1、第十二节 导数与生活中的优化问题及 综合应用 考向 1 利用导数解决实际生活中的优化问题【典例1】(2013烟台模拟)某商场销售某种商品的经验表 明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式 其中3xf(x)，对任意正实数a，则下列式子成立的 是()(A)f(a)eaf(0)(B)f(a)eaf(0)(C)(D)af 0f ae af 0f ae(2)(2012辽宁高考)设 (a,bR,a,b为常数)，曲线y=f(x)与直线 在(0,0)点相切.求a,b的值.证明:当0 x0.g(a)g(0)，即 即f(a)eaf(0)xf xg xe，xxx2xfx ef
2、x efx f xg x0(e)e，a0f af 0,ee(2)由yf(x)过(0,0)点，得b1.由yf(x)在(0,0)点的切线斜率为 又 得a0.32，x0 x0113y|(a)|ax 122 x 1 ，方法一：由基本不等式，当x0时，故 记 则 2x 1 1 x 1 1 x2 ，xx 11.2 9xh xf xx6，21154h xx 12 x 1x6222x 154x6542 x 14 x 1x6x632x6216 x 1.4 x 1x6令g(x)(x6)3216(x1)，则当0 x2时，g(x)3(x6)22160.因此g(x)在(0,2)内是减函数，又由g(0)0，得 g(x)0
3、，所以h(x)0.因此h(x)在(0,2)内是减函数，又h(0)0，得h(x)0.于是当 0 x2时，9xf x.x6方法二：由知 由基本不等式，当x0时，故 令k(x)ln(x1)x，则k(0)0，故k(x)0，即ln(x1)x(ii).f xln x 1x 1 1.2x 1 1 x 1 1 x2 ，xx 11 i.2 1xk x10 x 1x 1，由(i)(ii)得，当x0时，记h(x)(x6)f(x)9x，则当0 x2时，因此h(x)在(0,2)内单调递减，又h(0)0.得h(x)0,于是当0 x2时，3f xx.2 311h xf xx6 fx9xx6()92x 12 x 1 13x
4、x 1x6(2x 1)18 x 12 x 1 1x3x x 1x6(3)18 x 12 x 12 x7x 180.4 x 1 9xf x.x6【拓展提升】1构造函数证明不等式的方法(1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式，构造函数f(x)，使原不等式成为形如f(a)f(b)的形式.(2)对形如f(x)g(x),构造函数F(x)=f(x)-g(x).(3)对于(或可化为)f(x1，x2)A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x).【提醒】解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论.2.利用导数证明不
5、等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)对h(x)求导.(4)利用h(x)判断h(x)的单调性或最值.(5)结论.【变式训练】设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值.(2)求证：当aln21且x0时，exx22ax1.【解析】(1)由f(x)ex2x2a，xR知 令f(x)0，得xln2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表.xfxe2xR.，x (，ln2)ln2 (ln2，)f(x)0 f(x)单调递减 2(1ln2a)单调递增 故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在xln
6、2处取得极小值，极小值为2(1ln2a)(2)设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln21时，g(x)的最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增 于是当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.考向 3 利用导数研究函数的零点【典例3】(1)(2013台州模拟)方程x3-3x=k有3个不等的实 根，则常数k的取值范围是_.(2)(2012福建高考)已知函数 且在 上的最大值为 求函数f(x
7、)的解析式；判断函数f(x)在(0,)内的零点个数，并加以证明.3f xaxsin xaR,20,23,2【思路点拨】(1)设f(x)=x3-3x-k,利用导数求出f(x)的极值，由极值符号对方程根的影响来构造不等式组求解.(2)利用导数求出f(x)在 的最大值，据此求出a的值；先根据零点存在性定理，判断出根的存在情况，再利用函 数的单调性证明.0 2，【规范解答】(1)设f(x)=x3-3x-k，则f(x)=3x2-3，令 f(x)=0得x=1，且f(1)=-2-k，f(-1)=2-k,又f(x)的图象与x轴有3 个交点，故 -2k2.答案:(-2,2)2k02k0 ，(2)由已知f(x)a
