1、1.4.2 单位圆与周期性【教材分析】一、地位与作用：本节课内容是普通高中课程标准实验教科书北师大数学（必修四）第一章第4.2节主要讲述三角函数的周期性。本节知识上承三角函数定义，下启诱导公式及三角函数图像与性质。同时，三角函数是描述周期现象的数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。二、内容分析：本节教材对内容的安排主线是：现实背景（的感知与认识）建构数学（形成周期函数概念）具体化研究（三角函数的周期性）数学应用（会求简单函数的周期）；此外，通过对例题的安排，介绍了得出函数周期的三种方法。即例1图像法、例2定义法、例2的推广与引申公式法。充分体现了由“感性认识理性认识”的认知升华。【三维目
2、标】一、知识与技能：1、了解周期函数的概念。2、会判断一些简单的、常见的函数的周期性；3、能写出一些简单三角函数的周期。二、过程与方法：1、结合现实模型，通过对三角函数值变化规律的观察与认识建构周期函数概念；2、通过对周期函数概念的了解与认识，学会判断简单的、常见的函数周期性；3、通过对三角函数周期公式的探索与发现，能写出简单的三角函数的周期。三、情感价值观：1、通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、形成周期函数的概念的过程，让学生体会数学知识的发生、发展再现过程，激发学生的学习兴趣和求知欲。2、通过数学运用，让学生在尝试问题解决中，获得成功的体验，在数学学习中享受生活，享受快乐。 【
3、重点与难点】一、教学重点周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性。二、教学难点周期函数的概念 【学生分析】1、知识基础：学生认识了周期现象，并在此基础上学习了三角函数的定义，有了一定的知识基础；2、生活基础：日出日落、四季更替始终伴随着我们的生活，容易激发学生的兴趣与求知欲；3、基本能力：在建构主义教学理论指导下的数学学习，使学生已经具备了一定的观察、分析、思考的能力，为本节课的展开提供了可能。【教法与学法】一、学法设计：学法设计主要有：观察、思考、小组讨论、合作探究。在理论形成阶段主要以小组形式参与研究学习；在数学运用阶段主要以自主学习为主，检验学生理解与掌握情况。二、教法设计： 教法设计主要
4、有：启发、引导。【教学工具】 多媒体课件 【教学过程】具体内容活动设计设计意图创设情境情境一：今天是星期几？7天后是星期几？情境二：观察圆周上动点从开始运动的规律。学生观察圆周上点的周期运动，感受周期现象情境一：联系生活情境二：直观感受师生活动问题1：你能列举出与上述两种变化有相同特征的现象吗？你能描述这种现象吗？【问题解决】（1）列举实际背景（现实原型）：四季更替、日出日落、斗转星移等。（2）规律总结：自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象，这种以相同间隔不断重复出现的现象称为周期现象。问题2：以正弦函数为例，观察图像上点从圆上任意一点开始运动一周后，正弦函数值是否发生变化？问题2-1：
5、能否用数学表达式来描述这一现象呢？问题2-2：余弦函数具有这样的特征吗？【问题解决】（1）没有变化，相等（2）能，（3）有，【判断】已知函数，相等吗？【教师引导】我们把具有上述特征的函数称为周期函数。问题2-3：你能给周期函数下个定义吗？结合观察结果，思考问题1，在进行小组交流后口答结果；在对周期现象概念有了一定认识的基础上回归数学，让学生带着问题2观察正弦函数值的变化情况，思考两个子问题并在交流后给出口答；思考、归纳形成自我意识中的概念。问题一：通过对实际背景的列举让学生感受“周期”，形成对周期现象的感性认识。问题二：在学生已有的知识储备基础上，让学生从数学的角度来认识周期现象，从而形成模糊
6、的周期函数的概念。建构数学一、概念提出一般地，对于函数，如果存在一个非零的常数，使得定义域内的任意一个值，都满足,那么函数就叫做周期函数（periodic function）,非零常数叫做这个函数的周期（period）二、概念理解【学生练习】课本 练习题1：判断下列说法是否正确，并简述理由：（1）函数，则这个函数是以6为周期的函数；（2）是周期函数，且，则一定是它的周期；问题3：正弦函数的周期唯一吗？问题3-1：观察几何画板演示，当点从圆周上任意一点出发，逆时针运动两周后，正弦函数线有变化吗？运动更多呢？这种现象说明了怎样的事实？问题3-2：若运动的方向变为顺时针呢？并试用已学知识来解释这一现
