1、考点测试16导数的应用(二)高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值5分、12分，中、高等难度考纲研读1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)3会用导数解决实际问题一、基础小题1函数f(x)xln x的单调递增区间为()A(，0) B(0,1)C(1，) D(，0)(1，)答案C解析函数的定义域为(0，)f(x)1，令f(x)0，得x
2、1.故选C.2已知奇函数f(x)是函数f(x)(xR)的导函数，若x0时，f(x)0，则()Af(0)f(log32)f(log23)Bf(log32)f(0)f(log23)Cf(log23)f(log32)f(0)Df(log23)f(0)f(log32)答案C解析因为f(x)是奇函数，所以f(x)是偶函数所以f(log23)f(log23)，而log23log221,0log321，所以0log320时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以f(log23)f(log32)f(0)，所以f(log23)f(log32)f(0)3若曲线f(x)，g(x)x在点P(1,1)处的切
3、线分别为l1，l2，且l1l2，则实数的值为()A2 B2 C D答案A解析f(x)，g(x)x1，所以曲线f(x)，g(x)在点P处的切线斜率分别为k1，k2，因为l1l2，所以k1k21，所以2，选A.4函数y的图象大致为()答案C解析因为y，所以y，令y0，则x0，令y0，令y0，则x0，所以函数y在(，0)上为增函数，在(0，)上为减函数，且x0是函数的极大值点，结合4个函数的图象，故选C.5若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A1，) BC1,2) D答案B解析因为f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x，由f(x
4、)0，得x.据题意得解得1k.故选B.6已知定义在(0，)上的函数f(x)，满足f(x)f(2) Be2f(1)f(2)C9f(ln 2)4f(ln 3) D9f(ln 2)4f(ln 3)答案A解析令h(x)，则h(x)h(2)，即，所以e2f(1)f(2)，ln 2h(ln 3)，即，所以9f(ln 2)4f(ln 3)故选A.7已知函数f(x)ax3bx2cx17(a，b，cR)的导函数为f(x)，f(x)0的解集为x|2x3，若f(x)的极小值等于98，则a的值是()A B C2 D5答案C解析由题意，f(x)3ax22bxc，因为f(x)0的解集为x|2x3，所以a0，且23，23，
5、则3a2b，c18a，又f(x)的极小值为f(3)27a9b3c1798，解得a2，b3，c36，故选C.8已知函数f(x)的导函数为f(x)5cosx，x(1,1)，且f(0)0，如果f(1x)f(1x2)0，则实数x的取值范围为_答案(1，)解析导函数f(x)是偶函数，且f(0)0，原函数f(x)是奇函数，且定义域为(1,1)，又导函数值恒大于0，原函数在定义域上单调递增，所求不等式变形为f(1x)f(x21)，11xx211，解得1x0恒成立，当a1时，f(x)minf(a)2aa20，0a1时，f(x)xaln x0恒成立，即a恒成立设g(x)，则g(x).令g(x)0，得xe，且当1
6、xe时，g(x)e时，g(x)0，g(x)ming(e)e，ae.综上，a的取值范围是0ae，即0，e故选C.10(2017山东高考)若函数exf(x)(e2.71828是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质下列函数中具有M性质的是()Af(x)2x Bf(x)x2Cf(x)3x Df(x)cosx答案A解析当f(x)2x时，exf(x)x.1，当f(x)2x时，exf(x)在f(x)的定义域上单调递增，故函数f(x)具有M性质易知B，C，D不具有M性质，故选A.11(2015全国卷)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(
