1、第4节数列求和考试要求1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.知 识 梳 理1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列an的前n项中与首末两
2、端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.常用结论与微点提醒1.1234n.2.1222n2.3.裂项求和常用的三种变形(1).(2).(3).诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，().()(3)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()(4)若数列a1，a2a1，anan1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列an的通项公式是an.()解析(3)要分a0或a1或a0且a1讨论求解.答案(1)(2)(3
3、)(4)2.(老教材必修5P47B4改编)已知数列an，则数列an的前2 021项和为_.解析an，数列an的前2 021项和为a1a2a2 021(1).答案3.(老教材必修5P56例1改编)等比数列an中，若a127，a9，q0，Sn是其前n项和，则S6_.解析由a127，a9知，27q8，又由q0，解得q，所以S6.答案4.(2019东北三省四校二模)已知数列an满足an1an2，a15，则|a1|a2|a6|()A.9 B.15 C.18 D.30解析由题意知an是以2为公差的等差数列，又a15，所以|a1|a2|a6|5|3|1|13553113518.答案C5.(2019珠海期末质
4、检)已知数列an的通项公式为an2nn，若数列an的前n项和为Sn，则S8_.解析由an2nn，可得S8(2222328)(128)546.答案5466.(2020河北“五个一”名校质检)若f(x)f(1x)4，anf(0)fff(1)(nN*)，则数列an的通项公式为_.解析由f(x)f(1x)4，可得f(0)f(1)4，ff4，所以2anf(0)f(1)f(1)f(0)4(n1)，即an2(n1).答案an2(n1)考点一分组求和【例1】 (2019汕头二模)记Sn为数列an的前n项和，若a119，Snnan1n(n1).(1)求数列an的通项公式；(2)设bn|an|，设数列bn的前n项
5、和为Tn，求T20的值.解(1)因为Snnan1n(n1)，所以Sn1(n1)ann(n1)(n2)，得annan1(n1)an2n(n2)，即an1an2(n2)，又S1a22，即a2a12，所以数列an是以19为首项，2为公差的等差数列，所以an19(n1)(2)212n.(2)由(1)知an212n，所以bn|an|212n|，因为当n10时，an0，当n10时，an0，所以bn所以T20b1b2b20(19171)(1319)2(19171)2200.规律方法1.若数列cn的通项公式为cnanbn，且an，bn为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列cn的前n项和.2.若数列cn的通项
6、公式为cn其中数列an，bn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求cn的前n项和.【训练1】 (2020郴州质检)已知在等比数列an中，a11，且a1，a2，a31成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn2n1an(nN*)，数列bn的前n项和为Sn，试比较Sn与n22n的大小.解(1)设等比数列an的公比为q，a1，a2，a31成等差数列，2a2a1(a31)a3，q2，an的通项公式为ana1qn12n1(nN*).(2)由(1)知bn2n1an2n12n1，Sn(11)(32)(522)(2n12n1)135(2n1)(12222n1)nn22n1.Sn(n22
7、n)10，Snn22n.考点二裂项求和【例2】 (2020黄山质检)已知数列的前n项和Snn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：对任意的nN*，都有Tn1.(1)解因为Snn，所以当n2时，Sn1n1，由得1，故ann1(n2)，又因为a12适合上式，所以ann1(nN*).(2)证明由(1)知，bn，所以Tn1.所以Tn0，所以q.由2a13a21，得2a13a1q1，解得a1.故数列an的通项公式为an.(2)由(1)可得bnlog3a1log3a2log3an(12n)，故2，所以2.故数列的前n项和为.考点三错位相减法求和【例3】 (20
8、19河南六校联考)已知数列an中，a11，Sn是数列an的前n项和，且对任意的r，tN*，都有.(1)判断an是否为等差数列，并证明你的结论；(2)若数列bn满足2n1(nN*)，设Tn是数列bn的前n项和，求证：Tn6.(1)解an是等差数列.证明如下：对任意的r，tN*，都有，对任意的nN*，有n2，即Snn2.从而当n2时，anSnSn12n1.当n1时，a11也满足此式.an1an2(nN*)，an是以1为首项，2为公差的等差数列.(2)证明由2n1，得bn.Tn，得，113，Tn6，又nN*，Tn66.规律方法1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项
9、和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.【训练3】 (2020湘赣十四校联考)已知函数f(x)2 019sin(xR)的所有正数零点构成递增数列an，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2n，求数列bn的前n项和为Sn.解(1)令f(x)2 019sin0，则xk(kZ)，解得xk(kZ).f(x)的所有正零点构成递增数列an，数列an是首项为，公差为1的等差数列，an的通项公式为an1(n1
10、)n(nN*).(2)由(1)可知ann(nN*)，又bn2n，bn2nn2n.Sn121222323(n1)2n1n2n.两边同乘2，得2Sn122223324(n1)2nn2n1.，得Sn2122232nn2n1n2n1(n1)2n12.所以数列bn的前n项和Sn(n1)2n12.A级基础巩固一、选择题1.等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A.24 B.3 C.3 D.8解析设an的公差为d，根据题意得aa2a6，即(a12d)2(a1d)(a15d)，解得d2，所以数列an的前6项和为S66a1d16(2)24.答案A2.数列an的通
