1、2015-2016学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题1在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是_2若点H（2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为_3若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为_4若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为_5经过点（2，2）且与双曲线y2=1有公共渐近线的双曲线方程为_6已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为_7一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_8在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为_9在北纬45
2、的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为_10设与是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=_11如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是_（结果用反三角函数值表示）12已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z4|的取值范围是_13已知x、y、u、vR，且x+3y2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v22ux2vy，则T的最小值为_14已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T=（x，y）|F（x，y）=0，若对于任意的（x1，y1）
3、T，都存在（x2，y2）T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有_（写出所有曲线的序号）2x2+y2=1；x2y2=1；y2=2x；|x|y|=1；（2xy+1）（|x1|+|y2|）=0二、选择题15“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l”的一个（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件16曲线：2x23xy+2y2=1（）A关于x轴对称B关于原点对称，但不关于直线y=x对称C关于y轴对称D关于直线y=x对称，也关于直线y=x对称17下列命题中，正确的命题是（）A若z1、z2C，z1z20，则z1z2B若zR，则z=
4、|z|2不成立Cz1、z2C，z1z2=0，则z1=0或z2=0Dz1、z2C，z12+z22=0，则z1=0且z2=018如图，正方体ABCDA1B1C1D1，则下列四个命题：点P在直线BC1上运动，三棱锥AD1PC的体积不变点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变点P在直线BC1上运动，二面角PAD1C的大小不变点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线其中的真命题是（）ABCD三、解答题19如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需
5、要多少平方米的钢板？20设直线y=x+2与双曲线=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是kOA、kOB，求kOAkOB的值21已知复数满足（2i）=34i，=mi，mR（1）若|+|2|，求实数m的取值范围；（2）若+是关于x的方程x2nx+13=0（nR）的一个根，求实数m与n的值22如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的正方形，PA底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan（1）求证：CDPD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平
6、面PCD所成角分别为、，求的值23在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，1）的距离与P到定直线y=2的距离的比为，动点P的轨迹记为C（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y0.5）2=r2（r0）上运动，且总有|MN|0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标若不存在，请说明理由2015-2016学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关
7、系是平行或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】根据直线a，b是否共面得出结论【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面故答案为：平行或异面2若点H（2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为4【考点】抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的准线方程，由题意可得=2，即可解得p的值【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程为x=，由题意可得=2，解得p=4故答案为：43若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为14【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20，结合P到其焦点
8、F1的距离为6，可求P到另一焦点F2的距离【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20P到其焦点F1的距离为6，|PF2|=206=14即P到另一焦点F2的距离为14故答案为：144若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，rh=1圆柱的侧面积S=2rh=2故答案为：25经过点（2，2）且与双曲线y2=1有公共渐近线的双曲线方程为【考点】双曲线的简单性质【分析】根据渐近线相同，利用待定系数
9、法设出双曲线方程进行求解即可【解答】解：与双曲线y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线y2=，（0），双曲线过点（2，2），=，即y2=2，即，故答案为：6已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为8【考点】简单线性规划【分析】画可行域z为目标函数纵截距四倍画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）点时z有最大值8故答案为87一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面
10、半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2r=2，r=1圆锥的高h=圆锥的体积V=故答案为：8在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为+1【考点】参数方程化成普通方程【分析】把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切d=r，切点在第一象限，求出a的值【解答】解：圆的参数方程（为参数）化为普通方程是（x1）2+y2=1，直线的参数方程（t为参数）化为普通方程是x+y=a；直线与圆相切，则圆心C（1，0）到直线的距离是d=r，即=1；解得|1a|=，a=+1，或a=1；切点在第一象限，a=+1；故答