8、(sin xxcosx)，对于任意 有sin xxcos x0.当a0时，不合题意；当a0，时，f(x)0，从而f(x)在 内单调递 减，又f(x)在 上的图象是连续不断的，故f(x)在 上的 最大值为 不合题意；x(0)2，3f x2，x(0)2，(0)2，0 2，0 2，3f 02，当 时，f(x)0，从而f(x)在 内单调递 增，又f(x)在 上的图象是连续不断的，故f(x)在 上的最大值为 即 解得a1.综上所述，得 a0 x(0)2，(0)2，0 2，0 2，f()2，33a222，3f xxsin x.2f(x)在(0，)内有且只有两个零点 理由如下：由知，从而有 又f(x)在 上
9、的图象是连续不断的 所以f(x)在 内至少存在一个零点 又由知f(x)在 上单调递增，故f(x)在 内有且仅 有一个零点 3f xxsin x2，3f 00.2 3f()022，0 2，(0)2，0 2，(0)2，当 时，令g(x)f(x)sin xxcos x.由 且g(x)在 上的图象是连续不 断的，故存在 使得g(m)0.由g(x)2cos xxsin x，知 时，有g(x)0，从而g(x)在 内单调递减 当 时，g(x)g(m)0，即f(x)0，从而f(x)在 内单调递增，x2，g()1 0g02，2，m()2，x()2，()2，x(m)2，(m)2，故当 时，故f(x)在 上无零点；
10、当x(m，)时，有g(x)g(m)0，即f(x)0，从而f(x)在(m，)内单调递减 又f(m)0，f()0，且f(x)在m，上的图象是连续不 断的，从而f(x)在(m，)内有且仅有一个零点 综上所述，f(x)在(0，)内有且只有两个零点 xm2，3f xf()022，m2，【互动探究】在本例题(1)中，若改为“方程只有一个实数根”，其他条件不变，求k的取值范围.【解析】要使原方程只有一个实数根，只需2-k0或-2-k0，解得k2或k-2，故k的取值范围是(-,-2)(2,+).【拓展提升】一元三次方程根的个数问题 令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0).则f(x)=3ax2+2bx+c
11、.方程f(x)=0的判别式=(2b)2-12ac,(1)0即b23ac时，f(x)0恒成立，f(x)在R上为增函数，结合函数f(x)的图象知，方程f(x)=0有唯一一个实根.(2)当0即b23ac时，方程f(x)=0有两个实根，设为x1,x2(x1x2),函数在x1处取得极大值M，在x2处取得极小值m(Mm).当m0时，方程f(x)=0有唯一一个实根；当m0时，方程f(x)=0有两个实根；当m0时，方程f(x)=0有三个实根；当M0时，方程f(x)=0有两个实根；当M0时，方程f(x)=0有一个实根.【变式备选】(2013安庆模拟)已知函数f(x)=x3-3ax-1,a0.(1)求f(x)的单
12、调区间.(2)若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x)的图象有三个 不同的交点，求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)=3x2-3a=3(x2-a),当a0时，对xR，有f(x)0,故当a0时，f(x)的单调递增区间为(-,+),当a0时，由f(x)0解得 由f(x)0解得 故当a0时，f(x)的单调递增区间为 f(x)的单调递减区间为 xaxa或；axa，(,a),(a,)；(a,a).(2)因为f(x)在x=-1处取得极值，所以f(-1)=3(-1)2-3a=0,a=1.所以f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3,由f(x)=0解得x1=-1,x2=1.由(1)
13、中f(x)单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1，在x=1处取得极小值f(1)=-3.因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(-3,1).【满分指导】导数综合问题的规范解答【典例】(12分)(2012山东高考)已知函数 (k为 常数，e=2.718 28是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行.(1)求k的值.(2)求f(x)的单调区间.(3)设g(x)=(x2+x)f(x),其中f(x)为f(x)的导函数，证 明：对任意x0，g(x)1+e-2.xln xkf xe【思路点拨】已 知
14、条 件 条 件 分 析 曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行 得出f(1)=0即可求出k的值 求出f(x)及f(x)=0的根，再判断f(x)的符号 g(x)=(x2+x)f(x)直接求g(x)的最值困难，可对g(x)放缩后，再求最值.xln xkf xe【规范解答】(1)2分 由曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行可知 解得k=1.3分 xln xkf xx0,e由得，得 xx2xx1ln xkln xk eln xkexfx,ee 11ln 1k1f 10e，(2)x(0,+)，令f(x)=0可得x=1，4分 当0 x1时，于是f(x)在区间(0，1)上为增函
