1、四川省泸县第四中学2020届高三数学下学期第一次在线月考试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解对数不等式求出集合的取值范围，然后由集合的基本运算得到答案【详解】
2、由得且，所以，所以，则【点睛】本题考查对数不等式的解法以及集合的基本运算，属于简单题2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3.我市高三年级第二次质量检测的数学成绩近似服从正态分布，且.已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ）A. 64B. 81C. 100D
3、. 121【答案】A【解析】【分析】通过数学成绩近似服从正态分布，可以看出数学成绩关于对称，通过，可以计算出，这样可以求出，这样就可以估计出我市某校有800人参加此次考试，该校数学成绩不低于90分的人数.【详解】因为数学成绩近似服从正态分布，所以数学成绩关于对称，已知，所以 ， ，所以我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为，故本题选A.【点睛】本题考查了正态分布的应用、重点掌握的是当时，关于对称这个重要性质.4.函数的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过，和函数f(x)0恒成立排除法易得答案A【详解】，可得f(0)=1,排除选项C
4、,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)0恒成立，排除选项B，故选A【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目5.设an是等比数列，则“a1a2a3”是数列an是递增数列的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件、C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】或，所以数列an是递增数列若数列an是递增数列，则“a1a2a3”，因此“a1a2a3”是数列an是递增数列的充分必要条件，选C6.已知，则的值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值.【详解
5、】，得，而.故选A.【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.7.已知定义在上的函数，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断函数在时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个数的大小，然后根据函数在时的单调性，比较出三个数的大小.【详解】当时，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.8.若实数，满足，且恒成立，则的取值范围是（ ）
6、A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数分式的几何意义求出最大值即可得到结论【详解】作出不等式组对应的可行域如图所示的，且，则对于可行域内每一点，都有，即为恒成立，转化为的最大值. ，又即为点和点连线的斜率，由图可知：，即 ，故选.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，注意要数形结合9.已知是椭圆：的右焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设椭圆的左焦点为F，则有|PF|+|PF|，而所求|PA|+|PF|+|PA|PF|，作出图形，根据图形即可看出|PA|
7、PF|AF|，从而求出|PA|+|PF|的最大值【详解】如图，设椭圆的左焦点为F，则|PF|+|PF|；又F（1，0），|AF|，|PA|+|PF|+|PA|PF|，根据图形可以看出|PA|PF|AF|，当P在线段AF的延长线上时，|PA|PF|最大，为|AF|，|PA|+|PF|的最大值为，故选D【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的定义的应用，涉及三角形两边之差小于第三边的几何知识，考查了数形结合思想，属于中档题10.已知函数，若对任意的，关于的方程总有两个不同的实数根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，且，解得，根据且，结合图象，即可求解【详解】
8、由题意，函数，令，且，即，解得，又因为，且，所以要使得总有两个不同实数根时，即函数与的图象由两个不同的交点，结合图象，可得，所以实数m的取值范围是.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题 11.三棱锥的四个顶点都在球的球面上，是边长为3的正三角形.若球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据是正三角形，可得面积及外接圆的半径，利用垂径定理可得，可求得三棱锥高的最大值，进而求得体积的最大值.【详解】由题
9、意得的面积为，又设的外心为，则，由，得，面.球心O在棱锥内部时，棱锥的体积最大此时三棱锥高的最大值为，三棱锥体积最大值为.故选A.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，考查了垂径定理的应用，考查了空间想象能力，属于中档题.12.已知函数，是的导函数，若存在有唯一的零点，且，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令由参数分离可得令求出导数和单调区间，可得极大值，由图象可得时，存在唯一的正零点【详解】.显然，令得：，令，知：当时，为减函数；当时，为增函数；当时，为增函数；当时，为减函数，作出的大致图象如图所示，则当时，存在唯一的正零点.故选【点睛】本题考查函数的
10、零点问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用数形结合思想方法，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量，则_【答案】【解析】【分析】由题意利用平行四边形的性质和向量模的运算法则计算可得的值.【详解】由平面向量的运算法则结合平行四边形的性质可得：，且：，故：，解得：.故答案为【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，向量的模的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.在1，3，5，7这四个数字中任取3个，在0，2，4，6这四个数字中任取2个，组成一个没有重复数字的5位数，则这样的5位数的个数为_（用数字作答）.【答案】2592【解析】【分析】先
11、选数字，分0，2，4，6中选0与不选0，分别求得选法种数，根据分步计数原理再进行排列即可得到结果【详解】在1，3，5，7这四个数字中任取3个，在0，2，4，6这四个数字中任取2个，当含0时，则有种选法，因为0不能排在首位，共有种结果，不含0时，则有种选法，共有种结果，共2592.故答案为2592.【点睛】本题考查了数字的选取与排列问题，解题的关键是数字0要分清选上和不选两种情况，属于中档题15.甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游，当地有，六件手工纪念品，他们打算每人买一件，甲说：只要不是就行；乙说：，都行；丙说：我喜欢，但是只要不是就行；丁说：除了，之外，其他的都可以据此判断，他们四人可以共同买的
