1、专题研读解决“会而不对，对而不全”问题是决定高考成败的关键，高考数学考试中出现错误的原因很多，其中错解类型主要有：知识性错误，审题或忽视隐含条件错误，运算错误，数学思想、方法运用错误，逻辑性错误，忽视等价性变形错误等.下面我们分几个主要专题对易错的知识点和典型问题进行剖析，为你提个醒，力争做到“会而对，对而全”.溯源回扣一集合与常用逻辑用语1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义抓住集合的代表元素.如：x|ylg x函数的定义域；y|ylg x函数的值域；(x，y)|ylg x函数图象上的点集.回扣问题1集合Ax|xy1，B(x，y)|xy1，则AB_.解析AR，B表示直线xy1上的点集，
2、AB.答案2.遇到AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；同样在应用条件ABBABAAB时，不要忽略A的情况.回扣问题2设集合Ax|x25x60，Bx|mx10，若ABB，则实数m组成的集合是_.解析由题意知集合A2，3，由ABB知BA.当B时，即方程mx10无解，此时m0符合已知条件；当B时，即方程mx10的解为2或3，代入得m或.综上，满足条件的m组成的集合为.答案3.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值.回扣问题3已知全集IR，集合Ax|y，集合Bx|0x2，则(IA)B等于()A.1，) B.(1，)C.0，) D
3、.(0，)解析A(，1，B0，2，IA(1，)，则(IA)B0，).答案C4.“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否命题p的结论.回扣问题4已知实数a，b，若|a|b|0，则ab.该命题的否命题是_，命题的否定是_.答案已知实数a，b，若|a|b|0，则ab已知实数a，b，若|a|b|0，则ab5.要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.回扣问题5(2017天津卷)设xR，则“2x0”是 “|x1|1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充
4、分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由2x0，得x2，由|x1|1，得1x11，即0x2，当x2时不一定有x0，而当0x2时一定有x2，“2x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件.答案B6.含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词.回扣问题6命题p：xR，exx10，则綈p是_.解析“”变为“”，并将结论否定，綈p：x0R，ex0x010.答案x0R，ex0x0107.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.回扣问题7若存在a1，3，使得不等式ax2(a2)x20成立，则实数x的取值范围是
5、_.解析“存在a1，3，使不等式ax2(a2)x20成立”的否定是“对任意a1，3，不等式ax2(a2)x20成立”，即(x2x)a2x20对a1，3恒成立，设f(a)(x2x)a2x2，其中a1，3.若f(a)0，则解得1x.故要使原不等式成立，则x或x1.答案B2.求解与函数、不等式有关的问题(如求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等)，要注意定义域优先的原则.回扣问题2(2017全国卷改编)函数f(x)ln(x22x8)的单调增区间是_.解析要使函数有意义，则x22x80，解得x4，结合二次函数、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则得函数的单调增区间为(4，).答案(4，)3.定义
6、域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.函数yf(x)为奇函数，但不一定有f(0)0成立.回扣问题3函数f(x)的奇偶性是_.解析由1x20且|x2|20，知f(x)的定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称，则f(x)，又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数.答案奇函数4.理清函数奇偶性的性质.(1)f(x)是偶函数f(x)f(x)f(|x|)；(2)f(x)是奇函数f(x)f(x)；(3)定义域含0的奇函数满足f(0)0.回扣问题4已知f(x)为偶函数，它在0，)上是减函数，若f(lg x)f(1)，则x的取值范围是_
7、.解析因为f(x)为偶函数，所以f(lg x)f(|lg x|)，从而由f(lg x)f(1)，得f(|lg x|)f(1)，又因为f(x)在0，)上是减函数，所以|lg x|1，即1lg x1，解得x0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：(1)函数f(x)满足f(x)f(ax)，则f(x)是周期T2a的周期函数；(2)若f(xa)(a0)成立，则T2a；(3)若f(xa)(a0)恒成立，则T2a；(4)若f(xa)f(xa)(a0)成立，则T2a.回扣问题5对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x2)，若当20，得x1或x0，a1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax0；对数函数y
8、logax(a0，a1)忽视真数与底数的限制条件.回扣问题8函数yloga|x|的增区间为_.答案当a1时，函数的增区间为(0，)；当0a1时，函数的增区间为(，0)9.分段函数的图象，一定要准确看清楚分界点的函数值.回扣问题9已知函数f(x)是R上的增函数，则实数k的取值范围是_.解析由题意知即所以k0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f(x)0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f(x)0，那么f(x)在该区间内为常函数.注意如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f(x)0恒成立，但要验证f(x)是否恒等于0，增函数亦如此.回扣问题12若函数f(x)ax3
9、x2x5在R上是增函数，则a的取值范围是_.解析f(x)ax3x2x5的导函数f(x)3ax22x1.由f(x)0在R上恒成立，得解得a.当a时，f(x)(x1)20，当且仅当x1时取等号，a.答案13.对于可导函数yf(x)，错以为f(x0)0是函数yf(x)在xx0处有极值的充分条件.回扣问题13若函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极小值10，则ab_.解析由题意知，f(x)3x22axb，解得或经验证，当a4，b11时，满足题意；当a3，b3时，f(x)3(x1)20恒成立，不满足题意，舍去.答案7溯源回扣三三角函数与平面向量1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(
