1、广西南宁市第八中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）第卷一、单选题：（本大题共12小题，共60分）.1. 已知集合，集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用集合的补集和并集定义进行计算可得答案【详解】集合，则故选：D【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断【详解】因为，所以为奇函数，不符合题意；因为，则，故不是偶函数因为，所以为偶函数，但是在上单调递减，则为偶函数，且时，单调递增
2、故选：D【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.3. 下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用函数的概念判断.【详解】A. ，定义域都为R，故是相等函数；B. 的定义域为R， 定义域为，故不是相等函数；C. 定义域为 ，定义域为R，故不是相等函数；D. 定义域为， 定义域为，故不相等函数；故选：A【点睛】本题主要考查函数的概念以及相等函数的判断，属于基础题.4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性比较、三个数与、的大小关系，由此可得出、三个数的大小关系.
3、【详解】，因此，.故选：A.5. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性和特殊值即可容易判断.【详解】因为定义域为关于原点对称，且，故是奇函数，故排除.又因为，故排除.故选：D【点睛】本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断，以及指数运算，属综合基础题.6. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据分段函数解析式先计算，再计算即可.详解】，所以.故选：A【点睛】本题主要考查分段函数求值，属于基础题.7. 若，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的
4、运算,即可求解.【详解】由题意根据指数式与对数式的转化可得由换底公式可得由对数运算化简可得故选:A【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.8. 若函数为上的减函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知二次函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由于函数为上的减函数，则二次函数在区间上为减函数，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，所以，；函数在区间上为减函数，则，且有.所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用分
5、段函数的单调性求参数的取值范围，要注意分析每支函数的单调性以及分界点处函数值的大小关系，考查计算能力，属于中等题.9. 定义在上的奇函数满足，并且当时，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出函数的最小正周期，再利用函数的奇偶性和周期化简即得解.【详解】因为满足，所以函数的周期为4，由题得，因为函数f(x)是奇函数，所以，因为，所以.故选A【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10. 已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数是幂函数且在为增
6、函数可求得的值，将所求不等式变形为，由此可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为是幂函数，所以，解得或.又因为、，都有，可设，则，所以，函数是单调递增函数，当时，该函数在上不单调，不合乎题意；当时，该函数在上为增函数.所以等价于，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式，同时也考查了利用幂函数求参数，考查计算能力，属于中等题.11. 已知且在，上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. 0，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】令，则，讨论，运用对数函数和二次函数单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，解不等式即可得到所求范围.【详解
7、】且在，上是增函数，若，则在递减，可得在，递减，即有，且，解得且，可得；若，则在递增，可得在，递增，即有，且，解得且，可得.综上可得，.故选：A.【点睛】本题考查对数函数图象和性质，注意运用复合函数的单调性：同增异减，考查运算能力，属于中档题.12. 函数的值域为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数的值域为，即可取遍所有的值，分三类讨论，结合图像即得解.【详解】函数的值域为，即可取遍所有的值；（1）当时：满足条件；（2）当时：；（3）当时：不成立.综上：.故选：B【点睛】本题考查了复合函数的值域问题，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中
8、档题.第卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 已知函数恒过定点，则此定点为_.【答案】【解析】【分析】根据对数函数的性质，令求解.【详解】由，解得，所以函数过定点，故答案为：14. 设集合且,则值是_.【答案】-2或0【解析】【分析】由,可得,即可得到或,分别求解可求出答案.【详解】由题意,若,解得或,当时,集合中,不符合集合的互异性,舍去;当时,符合题意.若,解得,符合题意.综上,的值是-2或0.故答案为:-2或0.【点睛】本题考查了交集的性质,考查了集合概念的理解,属于基础题.15. 如果函数定义域为，则函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】由得出