12、手工纪念品为_【答案】【解析】甲可以选择的手工纪念品的集合为：，乙可以选择的手工纪念品的集合为，丙可以选择的手工纪念品的集合为 丁可以选择的手工纪念品的集合为，这四个集合的交集中只有元素F故答案为F16.在中，角所对的边分别为，若，且的面积.则角_【答案】【解析】分析】的面积,结合面积公式，可得，代入已知等式中，得到，先用正弦定理，后用余弦定理，最后求出角的值.【详解】，代入中，得，由正弦定理,可将上式化简为，由余弦定理可知：,所以有，又因为，所以角.【点睛】本题考查了面积公式、正弦定理、余弦定理.解题的关键在于对公式的模型特征十分熟悉.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
13、步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列各项均为正数，前项和为，（1）求数列的项；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由递推关系式确定数列的特征，然后结合等差数列通项公式可得数列的项；（2）结合题意和(1)的结论首先确定数列的通项公式，然后分组求和即可确定数列的前项和.【详解】（1）由得，两式相减得，因为数列为正项数列，所以，又，故数列是以为首项，公差为2的等差数列，所以.（2）由（1）知，由及得故数列是以为首项，公差为2的等差数列，所以-所以.【点睛】本题主要考查数列通项公
14、式的求解，等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.某鲜花店每天制作、两种鲜花共束，每束鲜花的成本为元，售价元，如果当天卖不完，剩下的鲜花作废品处理.该鲜花店发现这两种鲜花每天都有剩余，为此整理了过往100天这两种鲜花的日销量（单位：束），得到如下统计数据：种鲜花日销量48495051天数25352020两种鲜花日销量48495051天数40351510以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率，假设这两种鲜花的日销量相互独立.（1）记该店这两种鲜花每日的总销量为束，求的分布列.（2）鲜花店为了减少浪费，提升利润，决定调查每天制作鲜花的量束.以销售这两
15、种鲜花的日总利润的期望值为决策依据，在每天所制鲜花能全部卖完与之中选其一，应选哪个？【答案】（1）详见解析；（2）应选.【解析】【分析】（1）由题意得到X的可能取值，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列（2）由（1）知在每天所制鲜花能全部卖完时，n96，此时销售的日总利润的期望值为96a再求出当n99时，销售的日总利润的期望值，比较可以得到应选n99【详解】（1）所有可能的取值为96，97，98，99，100，101，102，.所以的分布列为969798991001011020.10.22750.240.22750.1350.050.02（2）记销售两种鲜花的日总利润为.当每天所制鲜花能全
16、部卖完时，由于卖出1束利润为元，作废品处理1束亏元.所以时， .所以应选.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，属于中档题19.如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，.（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，连接，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由是圆的直径，与圆切于点，可得,由底面圆，可得，利用线面垂直判定定理可知，平面，即可推出.又在中，可推出，利用线面垂直的判定定理可证平面，从而利用
17、面面垂直的判定定理可证出平面平面.（2）由，可知为二面角的平面角，即，建立空间直角坐标系，易知，求得点的坐标如下；，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，通过，可求出平面的一个法向量为，. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【详解】解：（1）是圆直径，与圆切于点，底面圆，平面，.又在中，平面，从而平面平面.（2） ，为二面角的平面角， ，如图建立空间直角坐标系，易知，则，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的法向量为， ， ，即故平面的一个法向量为，. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了通过线面垂直证明面面垂直.重点考查了利用空间向量法求二面角的问题.20.已知椭圆
18、的方程为，是椭圆上的一点，且在第一象限内，过且斜率等于-1的直线与椭圆交于另一点，点关于原点的对称点为（1）证明：直线的斜率为定值；（2）求面积的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用点差法即可求证直线BD的斜率为定值；（2）设直线BD的方程，由SABD2SOBD，将直线BD的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及基本不等式即可求得ABD面积的最大值【详解】（1）设，则，直线的斜率，由，两式相减，由直线，所以，直线的斜率为定值.（2）连结，关于原点对称，所以，由（1）可知的斜率，设方程为.在第三象限，且，到的距离，由，整理得：， ，.当时，取得最大值.【点睛】本
19、题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，考查转化思想.21.设（）讨论的单调区间；（）当时，在上的最小值为，求在上的最大值【答案】（）当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为和，单调递增区间为；（）【解析】【详解】试题（），其（1）若，即时，恒成立，在上单调递减；（2）若，即时，令，得两根，当或时，单调递减；当时，单调递增综上所述：当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为和，单调递增区间为；（）随的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增极大值单调递减当时，有，所以在上的最大值为又，即所以在上的最小值为得，从而在上的最大值为（二）选
20、考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点作倾斜角为的直线与圆交于，两点，试求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求出直线的参数方程，代入圆的方程可得：，利用根与系数的关系可得结果.【详解】（1）将曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程为；（2）直线的参数方程为：（为参数），将其带入上述方程中得：，则，所以.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐
21、标方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.已知函数.（1）在平面直角坐标系中作出函数的图象；（2）若当时，不等式恒成立，求的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）-6.【解析】【分析】(1)将函数写出分段函数的形式，在坐标系内作出每段的图像即可；(2) 当时，由(1)可求出数的图象与轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线的斜率的最小值为-3，再由不等式恒成立，可求出的范围，进而可求出结果.【详解】解：（1），其图象如下图：（2）若，由（1）知函数的图象与轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线的斜率的最小值为-3，故当且仅当且时时，不等式恒成立，所以，所以，故的最大值为-6.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，通常需要分情况去绝对值求解，属于常考题型.
