1、9.8 圆锥曲线的综合问题1直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有 0直线与圆锥曲线_；0直线与圆锥曲线_；0，即3 2m3 2时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点(2)当 0，即 m3 2时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点(3)当 0，即 m3 2时，方程没有实数根，可
2、知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点【思维升华】(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解 跟踪训练 1(2016全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连
3、接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求|OH|ON|；(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由【解析】(1)由已知得 M(0，t)，Pt22p，t，又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 Nt2p，t，ON 的方程为 yptx，代入 y22px 整理得 px22t2x0，解得 x10，x22t2p，因此 H2t2p，2t.所以 N 为 OH 的中点，即|OH|ON|2.(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点，理由如下：直线 MH 的方程为 ytp2tx，即 x2tp(yt)代入 y22px 得 y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线MH 与
4、 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点.题型二 弦长问题【例 2】已知 A 是椭圆 E：x24y231 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN 的面积；(2)当 2|AM|AN|时，证明：3k0，由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为4.又 A(2，0)，因此直线 AM 的方程为 yx2.将 xy2 代入x24y231 得 7y212y0，解得 y0 或 y127，所以 y1127.因此AMN 的面积 SAMN212127 127 14449.(2)证明 将
5、直线 AM 的方程 yk(x2)(k0)代入x24y231 得(34k2)x216k2x16k2120，由 x1(2)16k21234k2 得 x12（34k2）34k2，故|AM|x12|1k212 1k234k2.由题设，直线 AN 的方程为 y1k(x2)，故同理可得|AN|12k 1k23k24.由 2|AM|AN|，得234k2k3k24，即 4k36k23k80，设 f(t)4t36t23t8，则 k 是 f(t)的零点，f(t)12t212t33(2t1)20，所以 f(t)在(0，)单调递增，又 f(3)15 3260，因此 f(t)在(0，)有唯一的零点，且零点 k 在(3，
6、2)内，所以 3kb0)的左，右焦点，过 F1 且斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求 E 的离心率；(2)设点 P(0，1)满足|PA|PB|，求 E 的方程【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB|43a，l 的方程为 yxc，其中 c a2b2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点的坐标满足方程组化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则 x1x22a2ca2b2，x1x2a2（c2b2）a2b2.因为直线 AB 的斜率为 1，所以
7、|AB|2|x2x1|2（x1x2）24x1x2，即43a 4ab2a2b2，故 a22b2，所以 E 的离心率 eca a2b2a 22.(2)设 AB 的中点为 N(x0，y0)，由(1)知 x0 x1x22 a2ca2b22c3，y0 x0cc3.由|PA|PB|，得 kPN1，即y01x0 1，得 c3，从而 a3 2，b3.故椭圆 E 的方程为x218y291.题型三 中点弦问题 角度一 利用中点弦确定直线或曲线方程【例3】(1)抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线xy0与抛物线C交于A，B两点，若P(1，1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()Ay2x2 By22x Cx2
8、2yDy22x(2)已知(4，2)是直线 l 被椭圆x236y291 所截得的线段的中点，则 l 的方程是_【解析】(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为 y22px，两式相减可得 2py1y2x1x2(y1y2)kAB22，即可得 p1，抛物线 C 的方程为 y22x.(2)设直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2136y2191，且x2236y2291，两式相减得y1y2x1x2x1x24（y1y2）.又 x1x28，y1y24，所以y1y2x1x212，故直线 l 的方程为 y212(x4)，即 x2y80.【答案】(1)B(2)x2y80
9、角度二 由中点弦解决对称问题【例 4】如图，已知椭圆x22y21 上两个不同的点 A，B 关于直线 ymx12对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)【解析】(1)由题意知 m0，可设直线 AB 的方程为 消去 y，得12 1m2 x22bmxb210.因为直线 y1mxb 与椭圆x22y21 有两个不同的交点，所以 2b22 4m20，将 AB 中点 M2mbm22，m2bm22 代入直线方程 ymx12，解得bm222m2，由得 m 63 或 m 63.(2)令 t1m 62，0 0，62，则|AB|t212t42t232t212.且 O 到直线 AB 的距
10、离为 dt212t21.设AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)12|AB|d122t21222 22.当且仅当 t212时，等号成立 故AOB 面积的最大值为 22.【思维升华】处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x1x2，y1y2，y1y2x1x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用 跟踪训练 3 已知双曲线 x2y231 上存在两点 M，N 关于直线 yxm 对称，且 MN 的中点在抛物线 y218x 上，则实数 m的值为_【解析】设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点 P(x0，y0)，由得(x2x1)(x2x1)13(y2y1)(y2y1)，显然 x1x2.y2y1x2x1y2y1x2x13，即 kMNy0 x03.M，N 关于直线 yxm 对称，kMN1，y03x0.又y0 x0m，Pm4，3m4，代入抛物线方程得 916m218m4，解得 m0 或8，经检验都符合【答案】0 或8
