1、2.9 函数模型及其应用1几类函数模型2.三种函数模型的性质【思考辨析】判断下 列结论是 否正确(请 在 括 号 中打“”或“”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(2)幂函数增长比直线增长更快()(4)在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度()(5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(3)不存在 x0，使 ax0 xn0logax0.()1(教材改编)已知某种动物繁殖量y(只)与时
2、间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()A100只 B200只 C300只D400只【解析】由题意知100alog3(21)，a100.y100log3(x1)，当x8时，y100log39200.【答案】B 2若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为()【解析】根据题意得解析式为h205t(0t4)，其图象为B.【答案】B 3用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A3B4 C6D12【解析】设隔墙的长度为 x(0 x6)
3、，矩形面积为 y，则 yx244x22x(6x)2(x3)218，当 x3 时，y 最大【答案】A4某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元又知总收入 K 是单位产品数 Q的函数，K(Q)40Q 120Q2，则总利润 L(Q)的最大值是_万元【解析】L(Q)40Q 120Q210Q2 000 120Q230Q2 000 120(Q300)22 500.当 Q300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元【答案】2 500题型一 用函数图象刻画变化过程【例1】(1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度
4、行驶与以上事件吻合得最好的图象是()(2)(2018日照模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()【解析】(1)小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直
5、是下凹的，故选B.【答案】(1)C(2)B【思维升华】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 跟踪训练1 设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()【解析】y为“小王从出发到返回
6、原地所经过的路程”而不是位移，应随时间增大而增大，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.【答案】D 题型二 已知函数模型的实际问题【例2】(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.(2)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一【解析】(1)由图象可求得一次函数的解析式为 y30 x570，令 30 x5700，
7、解得 x19.(2)当 t0 时，ya，当 t8 时，yae8b12a，e8b12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即 yaebt18a，ebt18(e8b)3e24b，则 t24，再经过 16 min.【答案】(1)19(2)16【思维升华】求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题 跟踪训练2 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是
8、48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时【解析】由题意得eb192，e22kb48，e22k 4819214，e11k12，x33 时，ye33kb(e11k)3eb123eb1819224.【答案】24题型三 构造函数模型的实际问题 角度一 构造二次函数模型【例3】将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为()A85元 B90元 C95元D100元【解析】设每个售价定为x元，则利润y(x80)400(x90)2020(x95)2225 当x95时，y最大【答案】C 角度二 构造指数函数、对数
9、函数模型【例 4】光线通过一块玻璃，强度要损失 10%.设光线原来的强度为 k，通过 x 块这样的玻璃以后强度为 y.(1)写出 y 关于 x 的函数解析式；(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下？(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)【解析】(1)光线通过1块玻璃后，强度y(110%)k0.9k；光线通过2块玻璃后，强度y(110%)0.9k0.92k；光线通过3块玻璃后，强度y(110%)0.92k0.93k；光线通过x块玻璃后，强度y0.9xk.故y关于x的函数解析式为y0.9xk(xN*)(2)由题意，得 0.9xkk4，即 0.9x14，
10、两边取对数，得 xlg 0.9lg14.因为 lg 0.9lg14lg 0.9.又lg14lg 0.9 2lg 22lg 31 0.602 00.954 210.602 00.045 813.14，且 xN*，所以 xmin14.故至少通过 14 块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下角度三 构造分段函数模型【例5】(2018武汉调研)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为
11、60千米/小时，研究表明：当20 x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0 x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)【解析】(1)由题意可知当 0 x20 时，v(x)60；当20 x200 时，设 v(x)axb，显然 v(x)axb 在20，200上是减函数，由已知得200ab0，20ab60，解得a13，b2003，故函数 v(x)的表达式为 v(x)60，0 x20，13（200 x），20 x200.(2)依题意并由(1)可得 f(x)60 x，0 x400，则总利润最大时，该门面经营的天数是_【解析】(1)设经过 x 小时才能开车 由题意得 0.3(125%)x0.09，0.75x0.3，xlog0.750.34.19.x 最小为 5.(2)由题意，总利润 y400 x12x2100 x20 000（0 x400），60 000100 x（x400），当 0 x400 时，y12(x300)225 000，所以当x300时，ymax25 000，当x400时，y60 000100 x20 000.综上，门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元【答案】(1)5(2)300
