1、52平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使_我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_2向量的夹角(1)已知两个_向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角(如图)(2)向量夹角的范围是_a与b同向时，夹角_；a与b反向时，夹角_.(3)如果向量a与b的夹角是_，我们就说a与b垂直，记作_3平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个_的向量，叫做向量的正交分解(2)在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，
2、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.则实数对_叫做向量a的(直角)坐标，记作a_，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示与a相等的向量的坐标也为_显然，i_， j_，0_.4平面向量的坐标运算(1)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_.(3)若a(x，y)，则a_.(4)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则ab的充要条件是_自查自纠1a1e12e2基底2(1)非零(2)01800180(3)90ab3(1)互相垂直(2)(x，y)
3、(x，y)(x，y)(1，0)(0，1)(0，0)4(1)(x1x2，y1y2)(2)(x2-x1，y2-y1)(3)(x，y)(4)x1y2-x2y10 ()已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(-4，-3)，则向量()A(-7，-4) B(7，4)C(-1，4) D(1，4)解：(3，1)，-(-4，-3)-(3，1)(-7，-4)故选A. 在下列向量组中，可以把向量a(3，2)线性表示出来的是()Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1(-1，2)，e2(5，-2)Ce1(3，5)，e2(6，10)De1(2，-3)，e2(-2，3)解：一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的一组
4、基底，它能表示出平面内的其他向量A中，e10，且e2与a不共线；C，D中的两个向量都是共线向量且不与a共线，故表示不出a.B中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可以表示出a.故选B. ()设向量a(2，4)与向量b(x，6)共线，则实数x()A2 B3 C4 D6解：由向量a(2，4)与向量b(x，6)共线，可得4x26，解得x3.故选B. ()已知向量a(2，1)，b(1，-2)，若manb(9，-8)(m，nR)，则m-n的值为_解：因为manb(2mn，m-2n)(9，-8)，所以 解得 故m-n-3.故填-3. 已知两点A(1，0)，B(1，1)，O为坐标原点，点C在第二象限
5、内，且AOC135，设-(R)，则的值为_解：由AOC135知，点C在射线y-x(x0)上，设点C的坐标为(a，-a)，a0，若(a-2b)(2ab)，则x的值为_解：a-2b，2ab(16x，x1)，因为(a-2b)(2ab)，显然2ab0，所以存在唯一的实数使得(16x，x1)，所以 解得x4(x0)故填4.(2)已知向量(1，-3)，(2，-1)，(k1，k-2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k_.解：若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线.-(2，-1)-(1，-3)(1，2)，-(k1，k-2)-(1，-3)(k，k1)因为，0，所以1(k1)-2k0，解得k1.故填1
6、.类型二平面向量基本定理及其应用如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)，则的值为_解法一：以和为邻边作平行四边形OB1CA1，如图，则.因为与的夹角为120，与的夹角为30，所以B1OC90，在RtOB1C中，|2，所以|2，|4，所以|4，所以42，即6.解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，C(2cos30，2sin30)，B(cos120，sin120)即A(1，0)，C(3，)，B.由(1，0)，即(3，)，得 所以 即6.故填6.【点拨】应用平面向量基本定理的关键点：(1)平面向量基本定理中的基底必须是两
7、个不共线的向量(2)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来(3)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便(1)在ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB.若a，b，|a|1，|b|2，则()A.ab B.abC.ab D.ab解法一：因为CD平分ACB，由角平分线定理，得2，所以2.所以(-)ab.解法二：(特殊值法)构造直角三角形，令CB1，CA2，AB，则DCB30，所以BD.故，a(b-a)ab.故选B.(2)向量a，b，c在正方形网
8、格中的位置如图所示若cab(，R)，则_.解：设i，j分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a-ij，b6i2j，c-i-3j，所以-i-3j(-ij)(6i2j)，即-i-3j(-6)i(2)j，根据平面向量基本定理得 解得 所以4.故填4.类型三求向量的坐标(1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_(2)已知向量a(3，1)，b(1，3)，c(k，7)，若(a-c)b，则k_.解：(1)因为在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，所以2.设点D的坐标为(x，y)，则(4，2)-(x，y)(4-x，2-y)，(2，1