10、x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置决定.回扣问题1已知角的终边经过点P(3，4)，则sin cos 的值为_.解析由三角函数定义，sin ，cos ，sin cos .答案2.求yAsin(x)的单调区间时，要注意，A的符号.若0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k时，不要忘掉kZ，所求区间一般为闭区间.回扣问题2函数ysin的递减区间是_.解析ysin，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.答案(kZ)3.在三角函数求值中，忽视隐含条件的制约导致增解.回扣问题3已知cos ，sin()，0，0，则cos _.解析0且cos
11、 cos，又0，又sin()，Bsin AsinB.回扣问题4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a1，c.若C，则角A_.解析由正弦定理得，即sin A.又ac，所以AC，所以0A0，且a，b不同向；故ab0是为锐角的必要不充分条件；当为钝角时，ab0，且a，b不反向，故ab0是为钝角的必要不充分条件.回扣问题5已知向量a(2，1)，b(，1)，R，设a与b的夹角为.若为锐角，则的取值范围是_.解析因为为锐角，所以0cos 1.又因为cos ，所以00时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a0，a0进行讨论.回扣问题5若不等式x2x10对xR恒成立.(1)当m210且m
12、10，不等式恒成立，m1.(2)当m210时，则即所以m或m0，b0，ab1，则y的最小值是_.解析a0，b0，ab1，y(ab)59，当且仅当b2a时等号成立.答案97.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点(x，y)与点(2，2)连线的斜率，而(x1)2(y1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1，1)的距离的平方等.回扣问题7(2016江苏卷)已知实数x，y满足则x2y2的取值范围是_.解析作满足条件的可行域如图中阴影部分所示.d可以看作坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离.数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2xy
13、20的距离.由得A(2，3)，dmax|OA|，dmin.则d2的最小值为，最大值为13，x2y2的取值范围是.答案8.对于通项公式中含有(1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知an1an1d或q(n2)，求an的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论.回扣问题8(2015山东卷改编)若an2n1，且bn(1)n1，则数列bn的前n项和Tn_.解析bn(1)n1(1)n1.当n为偶数时，Tn，Tn1.当n为奇数时，Tn，Tn1，故Tn答案Tn9.求解不等式、函数的定义域、值域时，其结果一定要用集合或区间表示，另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次项系数符号的影响.回扣问题9
14、已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为_.解析ax2bxc0的解集为，a0化为ax2axa0，由于a0，得x2x10，解之得x2.答案溯源回扣五立体几何1.由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主.回扣问题1在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2).给出编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.和 B.和C.和 D.和解析在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图
15、的画图规则判断三棱锥的正视图为，俯视图为，D正确.答案D2.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.回扣问题2(2017郑州质检)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图为半圆，则该几何体的体积V_.解析该几何体为半个圆锥，由三视图知，圆锥的高h2，因此V212.答案3.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由，l，ml，易误得出m的结论，这是因为忽视面面垂直的性质定理中m的限制条件.回扣问题3已知m，n是不同的直线，是不同的平面
16、.给出下列命题：若，m，nm，则n或n.若，m，n，则mn.若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线.若m，nm，且n，n，则n，且n.若m，n为异面直线，则存在平面过m且使n.其中正确的命题序号是_.解析错误.如正方体中面ABBA面ADDA，交线为AA.直线ACAA，但AC不垂直面ABBA，同时AC也不垂直面ADDA；正确.实质上是两平面平行的性质定理.错误.在上面的正方体中，AC不垂直于平面ABCD，但与BD垂直.这样AC就垂直于平面ABCD内与直线BD平行的无数条直线.正确.利用线面平行的判定定理即可.正确.如正方体中AA平面AADD，而CD平面AADD，且AA与CD异面.答案4.忽
17、视三视图的实、虚线，导致几何体的形状结构理解错误.回扣问题4如图，一个简单凸多面体的三视图的外轮廓是三个边长为1的正方形，则此多面体的体积为_.解析由三视图可知，几何体为正方体截去两个三棱锥后的部分，因为V正方体1，V三棱锥13，因此，该多面体的体积V12.答案5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.回扣问题5(2017广州模拟)如图，在平面四边形ABCD中，已知A45，C90，ADC105，ABBD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC(如图)
18、，设点E， F分别为棱AC，AD的中点.(1)求证：DC平面ABC；(2)设CDa，求三棱锥ABFE的体积.(1)证明在题图中，ABBD，且A45，ADB45，ABD90，则ABBD.在题图中，平面ABD平面BDC，且平面ABD平面BDCBD，AB平面ABD，AB底面BDC，且CD平面BDC，ABCD.又DCB90，DCBC，且ABBCB，DC平面ABC.(2)解E，F分别为AC，AD的中点，EFCD，又由(1)知，DC平面ABC，EF平面ABC，VABFEVFAEBSAEBFE.在题图中，ADC105，BDC60，DBC30，由CDa得，BD2a，BCa，EFCDa，SABCABBC2aaa
19、2，SAEBa2.VABFEa2aa3.溯源回扣六平面解析几何1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.回扣问题1直线xcos y20的倾斜角的范围是_.解析tan k，知k，0或0，b0)的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆的位置关系为_.解析(1)以原点O为圆心的圆过点P(1，2)，圆的方程为x2y25.kOP2，切线的斜率k.切线方程为y2(x1)，即x2y50.(2)设线段PF1的中点为P0，双曲线的右焦点为F2，则|OP0|PF2|，由双曲线定义，|PF1|P