7、x0)0，则a的取值范围是()A. BC. D答案D解析由f(x0)0，即ex0(2x01)a(x01)0，得a(x01)当x01时，得e1，则a .令g(x)，则g(x).当x时，g(x)0，g(x)为增函数，要满足题意，则x02，此时需满足g(2)ag(3)，得3e2ae3，与a1矛盾，所以x01.因为x01，所以a0，g(x)为增函数，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)为减函数，要满足题意，则x00，此时需满足g(1)ag(0)，得a1(满足a2；a0，b2；a1，b2.答案解析设f(x)x3axb.当a3，b3时，f(x)x33x3，f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1；令
8、f(x)0，得1x2时，f(x)x33xb，易知f(x)的极大值为f(1)2b0，极小值为f(1)b20，x时，f(x)，故方程f(x)0有且仅有一个实根，故正确当a0，b2时，f(x)x32，显然方程f(x)0有且仅有一个实根，故正确当a1，b2时，f(x)x3x2，f(x)3x210，则f(x)在(，)上为增函数，易知f(x)的值域为R，故f(x)0有且仅有一个实根，故正确综上，正确条件的编号有.三、模拟小题14(2019河南豫南九校联考)设定义在(0，)上的函数f(x)的导函数f(x)满足xf(x)1，则()Af(2)f(1)ln 2 Bf(2)f(1)1 Df(2)f(1)1f(x)(
9、ln x)，即f(x)(ln x)0.令F(x)f(x)ln x，则F(x)在(0，)上单调递增，故f(2)ln 2f(1)ln 1，即f(2)f(1)ln 2.15(2019安阳模拟)已知函数f(x)与g(x)6xa的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是()A. BC. D答案B解析原问题等价于函数h(x)6x的图象与直线ya有三个不同的交点h(x)x2x6(x2)(x3)，当x(，3)时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(3,2)时，h(x)0，h(x)单调递增函数h(x)的图象如图所示又h(3)，h(2)，数形结合可得a的取值范围是.故选B.16(2019沈阳质量监测(三)已知函数f
10、(x)aln x2x，若不等式f(x1)ax2ex在x(0，)上恒成立，则实数a的取值范围是()Aa2 Ba2 Ca0 D0a2答案A解析由函数f(x)aln x2x，得f(ex)aln ex2exax2ex.f(x1)ax2ex，即f(x1)f(ex)，因为x0时，1x11时，f(x)20恒成立，即a2x在(1，)上恒成立，所以a2，故选A.17(2019安徽淮北、宿迁一模)已知函数f(x)2xe2xk，g(x)ln (2x4)4ek2x(e为自然对数的底数)，若关于x的不等式f(x)g(x)1有解，则k的值为()A2ln 2 B2ln 2C3ln 2 D3ln 2答案C解析由f(x)g(x
11、)1，得e2xk4ek2xln (2x4)2x1(x2)，(*)而e2xk4ek2x24，当且仅当e2xk2，即x.记h(x)ln (2x4)2x1，则h(x)2，当x时，h(x)0，h(x)单调递增，当x时，h(x)0，h(x)单调递减，得h(x)maxh4，若(*)成立，则x，得k3ln 2.故选C.18(2019徐州模拟)已知函数f(x)，g(x)，若函数yfg(x)a有三个不同的零点x1，x2，x3(其中x1x20)，所以函数g(x)在(e，)上单调递减，在(0，e)上单调递增，所以g(x)maxg(e)，作出函数g(x)的大致图象如图2所示f.因为fg(x)a0有三个不同的零点，所以
12、yfg(x)的图象与直线ya有三个不同的交点，所以a，即a.令g(x)t，则问题等价于方程a0，即t2(a1)t1a0有两个解t1，t2，不妨设t10；当x时，g(x)0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零点所以f(x)在区间(0，)存在唯一零点(2)由题设知f()a，f()0，可得a0.由(1)知，f(x)在(0，)只有一个零点，设为x0，且当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减又f(0)0，f()0，所以当x0，时，f(x)0.又当a0，x0，时，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范围是(，02(