11、案为： +19在北纬45的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为R【考点】球面距离及相关计算【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，即可求出两点间的球面距离【解答】解：地球的半径为R，在北纬45，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：；故答案为：10设与是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=2【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】由题意，可设=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得=abi，且m与n为实数，b0由根与系数的关系得到
12、a，b的关系，上，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值【解答】解：设=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得=abi，且m与n为实数，n0由根与系数的关系可得+=2a=2，=a2+b2=mm0a=1，m=b2+1，复平面上，0对应点构成直角三角形，在复平面对应的点分别为A，B，则OAOB，所以b2=1，所以m=1+1=2；，故答案为：211如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是acrcos（结果用反三角函数值表示）【考点】异面直线及其所成的角【分析】利用两个向量数量积的定义求得，由 =（）（）求得，求得cos=，故异面直线AB1与
13、BC1所成的角是arccos【解答】解： =44cos=32cos又 =（）（）=+=44cos120+0+0+44=8故有 32cos=8，cos=，=arccos，故异面直线AB1与BC1所成的角是 arccos，故答案为arccos12已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z4|的取值范围是8，10【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z4|的表示圆上的点到（4，0）和（4，0）的距离，结合图形可求【解答】解：复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z4|的表示圆上的点到（4
14、，0）和（4，0）的距离，由图象可知，当点在E，G处最小，最小为：4+4=8，当点在D，F处最大，最大为2=10，则|z+4|+|z4|的取值范围是8，10，故答案为8，1013已知x、y、u、vR，且x+3y2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v22ux2vy，则T的最小值为10【考点】二维形式的柯西不等式【分析】x+3y2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（xu）+3（yv）=10设xu=m，yv=n，m+3n=10T=x2+y2+u2+v22ux2vy=（xu）2+（yv）2=m2+n2，利用柯西不等式，即可得出结论【解答】解：x+3y2=0，u+3v+8=0，相减，整理
15、可得（xu）+3（yv）=10设xu=m，yv=n，m+3n=10T=x2+y2+u2+v22ux2vy=（xu）2+（yv）2=m2+n2，（m2+n2）（1+9）（m+3n）2，m2+n210，T的最小值为10故答案为：1014已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T=（x，y）|F（x，y）=0，若对于任意的（x1，y1）T，都存在（x2，y2）T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有（写出所有曲线的序号）2x2+y2=1；x2y2=1；y2=2x；|x|y|=1；（2xy+1）（|x1|+|y2|）=0【考点】曲线与方程【分析】由曲线的
16、定义可知，具备曲线的条件是对于任意的P1（x1，y1）T，都存在P2（x2，y2）T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1OP2然后逐个验证即可得到答案【解答】解：对于任意P1（x1，y1）T，存在P2（x2，y2）T，使x1x2+y1y2=0成立，即OP1OP2对于2x2+y2=1，2x2+y2=1的图象关于原点中心对称，对于任意P1（x1，y1）C，存在P2（x2，y2）C，使OP1OP2故2x2+y2=1为曲线；对于x2y2=1，当P1（x1，y1）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P2（x2，y2）C，使OP1OP2故x2y2=1不是曲线；对于y2=2x，其图象关于y轴对称，OP1
17、的垂线一定与抛物线相交，故y2=2x为曲线；对于，当P1（x1，y1）为（1，0）时，曲线上不存在点P2（x2，y2）C，使OP1OP2故不是曲线；对于，由（2xy+1）（|x1|+|y2|）=0可得2xy+1=0或点（1，2），对于任意P1（x1，y1）C，存在P2（x2，y2）C，使OP1OP2故（2xy+1）（|x1|+|y2|）=0为曲线故答案为：二、选择题15“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l”的一个（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】直线l垂直于平面内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与不
18、一定平行，如果l，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面内的无数条直线，最后根据“若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件”可得结论【解答】解：直线l垂直于平面内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与不一定平行，如果l，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面内的无数条直线故“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l”的必要不充分条件故选：B16曲线：2x23xy+2y2=1（）A关于x轴对称B关于原点对称，但不关于直线y=x对称C关于y轴对称D关于直线y=x对称，也关于直线y=x对称【考点】曲线与方程【分析】由题意，x，y互换，方程不变；以x代替y，以y代替x，方程不变
19、，即可得出结论【解答】解：由题意，x，y互换，方程不变；以x代替y，以y代替x，方程不变，曲线：2x23xy+2y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=x对称，故选：D17下列命题中，正确的命题是（）A若z1、z2C，z1z20，则z1z2B若zR，则z=|z|2不成立Cz1、z2C，z1z2=0，则z1=0或z2=0Dz1、z2C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0【考点】复数的基本概念【分析】由已知条件利用复数的性质及运算法则直接求解【解答】解：在A中，若z1、z2C，z1z20，则z1的实数大于z2的实部，z1与z2的虚部相等，z1与z2不能比较大小，故A错误；在B中，若zR，当
20、z=0时，z=|z|2成立，故B错误；在C中，z1、z2C，z1z2=0，则由复数乘积的运算法则得z1=0或z2=0，故C正确；在D中，令Z1=1，Z2=i，则Z12+Z22=0成立，而Z1=0且Z2=0不成立，z1、z2C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0不成立，故D错误故选：C18如图，正方体ABCDA1B1C1D1，则下列四个命题：点P在直线BC1上运动，三棱锥AD1PC的体积不变点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变点P在直线BC1上运动，二面角PAD1C的大小不变点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线其中的真命题是（）
