1、11.2弧度制三维目标1知识与技能(1)理解1弧度的角及弧度的定义；(2)掌握角度与弧度的换算公式；(3)熟练进行角度与弧度的换算；(4)理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；(5)理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题2过程与方法通过类比角度制的概念引入弧度制的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度3情感、态度与价值观通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角的制度，二者虽
2、单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质重点难点重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用难点：弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系教学建议 1弧度制的概念关于弧度制的概念的教学，建议教师在教学过程中，首先讲清1弧度角的概念，它是建立弧度概念的关键，并且让学生具体操作验证，老师通过多媒体演示
3、，在此直观印象基础上，引导学生证明以弧度为单位的角是一个与半径无关的定值2角度制与弧度制的换算关于角度制与弧度制的换算的教学，建议教师教学过程中，讲清“180”这个等式的意义，抓住这一关键，两种度量制的换算就迎刃而解了3弧长公式关于弧长公式的教学，建议教师在教学中让学生先通过自己的活动解决，明确角的度量单位是弧度，而且圆心角是在一定范围中，从而熟练用弧度制表示角，并能应用公式教学过程 引入：【问题导思】1在初中学习角的运算采用十进制还是六十进制？【提示】六十进制2我们平时常用运算大多都是六十进制吗？【提示】我们常用的是十进制(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角
4、度制(2)弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么l，r之间存在的关系是：|.知识点一 角度与弧度的互化【问题导思】根据弧度制的定义，周角360所对应的弧度数是多少？【提示】由2得，周角对应弧度数为2.(1)3602 rad，(2)1 rad0.017_45 rad，1 rad()57.30.知识点二 扇形的弧长及面积公式【问题导思】1已知扇形圆心角，半径为r，如何求弧长l?【提示】由|可得：弧长l|r.2能否用扇形的弧长l与半径表示扇形的面积S?【提示】
5、设扇形圆心角为，则扇形面积Sr2rl.图114(1)弧度制下的弧长公式如图114，l是圆心角所对的弧长，r是半径，则圆心角的弧度数的绝对值是|，弧长l|r.特别地，当r1时，弧长l|.(2)扇形面积公式在弧度制中，若|2，则半径为r，圆心角为的扇形的面积为Sr2|r2lr.题型一 角度与弧度的互化设1570，2750，1，2.(1)将1，2用弧度表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将1，2用角度表示出来，并在7200之间找出与它们终边相同的所有的角【思路探究】将角度化为弧度，可运用公式1弧度；而将弧度化为角度，则可运用公式1弧度().【自主解答】(1)1570，而22，122，1的
6、终边在第二象限275022，2的终边在第一象限(2)1180108，设k360108(kZ)，7200，720k3601080，kZ，k2或k1.7200之间与1终边相同的角是612角和252角2180780236060，设k36060(kZ)7200，720k360600，kZ，k1或k0.7200之间与2终边相同的角是420角和60角规律方法：1特殊角的弧度数与角度数的对应值应熟记，并逐步养成用弧度数表示角的习惯2在进行角度制与弧度制换算时，关系式 rad180是关键，由它得到：度数弧度数，弧度数()度数变式训练：把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02，并判断它是第几象限角？【解】1
7、 4801 48010，其中02，因为是第四象限角，所以1 480是第四象限角题型二 用弧度表示区域角用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示(不包括边界)【思路探究】求出阴影部分边界角的弧度数，结合区域角的旋转方向及终边相同角的表示方法写出区域角的范围【自主解答】(1)如图，以OB为终边的角为330，可看成是30，化为弧度，即，而7575 rad，所求集合为|2k2k，kZ(2)如图，以OB为终边的角225，可看成是135，化成弧度，即，而135135 rad，所求集合为|2k2k，kZ规律方法：1用弧度表示区域角，实质上是角度表示区域角在弧度制
8、下的应用，必要时，需进行角度与弧度之间的换算，注意单位要统一2在表示角的集合时，可以先写出一个周期的范围(如，02)内的角，再加上2k，kZ.3在进行区间的合并时，注意归纳总结，一定要做到准确无误一般地，若某角的终边落在某一直线上，则可用k(或k180)加上已知角来表示该角，其中kZ.变式训练：求出终边在图中所示阴影区域(包括边界)的角的集合【解】由于2，即角与角的终边相同，因此图中所示阴影区域的角的集合为|2k2k，kZ题型三 弧长与扇形面积公式的应用一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【自主解答】设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，则lr，依题意l
9、2r20，即r2r20，.由l202r0及r0得0r10，S扇形r2r2(10r)r(r5)225(0r10)当r5时，S扇形max25.此时l10，2，故当扇形半径r5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大规律方法：涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解互动探究：本例中条件不变，再增加一个条件：扇形面积S24，如何求这个扇形的弧长和圆心角？【解】(1)l2r20，l202r且0r10.S扇形lr(10r)r24，r210r240，解得r4或r6.当r4时，l202412，3 rad，当r6时，
10、l20268， rad.易错点 角度制与弧度制混用致误把角690化为2k(02，kZ)的形式为_【错解1】690(690)，6903.【答案】3【错解2】690236030，690430.【答案】430【错因分析】错解1中3不是2k的形式，不符合题目要求错解2中不符合“在同一表达式中角度与弧度不能混用”这一原则【防范措施】(1)在解题时要注意结果的规范要求(2)在解决角度制和弧度制的有关问题时，要遵循转换的原则，表达的形式要符合基本的原则和规范性【正解】法一690(690)，4，6904.法二690236030，6904.【答案】4课堂小结：1准确理解弧度制(1)弧度制引入的必要性把角的概念推
11、广到任意角后，角的集合和实数集之间建立起一一对应关系(2)弧度制引入的合理性当圆心角一定时，圆心角所对的弧长与半径成正比，与所取半径无关2求扇形的弧长和面积的解题技巧求扇形的面积关键是明确弧度制下扇形的面积公式Sr2lr(02)，其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角，r是扇形的半径，三个量中知道任意两个量即可求解.当堂训练：1下列说法中，正确的序号是_1弧度是长度为半径的弧；大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大；1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角；圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等；长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度【解析】由弧度的概念知，错误，正确；角的大小与圆的半径无关，不正确；弧长lr，当1时，l扇r(半径)不正确【答案】2下列结论不正确的是_(只填序号) rad60；10 rad；36 rad； rad115.【解析】 rad()112.5，所以错【答案】3若扇形圆心角为216，弧长为30，则扇形半径为_【解析】216216，l30rr，r25.【答案】254已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？【解】设扇形的弧长为l，由题意得2R2Rl，所以l2(1)R，所以扇形的圆心角是2(1) rad，扇形的面积是Rl(1)R2.
