1、第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：(2)异面直线所成的角：定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语
2、言符号语言公共点直线与平面相交aA1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行0个相交l无数个做一做1已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理错误的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，Al，llA答案：C2若直线ab，bcA，则直线a与c的位置关系是()A异面B相交C平行 D异面或相交答案：D1辨明三个易误点(1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”(2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件(3)两条异面直线所成角的范围是(0，902证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分
3、线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合3证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上做一做3下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面梯形可以确定一个平面两两相交的三条直线最多可以确定三个平面如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0B1C2 D3解析：选C.经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说清三个点是否共线，不正确4如图是正方体或四面
4、体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选D.A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面_平面的基本性质_如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证： (1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点证明(1)连接EF，CD1，A1B.E、F分别是AB、AA1的中点，EFBA1，又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四点共面 (2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA
5、.CE、D1F、DA三线共点规律方法(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可(2)要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12. (1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线证明：(1)E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.在BCD中，
6、GHBD，EFGH.E，F，G，H四点共面(2)EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线_空间两直线的位置关系_如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解(1)不是异面直线理由：连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1.又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以
7、A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线 (2)是异面直线理由如下：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，这与B，C，C1，D1不共面矛盾所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线规律方法异面直线的判定方法：(1)定义法：依据定义判断(较为困难)(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)(3)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设
8、，肯定两条直线异面2. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故错误答案：_异面直线所成的角(高频考点)_从近几年的高考试题来看，异面直线所成的角是高考的热点，题型既有选择题又有填空题，也有解答题，难度为中低档题；高考对异面直线所成的角的考查主要有以下两个命题角度：(1)求异面直线所成角；(2)由异面直线所成角求其他
9、量在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角AB1ACB1C，B1CA60.即A1D与AC所成的角为60.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1.E，F分别为AB，AD的中点，EFBD，EFAC.EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.若本例中“正方体”改为“正四棱柱”且异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，试求：的值解
10、：设AB1，AA1t，由题意知A1BC1为所求，又A1C1，A1BBC1，cosA1BC1，t3，即3. 规律方法用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角3.(1)(2015安徽省江南十校联考)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD内有且仅有1个点到顶点A1的距离为1，则异面直线AA1，BC1所成的角为()A.B.C. D.(2)(2015广州调
11、研)在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为()A. B.C. D.(3) 如图所示，点A是平面BCD外一点，ADBC2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF，则异面直线AD和BC所成的角为_解析：(1)由题意可知，只有点A到A1距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线AA1，BC1所成的角是.(2)设ACBDO，连接VO(图略)，因为四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO平面ABCD，故BDVO，又四边形ABCD是正方形，所以BDAC，所以BD平面VAC，所以BDVA，即异面直线VA与BD所成角的大小为，故选D.(3)如图
12、，设G是AC的中点，连接EG，FG.因为E，F分别是AB，CD的中点，故EGBC且EGBC1，FGAD，且FGAD1.则EGF即为所求，又EF，由勾股定理逆定理可得EGF90.答案：(1)B(2)D(3)90方法思想判断空间线面位置关系(构造法)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条解析 法一：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直
13、线都相交的直线有无数条法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因CD与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ(图略)，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交答案无数名师点评1.本题难度不大，但比较灵活对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大2注意本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此不能解决3点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面
14、垂直已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()Am与n异面Bm与n相交Cm与n平行Dm与n异面、相交、平行均有可能解析：选D. 在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是mn1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误1已知直线l平面，P，那么过点P且平行于直线l的直线()A只有一条，不在平面内B有无数条，不一定在平面内C只有一条，且在平面内D有无数条，一定在平面内解析：选C.由直线l与点P可确定一个平面，则平面，有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l，所以lm，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面内2已知A、B、C
15、、D是空间四个点，甲：A、B、C、D四点不共面，乙：直线AB和直线CD不相交，则甲是乙成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.因为A、B、C、D四点不共面，则直线AB和直线CD不相交，反之，直线AB和直线CD不相交，A、B、C、D四点不一定不共面故甲是乙成立的充分不必要条件3. 如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点AB点BC点C但不过点MD点C和点M解析：选D.AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据公理3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上4. 如图所示，ABCDA1B1C1
16、D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面解析：选A.连接A1C1，AC(图略)，则A1C1AC，A1，C1，A，C四点共面，A1C平面ACC1A1.MA1C，M平面ACC1A1.又M平面AB1D1，M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上A，M，O三点共线5. 如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角
17、的余弦值为()A. BC. D解析：选A. 延长CD至H.使DH1，连接HG、HF，则HFAD.HFDA2，GF，HG.cosHFG.6平面，相交，在，内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个答案：1或47. 如图所示，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH是正方形解析：易知EHBDFG，且EHBDFG，同理EFACHG，且EFACHG，显然四边形EFGH
18、为平行四边形要使平行四边形EFGH为菱形需满足EFEH，即ACBD；要使四边形EFGH为正方形需满足EFEH且EFEH，即ACBD且ACBD.答案：ACBDACBD且ACBD8. 如图所示，正方体的棱长为1，BCBCO，则AO与AC所成角的度数为_解析：ACAC，AO与AC所成的角就是OAC.OCOB，AB平面BBCC，OCAB.又ABBOB，OC平面ABO.又OA平面ABO，OCOA.在RtAOC中，OC，AC，sinOAC，OAC30.即AO与AC所成角的度数为30.答案：309. 如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点 (1)求证AE与P
19、B是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为.A，B，E，平面即为平面ABE，P平面ABE，这与P平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线(2) 取BC的中点F，连接EF、AF，则EFPB，所以AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成的角BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，cosAEF，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.10. 如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点 (1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由题设知，FGGA，FHHD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点共面理由如下：由BE綊FA，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF綊BG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面