21、ABCD【考点】棱柱的结构特征【分析】由正方体的性质可得：BC1AD1，于是BC1平面AD1C，可得直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AD1C的面积不变，即可判断出结论由可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，即可判断出正误由可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，即可判断出二面角PAD1C的大小是否改变如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC1|，利用两点之间的距离公式化简即可得出【解答】解：由正方体的性质可得：BC1AD1，于是BC1平面AD1C，因此直线
22、BC1上的点到平面AD1C的距离不变，点P在直线BC1上运动，又AD1C的面积不变，因此三棱锥AD1PC的体积=不变点P在直线BC1上运动，由可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，因此直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，故不正确点P在直线BC1上运动，由可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，可得二面角PAD1C的大小不变，正确；如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C1（0，a，a），设P（x，y，0），|PD|=|PC1|，则=，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直线，正确其中的真命题是故选：B三、解答题19如图，设计一个
23、正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）求出正四棱锥形的体积即可；（2）求出斜高，在计算侧面积【解答】解：（1）V=S正方形ABCDh=64正四棱锥形冷水塔的容积为64立方米（2）取底面ABCD的中心O，AD的中点M，连结PO，OM，PM则PO平面ABCD，PMAD，PO=h=3，OM=，PM=5，SPAD=20S侧面积=4SPAD=80制造这个冷水塔的侧面需要80平方米的钢板20设直线y=x+2与双曲线=1交于A、B两点，O为坐标原点，
24、求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是kOA、kOB，求kOAkOB的值【考点】双曲线的简单性质【分析】（1）联立方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式以及两点间的距离公式求出半径和圆心即可得到结论（2）求出对应的斜率，结合根与系数之间的关系代入进行求解即可【解答】解：（1）将直线y=x+2代入=1得x24x14=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=14，则AB的中点C的横坐标x=，纵坐标y=，即圆心C（2，3），|AB|=3，则半径R=，则圆的标准方程为（x2）2+（y3）2=（2）若OA、OB所在直
25、线的斜率分别是kOA、kOB，则kOA=，kOB=，则kOAkOB=21已知复数满足（2i）=34i，=mi，mR（1）若|+|2|，求实数m的取值范围；（2）若+是关于x的方程x2nx+13=0（nR）的一个根，求实数m与n的值【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算【分析】（1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出；（2）根据韦达定理即可求出【解答】解：（1）（2i）=34i，a=2i，+=2+m2i，|+|2|，（2+m）2+44（4+1），解得6m2，m的取值范围为（6，2），（2）+是关于x的方程x2nx+13=0（nR）的一个根，则2+m+2i也是方程的另一个根
26、，根据韦达定理可得，解的或22如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的正方形，PA底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan（1）求证：CDPD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为、，求的值【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角【分析】（1）由PA平面ABCD得出PACD，又CDAD得出CD平面PAD，故而CDPD；（2）以A为坐标原点激励空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角即可得出答案；（3）求出平面PCD的法向量，则sin=|cos，|，sin=|cos，|【解答】证
27、明：（1）PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD四边形ABCD是正方形，CDAD又PA平面PAD，AD平面PAD，PAAD=A，CD平面PAD，PD平面PAD，CDPD（2）由（1）可知CD平面PAD，CPD为PC与平面PAD所成的角tanCPD=，PD=2PA=2以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）=（2，1，0），=（0，2，2）=2，|=，|=2，cos=异面直线AE与PD所成的角为arccos（3）C（2，2，0），B（2，0，0），=（2，0，2），=（2，1，2），=（2，
28、0，0）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，令z=1得=（0，1，1）=1， =2cos=，cos=sin=，sin=23在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，1）的距离与P到定直线y=2的距离的比为，动点P的轨迹记为C（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y0.5）2=r2（r0）上运动，且总有|MN|0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（
29、1）设点P（x，y），由题意可得： =，化简即可得出（2）E（0，）分类讨论：r+，根据|MN|0.5，可得r+0r+，设M，|MN|=|EN|r，解得r|EN|的最小值，即可得出r的取值范围（3）把x=代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=取点T（1，0）时满足=0下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）设过点Q（，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）与椭圆方程化为：（18+9k2）x2+6k2x+k218=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得=（x11）（x21）+=0即可证明【解答
30、】解：（1）设点P（x，y），由题意可得： =，化为：x2+=1（2）E（0，）分类讨论：r+，总有|MN|0.5，r+=+10r+，设M，|MN|=|EN|r，解得r|EN|=，综上可得：r的取值范围是（3）把x=代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=取A，B取点T（1，0）时满足=0下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T设过点Q（，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）联立，化为：（18+9k2）x2+6k2x+k218=0，x1+x2=，x1x2=则=（x11）（x21）+y1y2=（x11）（x21）+=（1+k2）x1x2+（x1+x2）+1+=（1+k2）+1+=0在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T2016年9月27日
