 2)1(1 2)22.(2)tan()1tan tan 1tan tan 1tan sin cos cos sin 1sin cos 11 2 21.返回导航答案：(1)22(2)21【反思归纳】熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键另外，切化弦是常用的规律技巧返回导航【即时训练】(1)若 为三角形的一个内角，且 sin cos 23，则这个三角形是()(A)正三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形(2)若 sin6 513，且 2，则 sin23 _.返回导航解析：(1)因为(sin cos)212sin cos 49，所以 si
11、n cos 5180，所以 为钝角故选 D.(2)因为2，所以23 676，cos61 51321213，而 sin23 sin26cos61213.返回导航答案：(1)D(2)1213 同角关系与诱导公式结合解题教材源题：化简：(1)cos2sin52sin(2)cos(2)；(2)cos2()tan360sin.返回导航解：(1)原式cos2sin2sin cos sin cos sin cos sin2.(2)原式cos2 tan sin cos31cos .返回导航【规律总结】三角函数式化简目标方向(1)用同角关系中切弦互化，统一函数名(2)用诱导公式统一角(3)用因式分解将式子变形，化为最简返回导航【源题变式】(2018 淮南模拟)已知 f(x)sin2xcos32xcos3xsin112 x，则 f214 _.返回导航解析：因为 f(x)sinxsin xcosxsin62xsin2xcos xsin2x sin2xcos2xtan2x.所以 f214 tan2214 tan254tan241.返回导航答案：1返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！