20、F2|2a，|OP0|PF1|aRr，因此两圆内切.答案(1)x2y50(2)内切 5.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误.回扣问题5(2015广东卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率e，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析e，F2(5，0)，c5，a4，b2c2a29，双曲线C的标准方程为1.答案C6.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a|AB|，所以点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，因此a
21、2，c1，则b23，所以点M的轨迹方程为1.答案17.由圆锥曲线方程讨论几何性质时，易忽视讨论焦点所在的坐标轴导致漏解.回扣问题7已知椭圆1的离心率等于，则m_.解析当焦点在x轴上，则a2，c，则m1.当焦点在y轴上，则a，c，则m16.答案1或168.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题都应在“0”下进行.回扣问题8(2017西安调研)已知椭圆W：1(ab0)的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为
22、1，O为坐标原点.(1)求椭圆W的方程；(2)设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记AOB面积的最大值为Sk，证明：S1S2.(1)解由题意，得W的半焦距c1，右焦点F(1，0)，上顶点M(0，b).直线MF的斜率kMF1，解得b1.由a2b2c2，得a22.椭圆W的方程为y21.(2)证明设直线l的方程为ykxm，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组得(12k2)x24kmx2m220，16k28m280.由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.|AB|，原点O到直线ykxm的距离d，SAOB|AB|d，当k1时，SAOB，当m2时，SAOB有最大值S1，验证满足式，当k2时，
23、SAOB，当m2时，SAOB的最大值S2，验证式成立.因此S1S2.溯源回扣七概率与统计1.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.回扣问题1从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生检验表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示.若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为_.解析该班学生视力在0.9以上的频率为(1.000.750.25)0.20.40，所以能报A专业的人数为500.4020.答案202.在独立性检验中，K2(其中nabcd)所给出的检验随机变量K2的观测值k，并
24、且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X与Y有关系”的可信程度.回扣问题2为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的22列联表：分类喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050则至少有_的把握认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示).附：K2P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828解析由列联表，k8.333.又P(K27.879)0.005，且8.3337.879，至少有99.5%的把握认为喜爱
25、篮球与性别有关.答案99.5%3.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意确定各事件是否彼此互斥，并且注意对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.回扣问题3抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)，P(B)，求出现奇数点或2点的概率之和为_.解析由互斥事件概率加法公式，P(AB)P(A)P(B).答案4.混淆直线方程yaxb与回归直线x系数的含义，导致回归分析中致误.回扣问题4(2017西安调研)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8
26、.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程x，其中0.76，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元 B.11.8万元C.12.0万元 D.12.2万元解析由统计表，易得10，8，80.76100.4.因此回归直线方程为0.76x0.4，当x15时，0.76150.411.8(万元).答案B5.几何概型的概率计算中，几何“测度”确定不准而导致计算错误.回扣问题5在1，1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_.解析由直线ykx与圆(x5)2y29相交，得3，16k29
27、，解得k，由几何概型的概率公式，P.答案溯源回扣八复数、程序框图、推理与证明1.复数z为纯虚数的充要条件是a0且b0(zabi(a，bR).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.回扣问题1设i是虚数单位，复数z为纯虚数，则实数a_.解析z，由于z为纯虚数，且aR，0且0，则a2.答案22.复平面内，复数zabi(a，bR)对应的点为Z(a，b)，不是Z(a，bi)；当且仅当O为坐标原点时，向量与点Z对应的复数相同.回扣问题2(2016北京卷改编)设aR，若复数z(1i)(ai)在复平面内对应的点位于虚轴上，则a_.解析z(1i)(ai)(a1)(a1)i，依题意，a10，则a1.答案13.
28、类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比.回扣问题3图有面积关系：，则图有体积关系：_.答案4.反证法证明命题进行假设时，应将结论进行否定，特别注意“至少”“至多”的否定要全面.回扣问题4用反证法证明命题：“已知a，bN，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是()A.a，b都不能被5整除B.a，b都能被5整除C.a，b中有一个不能被5整除D.a，b中有一个能被5整除解析由反证法的定义得，反设即否定结论.答案A5.控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件.在解答这类题目时，易混淆两变量的变化次序，且容易错误判定循环体结束的条件.回扣问题5(2017全国卷)执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A.5 B.4 C.3 D.2解析若N2，第一次进入循环，t12成立，S100，M10，t1122成立，第二次进入循环，此时S1001090，M1，t2132不成立，所以输出S9091成立，所以输入的正整数N的最小值是2.答案D