13、2019天津高考)设函数f(x)excosx，g(x)为f(x)的导函数(1)求f(x)的单调区间；(2)当x时，证明f(x)g(x)0；(3)设xn为函数u(x)f(x)1在区间内的零点，其中nN，证明2nxncosx，得f(x)0，则f(x)单调递减；当x(kZ)时，有sinx0，则f(x)单调递增所以，f(x)的单调递增区间为(kZ)，f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)证明：记h(x)f(x)g(x).依题意及(1)，有g(x)ex(cosxsinx)，从而g(x)2exsinx.当x时，g(x)0，故h(x)f(x)g(x)g(x)(1)g(x)0.因此，h(x)在区间上单调递减，
14、进而h(x)hf0.所以，当x时，f(x)g(x)0.(3)证明：依题意，u(xn)f(xn)10，即exncosxn1.记ynxn2n，则yn，且f(yn)eyncosynexn2ncos(xn2n)e2n(nN)由f(yn)e2n1f(y0)及(1)，得yny0.由(2)知，当x时，g(x)0，所以g(x)在上为减函数，因此g(yn)g(y0)g0.又由(2)知，f(yn)g(yn)0，故yn.所以2nxn0.(1)当a时，求函数f(x)的单调区间；(2)对任意x均有f(x)，求a的取值范围注：e2.71828为自然对数的底数解(1)当a时，f(x)ln x，x0.f(x)，所以函数f(x
15、)的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3，)(2)由f(1)，得0a.当00，故q(x)在上单调递增，所以q(x)q.由，得qpp(1)0.所以q(x)0.由知对任意x，t2，)，g(t)0，即对任意x，均有f(x).综上所述，所求a的取值范围是.二、模拟大题4(2019吉林省长春市高三第二次模拟)已知函数f(x)exbx1(bR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若方程f(x)ln x有两个实数根，求实数b的取值范围解(1)由题可得，f(x)exb，当b0时，f(x)0，f(x)在(，)上单调递增；当b0时，若xln (b)，则f(x)0，f(x)在ln (b)，)上单调递增；若xl
16、n (b)，则f(x)0，f(x)在(，ln (b)上单调递减(2)令g(x)exbx1ln x，则g(x)exb，易知g(x)单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为x0，g(x0)0，即，故若g(x)有两个零点，需满足g(x0)0，令h(x)exexxln x，h(x)exx0，所以h(x)在(0，)上单调递减，由h(1)0，得x0ln x00的解集为(1，)，由b，得b1e.当b1e时，exbx1ln xxbxln x，有g(eb)ebbebln eb(b1)ebb，令(x)(x1)exx(x1)(ex1)1，由于x1e，所以x12e0，ex1，故(x)(x1)exx0，所以g(eb)0，
17、故g(eb)g(x0)0，g(x)在(0，x0)上有唯一零点，另一方面，在(x0，)上，当x时，由ex增长速度大，所以有g(x)0，即g(x)在(x0，)上有唯一零点故当b0)是减函数(1)试确定a的值；(2)已知数列an，an，Tna1a2a3an(nN*)，求证：ln (n2)Tn0知，11，当x时，g(x)0；当x时，g(x)0时，f(x)0，f(n)0，即2(n1)ln (n1)n22n.两边同时除以2(n1)2得，即an，从而Tna1a2a3an，ln (n2)Tnln 2ln (n2)ln (n1)(n1)ln 2.下面证2ln (n2)ln (n1)(n1)ln 210，记h(x)2ln (x2)ln (x1)(x1)ln 21，x1，)，h(x)ln 2ln 2ln 2.yx在2，)上单调递增，h(x)在2，)上单调递减，而h(2)ln 2(23ln 2)(2ln 8)0，当x2，)时，h(x)0恒成立，h(x)在2，)上单调递减，即x2，)时，h(x)h(2)2ln 4ln 33ln 2ln 2ln 30，当n2时，h(n)0.h(1)2ln 3ln 22ln 2ln ln 0，当nN*时，h(n)0，即2ln (n2)ln (n1)(n1)ln 21.由可得，ln (n2)Tn1.