9、)-(1，2)(1，-1)，所以(4-x，2-y)2(1，-1)，即(4-x，2-y)(2，-2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)(2)依题意得a-c(3-k，-6)，由(a-c)b得-63(3-k)，解得k5.故填(1)(2，4)；(2)5.【点拨】平面向量坐标运算的技巧：(1)向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|2|，则向量的坐标是_解：由点C是线段AB上一点，|2|，得-2.设
10、点B为(x，y)，则(2-x，3-y)-2(1，2)，即 解得 所以向量的坐标是(4，7)故填(4，7)1对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2(1，2R，e1，e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸(4)如果e1，e2是同一平面内的一组基底，且1e12e20(1，2R)，那么120.2对两向量夹角的理解两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示
11、两向量的有向线段所形成的角若起点不同，则应通过平移，使其起点相同3向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标两个向量相等，当且仅当其坐标相同1下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()Aa(1，2)，b(0，0)Ba(1，-2)，b(3，5)Ca(3，2)，b(9，6)Da， b(3，-2)解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底故选B.2已知M(3，-2)，N(-5，-1)，且，则P点的坐标
12、为()A(-8，1) B.C. D(8，-1)解：设P(x，y)，则(x-3，y2)，而(-8，1)，所以 解得所以P点坐标为.故选B.3已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a2e1-e2与be1e2共线，则()A2 B-2 C- D解：若a2e1-e2与be1e2共线，则2e1-e2k(e1e2)ke1ke2，得 解得-.故选C.4()已知向量a(-1，2)，b(3，m)，mR，则“m-6”是“a(ab)”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解：由题意得ab(2，2m)由m-6得ab(2，-4)-a，所以a(ab)；由a(ab)得-1(2m)22，所
13、以m-6.故“m-6”是“a(ab)”的充要条件故选A.5设向量a(1，-3)，b(-2，4)，若表示向量4a，3b-2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A(1，-1) B(-1，1)C(-4，6) D(4，-6)解：由题知4a(4，-12)，3b-2a(-6，12)-(2，-6)(-8，18)，由4a(3b-2a)c0，知c(4，-6)故选D.6()在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1-x)，则x的取值范围是()A. B.C. D.解：依题意，设，其中1，则有(-)(1-).又x(1-x)，且，不共线，于是有x1-，即x
14、的取值范围是.故选D.7()设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_解：由于ab与a2b平行，且a2b0，所以存在唯一的实数R，使得ab(a2b)，即(-)a(1-2)b0.因为a，b不平行，所以 解得.故填.8如图，在ABC中，AD2BD，AE3EC，CD与BE交于F，设a，b，xayb，则(x，y)为_解：设，则(1-)，同理，设，则(1-)，根据平面向量基本定理有 解得，所以.故填.9已知向量a(1，0)，b(2，1)(1)当实数k为何值时，ka-b与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求实数m的值解：(1)ka-bk(1，0)-(2，1)(k-2，-1)
15、，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因为ka-b与a2b共线，所以2(k-2)-(-1)50，即2k-450，得k-.(2)解法一：因为A，B，C三点共线，所以存在实数使得，即2a3b(amb)，所以 解得m.解法二：2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，amb(1，0)m(2，1)(2m1，m)因为A，B，C三点共线，所以，又0，所以8m-3(2m1)0，即2m-30，得m.10已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线解：(1)t1t2t1(0，2)t2(4，4)(
16、4t2，2t14t2)点M在第二或第三象限 解得t20且t12t20.故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明：当t11时，由(1)知(4t2，4t22)因为-(4，4)，-(4t2，4t2)t2(4，4)t2，所以A，B，M三点共线11如图所示，在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值解：设e1，e2，则-3e2-e1，2e1e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在，R，使-e1-3e2，2e1e2.故-(2)e1(3)e2，而2e13e2，所以由平面向量基本定理得 所以所以，即APPM41. 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若mn，则mn的取值范围是_解：由题意得，k(k0)，又|k|1，所以-1k0.又因为B，A，D三点共线，所以(1-)，mnkk(1-)，由平面向量的基本定理知mk，nk(1-)，所以mnk，从而mn(-1，0)故填(-1，0)