11、项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A.200 B.200 C.400 D.400解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.答案B3.(2019成都期末)在数列an中，若a11，a23，an2an1an(nN*)，则该数列的前100项之和是()A.18 B.8 C.5 D.2解析a11，a23，an2an1an(nN*)，a3312，a4231，a5123，a6312，a7231，a8123，a9312，an是周期为6的周期数列，1001664，S10016(132132)(1321)5.答案C4
12、.(2020河北“五个一”名校联盟诊断)已知等差数列an中，a3a5a47，a1019，则数列ancos n的前2 020项的和为()A.1 009 B.1 010 C.2 019 D.2 020解析设an的公差为d，则有解得an2n1，设bnancos n，则b1b2a1cos a2cos 22，b3b4a3cos 3a4cos 42，数列ancos n的前2 020项的和为(b1b2)(b3b4)(b2 019b2 020)22 020.答案D5.(2019广州天河一模)数列an满足a11，对任意nN*，都有an11ann，则()A. B.2 C. D.解析对任意nN*，都有an11ann
13、，则an1ann1，则an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)1，则2，所以22.答案C二、填空题6.数列an的通项公式是an，前n项和为9，则n等于_.解析因为an，所以Sna1a2an()()()()1，令19，得n99.答案997.(2020武汉质检)设数列(n2n)an是等比数列，且a1，a2，则数列3nan的前15项和为_.解析等比数列(n2n)an的首项为2a1，第二项为6a2，故公比为，所以(n2n)an，所以an，则3nan，其前n项和为1，n15时，为1.答案8.(2020福州调研)已知数列nan的前n项和为Sn，且an2n，且使得Snnan1500的最小
14、正整数n的值为_.解析Sn121222n2n，则2Sn122223n2n1，两式相减得Sn2222nn2n1n2n1，故Sn2(n1)2n1.又an2n，Snnan1502(n1)2n1n2n150522n1，依题意522n10，故最小正整数n的值为5.答案5三、解答题9.已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和.解(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.a11也满足ann，故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(21222
15、2n)(12342n).记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.10.(2019安徽江南十校联考)已知数列an与bn满足a1a2a3an2bn，且an为正项等比数列，a12，b3b24.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)若数列cn满足cn，Tn为数列cn的前n项和，求证：Tn0，q2，an的通项公式为an22n12n.2bn2122232n2n12，bn的通项公式为bn2n1.(2)证明由已知，得cn，Tnc1c2c3cn11.B级能力提升11.(2020石家庄模拟)已知数列an的前n项和为Sn
16、，且Sn1Sn(nN*)，若a10a11，则Sn取最小值时n的值为()A.10 B.9 C.11 D.12解析Sn1Sn(nN*)，SnSn1(n2且nN*)，两式作差得an1ann10(n2且nN*)，当n10时，a11a100，又a10a11，a100S10且S9S10，又S12S10a12a11111010，由选项可得：Sn取最小值时n的值为10，故选A.答案A12.(2019许昌、洛阳三模)已知数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且an0，6Sna3an，bn，若kTn恒成立，则k的最小值为()A. B. C.49 D.解析当n1时，6a1a3a1，解得a13.当n2时，由6Sn
17、a3an，得6Sn1a3an1，两式相减并化简得(anan1)(anan13)0，由于an0，所以anan130，即anan13(n2)，故an是首项为3，公差为3的等差数列，所以an3n.则bn.故Tnb1b2bn，由于Tn是单调递增数列，所以k.故k的最小值为，故选B.答案B13.(2020长郡中学联考)数列bnancos 的前n项和为Sn，已知S2 0175 710，S2 0184 030，若数列an为等差数列，则S2 019_.解析设数列an是公差为d的等差数列，a1cos a2cos a3cos a4cos a5cos a6cos 2(a1a2)(a5a4)a3a6a3a6.由S2
18、0175 710，S2 0184 030，可得5 710(a3a9a2 013)(a6a12a2 010a2 016)a2 017，4 030(a3a9a2 013)(a6a12a2 010a2 016)a2 017a2 018，两式相减可得a2 0183 360，由5 7101 008d(3 360d)，解得d4，则ana2 018(n2 018)44n4 712，可得S2 0194 030a2 0194 030(42 0194 712)666.答案66614.(2019东北三省四校联考)已知数列an的前n项和为Sn，a15，nSn1(n1)Snn2n.(1)求证：数列为等差数列；(2)令b
19、n2nan，求数列bn的前n项和Tn.(1)证明由nSn1(n1)Snn2n得1，又5，所以数列是首项为5，公差为1的等差数列.(2)解由(1)可知5(n1)n4，所以Snn24n.当n2时，anSnSn1n24n(n1)24(n1)2n3.又a15也符合上式，所以an2n3(nN*)，所以bn(2n3)2n，所以Tn52722923(2n3)2n，2Tn522723924(2n1)2n(2n3)2n1，所以得Tn(2n3)2n110(23242n1)(2n3)2n110(2n3)2n110(2n28)(2n1)2n12.C级创新猜想15.(新定义题)定义“规范01数列”an如下：an共有2m
20、项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数.若m4，则不同的“规范01数列”共有()A.18个 B.16个 C.14个 D.12个解析法一列表法根据题意得，必有a10，a81，则将0，1进行具体的排法一一列表如下：a1a2a3a4a5a6a7a800001111101110110100111011010011010001110110100110由上述表格可知，不同的“规范01数列”共有14个.法二列举法根据题意可得，必有a10，a81，而其余的各项：a2，a3，a7中有三个0和三个1，并且满足对任意k8，a1，a2，a8中“0”的个数不少于“1”的个数.可以一一列举出不同“规范01数列”，除第一项和第八项外，中间六项的排列如下：000111，001011，001101，001110，010011，010101，010110，011001，011010，100011，100101，100110，101001，101010，共14个.答案C
