1、考点测试16导数的应用(二)高考概览本考点是高考必考知识点,常考题型为选择题、填空题、解答题,分值5分、12分,中、高等难度考纲研读1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)3会用导数解决实际问题一、基础小题1函数f(x)xln x的单调递增区间为()A(,0) B(0,1)C(1,) D(,0)(1,)答案C解析函数的定义域为(0,)f(x)1,令f(x)0,得x
2、1.故选C.2已知奇函数f(x)是函数f(x)(xR)的导函数,若x0时,f(x)0,则()Af(0)f(log32)f(log23)Bf(log32)f(0)f(log23)Cf(log23)f(log32)f(0)Df(log23)f(0)f(log32)答案C解析因为f(x)是奇函数,所以f(x)是偶函数所以f(log23)f(log23),而log23log221,0log321,所以0log320时,f(x)0,所以f(x)在(0,)上是增函数,所以f(log23)f(log32)f(0),所以f(log23)f(log32)f(0)3若曲线f(x),g(x)x在点P(1,1)处的切
3、线分别为l1,l2,且l1l2,则实数的值为()A2 B2 C D答案A解析f(x),g(x)x1,所以曲线f(x),g(x)在点P处的切线斜率分别为k1,k2,因为l1l2,所以k1k21,所以2,选A.4函数y的图象大致为()答案C解析因为y,所以y,令y0,则x0,令y0,令y0,则x0,所以函数y在(,0)上为增函数,在(0,)上为减函数,且x0是函数的极大值点,结合4个函数的图象,故选C.5若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1,k1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是()A1,) BC1,2) D答案B解析因为f(x)的定义域为(0,),f(x)4x,由f(x
4、)0,得x.据题意得解得1k.故选B.6已知定义在(0,)上的函数f(x),满足f(x)f(2) Be2f(1)f(2)C9f(ln 2)4f(ln 3) D9f(ln 2)4f(ln 3)答案A解析令h(x),则h(x)h(2),即,所以e2f(1)f(2),ln 2h(ln 3),即,所以9f(ln 2)4f(ln 3)故选A.7已知函数f(x)ax3bx2cx17(a,b,cR)的导函数为f(x),f(x)0的解集为x|2x3,若f(x)的极小值等于98,则a的值是()A B C2 D5答案C解析由题意,f(x)3ax22bxc,因为f(x)0的解集为x|2x3,所以a0,且23,23,
5、则3a2b,c18a,又f(x)的极小值为f(3)27a9b3c1798,解得a2,b3,c36,故选C.8已知函数f(x)的导函数为f(x)5cosx,x(1,1),且f(0)0,如果f(1x)f(1x2)0,则实数x的取值范围为_答案(1,)解析导函数f(x)是偶函数,且f(0)0,原函数f(x)是奇函数,且定义域为(1,1),又导函数值恒大于0,原函数在定义域上单调递增,所求不等式变形为f(1x)f(x21),11xx211,解得1x0恒成立,当a1时,f(x)minf(a)2aa20,0a1时,f(x)xaln x0恒成立,即a恒成立设g(x),则g(x).令g(x)0,得xe,且当1
6、xe时,g(x)e时,g(x)0,g(x)ming(e)e,ae.综上,a的取值范围是0ae,即0,e故选C.10(2017山东高考)若函数exf(x)(e2.71828是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质下列函数中具有M性质的是()Af(x)2x Bf(x)x2Cf(x)3x Df(x)cosx答案A解析当f(x)2x时,exf(x)x.1,当f(x)2x时,exf(x)在f(x)的定义域上单调递增,故函数f(x)具有M性质易知B,C,D不具有M性质,故选A.11(2015全国卷)设函数f(x)ex(2x1)axa,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(