9、，然后解不等式，即可得出函数的定义域.【详解】对于函数，该函数的定义域为，即，得.对于函数，则有，解得因此，函数的定义域为.故答案为.【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解，需要注意以下两个问题：（1）函数的定义域为自变量的取值范围；（2）求解抽象函数的定义域要注意中间变量的取值范围要一致.由此列不等式进行求解，考查计算能力，属于中等题.16. 有下列四个判断：若在上是增函数，则；函数与函数只有两个交点；函数的最小值是1；在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称.其中正确的序号是_.【答案】.【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质，可判定不正确；结合函数与函数的图象，可判定不正确；由，所以，可判
10、定正确；根据指数函数的图象，可判定正确.【详解】对于中，二次函数的对称方程为，要使得函数在上时增函数，则满足，所以不正确；对于中，作出函数与函数的图象，如图所示结合图象，当时，两函数的图象只有一个交点，当时，其中，两函数的图象有两个交点，所以函数与函数只有两个交点，所以不正确；对于中，因为，所以，所以函数的最小值是，所以正确；对于中，根据指数函数的图象，在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称，所以正确.故答案为：.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1）化简：；（2）计算：.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质可
11、化简所求代数式；（2）利用对数的运算性质、换底公式可求得所求代数式的值.【详解】（1）原式；（2）原式.18. 已知全集，集合.（1）当时，求；（2）如果，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）先化简集合A，再根据得到集合B，然后再利用交集和补集的运算求解. （2）由，得到，然后分和两种情况讨论求解.【详解】（1）集合，当时，所以，故或（2）因为，所以，当时，有得：，当时，有，解得，综合得：，故实数的取值范围为：.19. 某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，费用分为通讯费(即电话费)与网络维护费两部分现有政策规定：通讯费为0.02元/分钟，但每月30
12、元封顶(即超过30元则只需交30元)，网络维护费1元/小时，但每月上网不超过10小时则要交10元；二是到附近网吧上网，价格为1.5元/小时（）将该网民某月内在家上网的费用y(元)表示为时间t(小时)的函数；（）试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜？【答案】（）；（2）60【解析】【分析】（）根据通讯费为0.02元/分钟，可知通讯费为1.2元/小时，再分不超过10小时；超过10小时，而不超过25小时；当超过25小时，即可求得家里上网的费用y（元）表示为时间t（小时）的函数；（）附近网吧上网的费用表示为时间t（小时）的函数，与（1）中比较，即可确定何种情况下，该网民在家上网更便宜.【详解】（）
13、通讯费为0.02元/分钟=1.2元/小时当不超过10小时时，费用y=10+1.2t当超过10小时，而不超过25小时时，费用y=（1+1.2）t=2.2t当超过25小时，费用y=t+30家里上网的费用y（元）表示为时间t（小时）的函数为（）附近网吧上网，价格为1.5元/小时，则附近网吧上网的费用表示为时间t（小时）的函数为f（t）=1.5t当1.5tt+30时，即t60时，在家上网便宜；当1.5t2.2t时，不满足题意；当1.5t10+1.2t时，不满足题意即上网时间超过60小时则在家上网便宜【点睛】(1)本题主要考查函数模型的构建和分类讨论的思想，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论分析
14、推理能力.(2)解答第2问的关键是附近网吧上网的费用表示为时间t（小时）的函数，与（1）中比较，即可确定何种情况下，该网民在家上网更便宜.20. 已知二次函数满足，且（1）求的解析式；（2）求函数在区间上的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；（2）将解析式写成顶点式，从而求出函数的对称轴、单调性，由此可求出函数的最值【详解】解：（1）设，则，解得，又，；（2）由（1）得，当时，函数在上单调递减，；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，；【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，考查二次函数的单调性与最值，考查数形结合思想，考查转化与化归思想，属于中档
15、题21. 设是定义在上的函数，且对任意、，恒有.（1）判断的奇偶性并证明；（2）若函数是上的增函数，已知，且，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）令可求得，再令，代入可证得函数的奇偶性；（2）计算得出，将所求不等式变形为，解此二次不等式即可.【详解】（1）函数为奇函数，理由如下：对任意、，恒有，令，可得，解得，令，可得，所以，由于函数的定义域为，因此，函数为奇函数；（2），则，由，由于函数是上的增函数，则，整理得，解得或.因此，实数的取值范围是.【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）
16、根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.22. 已知是上的奇函数.（1）求；（2）判断的单调性并证明；（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）函数为上的减函数，证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）奇函数的定义可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值；（2）判断出函数为上的减函数，任取、且，作差，因式分解后判断差值符号，由此可证得结论成立；（3）由已知得出不等式对任意的恒成立，令，可得出，由此可求得实数的取值范围.【详解】（1），因为函数为上的奇函数，可得，即，解得；（2），则函数为上的减函数，任取、且，则，则，即，因此，函数为上的减函数；（3）由可得，即不等式对任意的恒成立，令，则，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义得出结论.即取值作差变形定号下结论.
