1、第2讲 数列的求和问题 专题四 数列、推理与证明 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 21.(2015福建)在等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；解 设等差数列an的公差为d，由已知得a1d4，a13da16d15，解得a13，d1.所以ana1(n1)dn2.1 2(2)设bnn，求b1b2b3b10的值.解 由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)2121012110102(2112)55211532 101.22 na 1 22.(2014课标
2、全国)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根.(1)求an的通项公式；解 方程x25x60的两根为2,3，由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故 d12，从而 a132.所以an的通项公式为 an12n1.1 2(2)求数列an2n的前 n 项和.解 设an2n的前 n 项和为 Sn.由(1)知an2nn22n1，则Sn 322 423n12n n22n1，12Sn 323 424n12n1n22n2.1 2两式相减得 12Sn34(123 12n1)n22n23414(1 12n1)n22n2.所以 Sn2n42n1.考情考向分析 高考对数列求和
3、的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.热点一 分组转化求和热点分类突破 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.例1 等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18(1)求数列an的通项公式；解 当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110
4、时，不合题意.因此a12，a26，a318，所以公比q3.故an23n1(nN*).(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn.解 因为bnan(1)nln an 23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 3 23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln2ln 3)123(1)nnln 3.当n为偶数时，Sn213n13 n2ln 33nn2ln 31；当n为奇数时，Sn213n13(ln 2ln 3)n12 n ln 33nn12 ln 3ln 21.综上所述，Sn3nn2ln
5、 31，n为偶数，3nn12 ln 3ln 21，n为奇数.思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.跟踪演练1 在等差数列an中，a3a4a584，a973.(1)求数列an的通项公式；解 因为an是一个等差数列，所以a3a4a53a484，所以a428.设数列an的公差为d，则5da9a4732845，故d9.由a4a13d得28a139，
6、即a11，所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*).(2)对任意mN*，将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.解 对mN*，若9man92m，则9m89n92m8，因此9m11n92m1，故得bm92m19m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1)9181m18119m19 92m1109m180.热点二 错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.例2 已知数列an的前n项和为Sn，且有a12,3Sn5anan1
7、3Sn1(n2).(1)求数列an的通项公式；解 3Sn3Sn15anan1(n2)，2anan1，anan112，又a12，an是以 2 为首项，公比为12的等比数列，an2(12)n1(12)n222n.(2)若bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Tn.解 bn(2n1)22n，Tn121320521(2n1)22n，12Tn120321(2n3)22n(2n1)21n，12Tn22(202122n)(2n1)21n22121n1121(2n1)21n6(2n3)21n，Tn12(2n3)22n.思维升华(1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列
8、；(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数.(3)为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证.跟踪演练2 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn12Snn1(nN*)，(1)求数列an的通项公式；解 Sn12Snn1，当n2时，Sn2Sn1n，an12an1，an112(an1)，即an11an1 2(n2)，又S22S12，a1S11，a23，a21a112，当n1时，式也成立，an12n，即an2n1(nN*).(2)若 bnnan1an，求数列bn的前 n 项和 Tn.解 an2n1，bnn2n112n1n2n1
9、2n n2n，Tn12 222 323 n2n，12Tn 122 223n12n n2n1，Tn2(12 122 123 12n n2n1)2 12n1 n2n2n22n.热点三 裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于1anan1或1anan2(其中an为等差数列)等形式的数列求和.例 3 已知在数列an中，a11，当 n2 时，其前 n 项和Sn 满足 S2nan(Sn12).(1)求Sn的表达式；解 当 n2 时，anSnSn1 代入 S2nan(Sn12)，得2SnSn1SnSn10，由于Sn0，所以 1Sn 1Sn12，所
10、以 1Sn是首项为 1，公差为 2 的等差数列，从而 1Sn1(n1)22n1，所以 Sn12n1.(2)设 bnSn2n1，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明 Tn12.证明 因为 bnSn2n112n12n112(12n112n1)，所以 Tn12(113)(1315)(12n112n1)12(112n1)12，所以 Tn12.思维升华(1)裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式，使之符合裂项相消的条件.思维升华(2)常化的裂项公式 1nnk1k(1n 1nk)；
11、12n12n112(12n112n1)；1nnk1k(nk n).跟踪演练 3(1)已知数列an，an1n1 n，其前 n 项和 Sn9，则 n_.解析 因为 an1n1 nn1 n，所以 Sna1a2a3an1an(21)(3 2)(4 3)(nn1)(n1 n)n11.由n119，解得 n99.99(2)(2015江苏)设数列an满足 a11，且 an1ann1(nN*)，则数列1an 前 10 项的和为_.解析 a11，an1ann1，a2a12，a3a23，anan1n，将以上 n1 个式子相加得 ana123n2nn12，即 annn12，令 bn 1an，故 bn2nn121n 1
12、n1，故 S10b1b2b1021121213 110 111 2011.答案 2011高考押题精练 1 21.已知数列an的通项公式为 ann22nnn1，其前 n 项和为 Sn，若存在实数 M，满足对任意的 nN*，都有 SnM 恒成立，则M 的最小值为_.押题依据 数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是考试大纲中明确提出的知识点，年年在考,年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循.1 2解析 因为 ann22nnn12n1n2nnn1 12n1n12nn1，所以 Sn(12011212)(12121223)12n1
13、n12nn1112nn1，由于 112nn10)，且4a3是a1与2a2的等差中项.(1)求an的通项公式；(2)设 bn2n1an，求数列bn的前 n 项和 Tn.押题依据 错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用an，Sn的关系求an，也是高考出题的常见形式.1 2解(1)当n1时，S1a(S1a11)，所以a1a，当n2时，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，由，得 anaan1，即 anan1a，故an是首项a1a，公比等于a的等比数列，所以anaan1an.故a2a2，a3a3.1 2由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3a12a2，即8a3a2a2，因为a0，整理得8a22a10，即(2a1)(4a1)0，解得 a12或 a14(舍去)，故 an(12)n 12n.1 2(2)由(1)，得 bn2n1an(2n1)2n，所以Tn32522723(2n1)2n 1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1,由，得Tn322(22232n)(2n1)2n1 1 262222n112(2n1)2n122n2(2n1)2n1 2(2n1)2n1，所以Tn2(2n1)2n1.谢谢观看 更多精彩内容请登录：