7、x0)0,则a的取值范围是()A. BC. D答案D解析由f(x0)0,即ex0(2x01)a(x01)0,得a(x01)当x01时,得e1,则a .令g(x),则g(x).当x时,g(x)0,g(x)为增函数,要满足题意,则x02,此时需满足g(2)ag(3),得3e2ae3,与a1矛盾,所以x01.因为x01,所以a0,g(x)为增函数,当x(0,1)时,g(x)0,g(x)为减函数,要满足题意,则x00,此时需满足g(1)ag(0),得a1(满足a2;a0,b2;a1,b2.答案解析设f(x)x3axb.当a3,b3时,f(x)x33x3,f(x)3x23,令f(x)0,得x1或x1;令
8、f(x)0,得1x2时,f(x)x33xb,易知f(x)的极大值为f(1)2b0,极小值为f(1)b20,x时,f(x),故方程f(x)0有且仅有一个实根,故正确当a0,b2时,f(x)x32,显然方程f(x)0有且仅有一个实根,故正确当a1,b2时,f(x)x3x2,f(x)3x210,则f(x)在(,)上为增函数,易知f(x)的值域为R,故f(x)0有且仅有一个实根,故正确综上,正确条件的编号有.三、模拟小题14(2019河南豫南九校联考)设定义在(0,)上的函数f(x)的导函数f(x)满足xf(x)1,则()Af(2)f(1)ln 2 Bf(2)f(1)1 Df(2)f(1)1f(x)(
9、ln x),即f(x)(ln x)0.令F(x)f(x)ln x,则F(x)在(0,)上单调递增,故f(2)ln 2f(1)ln 1,即f(2)f(1)ln 2.15(2019安阳模拟)已知函数f(x)与g(x)6xa的图象有3个不同的交点,则a的取值范围是()A. BC. D答案B解析原问题等价于函数h(x)6x的图象与直线ya有三个不同的交点h(x)x2x6(x2)(x3),当x(,3)时,h(x)0,h(x)单调递增;当x(3,2)时,h(x)0,h(x)单调递增函数h(x)的图象如图所示又h(3),h(2),数形结合可得a的取值范围是.故选B.16(2019沈阳质量监测(三)已知函数f
10、(x)aln x2x,若不等式f(x1)ax2ex在x(0,)上恒成立,则实数a的取值范围是()Aa2 Ba2 Ca0 D0a2答案A解析由函数f(x)aln x2x,得f(ex)aln ex2exax2ex.f(x1)ax2ex,即f(x1)f(ex),因为x0时,1x11时,f(x)20恒成立,即a2x在(1,)上恒成立,所以a2,故选A.17(2019安徽淮北、宿迁一模)已知函数f(x)2xe2xk,g(x)ln (2x4)4ek2x(e为自然对数的底数),若关于x的不等式f(x)g(x)1有解,则k的值为()A2ln 2 B2ln 2C3ln 2 D3ln 2答案C解析由f(x)g(x
11、)1,得e2xk4ek2xln (2x4)2x1(x2),(*)而e2xk4ek2x24,当且仅当e2xk2,即x.记h(x)ln (2x4)2x1,则h(x)2,当x时,h(x)0,h(x)单调递增,当x时,h(x)0,h(x)单调递减,得h(x)maxh4,若(*)成立,则x,得k3ln 2.故选C.18(2019徐州模拟)已知函数f(x),g(x),若函数yfg(x)a有三个不同的零点x1,x2,x3(其中x1x20),所以函数g(x)在(e,)上单调递减,在(0,e)上单调递增,所以g(x)maxg(e),作出函数g(x)的大致图象如图2所示f.因为fg(x)a0有三个不同的零点,所以
12、yfg(x)的图象与直线ya有三个不同的交点,所以a,即a.令g(x)t,则问题等价于方程a0,即t2(a1)t1a0有两个解t1,t2,不妨设t10;当x时,g(x)0,g()2,故g(x)在(0,)存在唯一零点所以f(x)在区间(0,)存在唯一零点(2)由题设知f()a,f()0,可得a0.由(1)知,f(x)在(0,)只有一个零点,设为x0,且当x(0,x0)时,f(x)0;当x(x0,)时,f(x)0,所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减又f(0)0,f()0,所以当x0,时,f(x)0.又当a0,x0,时,ax0,故f(x)ax.因此,a的取值范围是(,02(