15、数；在(1，+)上为减函数.6分 x11 ln xxfxe，x11 ln xxfx0e ；x11 ln xxfx0.e(3)x(0,+)，因此，对 任意x0,7分 令h(x)=1-x-xln x,x(0,+),则h(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e-2),x(0,+),因此，当x(0,e-2)时，h(x)0,h(x)单调递增；当x(e-2,+)时，h(x)0,(x)单调递增,(x)(0)=0,故x(0,+)时，(x)=ex-(x+1)0,即 11分 所以 因此，对任意x0,g(x)0.(1)求a的值.(2)若对任意的x0,+)，有f(x)kx2成立，求实数k的最 小值.(3)证明
16、n*i 12ln 2n12 nN.2i 1【解析】(1)f(x)的定义域为(-a，+).由f(x)=0,得x=1-a-a.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如表:因此，f(x)在x=1-a处取得最小值，故由题意f(1-a)=1-a=0，所以a=1.1xa1fx1.xaxa x(-a，1-a)1-a(1-a，+)f(x)-0+f(x)极小值(2)当k0时，取x=1，有f(1)=1-ln20，故k0不合题意.当k0时，令g(x)=f(x)-kx2，即g(x)=x-ln(x+1)-kx2，令g(x)=0,得x1=0,x2kx1 2kxg x2kx,x1x121 2kx1.2k当 时，g(x)0
17、在(0,+)上恒成立,因此 g(x)在0,+)上单调递减.从而对于任意的x0，+)，总有g(x)g(0)=0，即f(x)kx2在0，+)上恒成立.故 符合题意.1k21 2k02k，1k2当 时，对于 故g(x)在 内单调递增.因此当取 时，g(x0)g(0)=0,即 不成立，故 不合题意.综上，k的最小值为 10k2 1 2k02k，1 2kx(0)g x0,2k，1 2k(0,)2k01 2kx(0,)2k200f(x)kx10k2 1.2(3)当n=1时，不等式左边=2-ln32=右边.所以不等式成立，当n2时，nni 1i 1222f()ln(1)2i 12i 12i 1nni 1i
18、12ln 2i1ln 2i 12i 1ni 12ln 2n1.2i 1在(2)中取 得 从而 所以有 1k2，2xf xx02，*2222f()iNi22i 12i32i 12i 1，nni 1i 122ln 2n1f()2i 12i 1 nni 2i 222f 2f()2ln32i 12i3(2i 1)ni 21112ln3()2ln3 12.2i32i 12n1 n*i 12ln 2n12nN.2i 1综上，1.函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)2，f(x)1，则不等式f(x)x0的解集为_.【解析】令g(x)f(x)x，g(x)f(x)1，由题意知g(x)0，g(x)为增函数，g(
19、2)f(2)20，g(x)0的解集为(2，)答案:(2，)2.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b,c,d为常数)，当k(-，0)(4，+)时，f(x)-k=0只有一个实根；当k(0，4)时，f(x)-k=0有3个相异实根,现给出下列四个命题：f(x)-4=0和f(x)=0有一个相同的实根;f(x)=0和f(x)=0有一个相同的实根;f(x)-3=0的任一实根大于f(x)-1=0的任一实根;f(x)+5=0的任一实根小于f(x)-2=0的任一实根.其中正确命题的序号是_.【解析】由题意知0和4为函数的极值，设f(x)=0的两根为x1,x2，且x1x2，则f(x)在x1处取极大值，在x2
20、处取极小值，故f(x1)=4,f(x2)=0.由此作出f(x)的草图，如图所示.结合图象可知，,正确.答案:3.设a0，函数 若对任意的x1，x21,e,都有f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围 为_.【解析】只需满足f(x)ming(x)max即可 所以函数g(x)在1,e上为增函数，g(x)max=g(e)=e-1.由 得x=a.2af xx,g xxln xx，1g x10,x 22afx10 x ，当0a1时，函数f(x)在1,e上为增函数,此时f(x)min=f(1)=a2+1,解 当1ae时，函数f(x)在(1,a)上为减函数，在(a,e)上为 增函数,此时f(x)min=f(a)=2a,解 得1ae;20a1e2a1;a1e 1，得，1ae2ae 1，当ae时，函数f(x)在1,e上为减函数，此时 解 得ae.综上,答案:2minaf(x)f eee，2aeaee 1,e ae2.ae2