13、2019天津高考)设函数f(x)excosx,g(x)为f(x)的导函数(1)求f(x)的单调区间;(2)当x时,证明f(x)g(x)0;(3)设xn为函数u(x)f(x)1在区间内的零点,其中nN,证明2nxncosx,得f(x)0,则f(x)单调递减;当x(kZ)时,有sinx0,则f(x)单调递增所以,f(x)的单调递增区间为(kZ),f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)证明:记h(x)f(x)g(x).依题意及(1),有g(x)ex(cosxsinx),从而g(x)2exsinx.当x时,g(x)0,故h(x)f(x)g(x)g(x)(1)g(x)0.因此,h(x)在区间上单调递减,
14、进而h(x)hf0.所以,当x时,f(x)g(x)0.(3)证明:依题意,u(xn)f(xn)10,即exncosxn1.记ynxn2n,则yn,且f(yn)eyncosynexn2ncos(xn2n)e2n(nN)由f(yn)e2n1f(y0)及(1),得yny0.由(2)知,当x时,g(x)0,所以g(x)在上为减函数,因此g(yn)g(y0)g0.又由(2)知,f(yn)g(yn)0,故yn.所以2nxn0.(1)当a时,求函数f(x)的单调区间;(2)对任意x均有f(x),求a的取值范围注:e2.71828为自然对数的底数解(1)当a时,f(x)ln x,x0.f(x),所以函数f(x
15、)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,)(2)由f(1),得0a.当00,故q(x)在上单调递增,所以q(x)q.由,得qpp(1)0.所以q(x)0.由知对任意x,t2,),g(t)0,即对任意x,均有f(x).综上所述,所求a的取值范围是.二、模拟大题4(2019吉林省长春市高三第二次模拟)已知函数f(x)exbx1(bR)(1)讨论f(x)的单调性;(2)若方程f(x)ln x有两个实数根,求实数b的取值范围解(1)由题可得,f(x)exb,当b0时,f(x)0,f(x)在(,)上单调递增;当b0时,若xln (b),则f(x)0,f(x)在ln (b),)上单调递增;若xl
16、n (b),则f(x)0,f(x)在(,ln (b)上单调递减(2)令g(x)exbx1ln x,则g(x)exb,易知g(x)单调递增且一定有大于0的零点,不妨设为x0,g(x0)0,即,故若g(x)有两个零点,需满足g(x0)0,令h(x)exexxln x,h(x)exx0,所以h(x)在(0,)上单调递减,由h(1)0,得x0ln x00的解集为(1,),由b,得b1e.当b1e时,exbx1ln xxbxln x,有g(eb)ebbebln eb(b1)ebb,令(x)(x1)exx(x1)(ex1)1,由于x1e,所以x12e0,ex1,故(x)(x1)exx0,所以g(eb)0,
17、故g(eb)g(x0)0,g(x)在(0,x0)上有唯一零点,另一方面,在(x0,)上,当x时,由ex增长速度大,所以有g(x)0,即g(x)在(x0,)上有唯一零点故当b0)是减函数(1)试确定a的值;(2)已知数列an,an,Tna1a2a3an(nN*),求证:ln (n2)Tn0知,11,当x时,g(x)0;当x时,g(x)0时,f(x)0,f(n)0,即2(n1)ln (n1)n22n.两边同时除以2(n1)2得,即an,从而Tna1a2a3an,ln (n2)Tnln 2ln (n2)ln (n1)(n1)ln 2.下面证2ln (n2)ln (n1)(n1)ln 210,记h(x)2ln (x2)ln (x1)(x1)ln 21,x1,),h(x)ln 2ln 2ln 2.yx在2,)上单调递增,h(x)在2,)上单调递减,而h(2)ln 2(23ln 2)(2ln 8)0,当x2,)时,h(x)0恒成立,h(x)在2,)上单调递减,即x2,)时,h(x)h(2)2ln 4ln 33ln 2ln 2ln 30,当n2时,h(n)0.h(1)2ln 3ln 22ln 2ln ln 0,当nN*时,h(n)0,即2ln (n2)ln (n1)(n1)ln 21.由可得,ln (n2)Tn1.