7、象。【问题解决】（1）对于正弦函数而言，它的周期有很多个。即；（2）不论点运动多少周，都回到起始位置，这个位置上的三角函数值是没有发生变化的。三角函数的定义能解释这一现象；（3）若非零常数是函数的一个周期，那么都是的周期。说明：（教师引导学生认识最小正周期）对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么个最小的正数就叫做的最小正周期，在不加特别说明时，周期一般指函数的最小正周期，不是所有函数都有最小正周期。(如常数函数)【拓展与引申】你能得出的所有周期吗？试用已学知识分析之。【归纳】对于余弦函数而言，它的周期有很多个。可表示为：在学生思考、交流的基础上口答完成概念提出，教师给予
8、适当规范。在自主练习1的基础上引出问题3，让学生结合画板演示观察、思考、交流，并口答结果。让学生结合画板演示进行探究、思考，口答结论。从而实现学生对三角函数周期的全面了解。1、概念提出是建立在学生对正弦函数周期性有一定认识的基础之上，实现从“特殊到一般”的认知；2、学生练习的目的有二：其一，巩固对周期函数概念的进一步理解；其二，引出对问题3的思考；3、问题3与拓展引申的设计主要目的有三：其一，得出正弦、余弦、正切函数的周期；其二，在于引出对周期函数的3点说明；其三，联系前知，加深对正弦函数周期的认识。（三角函数线与诱导公式）数学应用例1：（图像法）若钟摆的高度与时间之间的函数关系如图所示。（1
9、）求该函数的周期；（2）求时钟摆的高度。思考：1、周期函数图像的特点是什么？2、如何利用函数图像得出函数的周期？分析：利用图像研究函数的周期性应把握两点：（1）体会周期函数图像变化特点；（2）明确图像上特殊点坐标，利用特殊点坐标来确定函数周期。（图像法求函数周期）答案：（1）由函数图像可知，该函数的周期为。（2）设，由函数的周期为，可知 故时钟摆的高度为。同式训练： 练习题4：若弹簧振子对平衡位置的位移与时间之间的关系如图所示：（1）求该函数的周期；43-8-480124x/cmt/s（2）求时弹簧振子对平衡位置的位移。答案：（1）周期为 （2）例2：（定义法）求函数的周期。分析：（1）利用整
10、体思想，结合正弦、余弦函数的周期求解；（2）结合定义，在整体思想下得出周期后，转化为变量的变化量（即周期）。答案：设周期为，则即对任意实数都成立。也就是对任意实数都成立（）。由于的周期为，可知使得对任意实数都成立的最小值为，可知，即所以的周期为。思考：本题求解的依据是什么？方法是什么？注意点是什么？思路整合：周期函数定义：周期T对任一x的值都成立；运用了整体思想换元：u =2x；利用g(u)=cosu的(最小正)周期是2；注意：f(x)= cos2x与f(u)=cosu的周期是不同的概念。【探索讨论】合作探究：结合刚刚完成的例2的求解思路，试探求三角函数的周期公式。（班级分两组分别探求一个）结
11、论：一般地，函数的周期练习巩固： 练习题 2：求下列函数的周期：（1） （2）答案：（1） （2）推广：（类比教学法）当上述结论中“”改为“”，则周期公式为 ；学生结合课本自学例1，同时思考教师的设问1、2，让学生自我总结口述。在例1完成的基础上学生自主练习课本题4，口答结果。在学生思考的基础上教师开展范例教学。结合板书过程让学生思考问题，实现让学生对思路进行整合。为学生的探索、讨论作一定铺垫。学生进行自我尝试、合作探究、小组交流形成一般性结论。利用探究结论完成对课本第二题的自主练习。让学生通过自己的思考、归纳、猜想实现对知识的系统化掌握。1、例1及其同式训练的设计目的有二：（1）让学生感受周
12、期函数图像的特点；（2）让学生感悟如何从图像直观上获取周期的相关信息，并求解函数周期，渗透数形结合思想。2、例2在于利用定义进行逻辑上的推理，为学生的探索与讨论提供理论与方法的支撑。3、通过例2的完成，进一步归纳三角函数一般式的周期，实现从特殊到一般的过度。4、探索讨论部分将问题进一步分解，渗透化归与转化的数学思想。课堂反馈1、（辨别题）判断下列说法是否正确：（1）所有函数都存在最小正周期；（2）对于函数，如果存在一个非零的常数，使得定义域内的无数个值，都满足,那么函数就叫做周期函数。2、（变式题）写出下列函数的周期：（1） （2）3、（简单应用题）（1）函数周期为2，且，则= ；（2）函数的
13、周期为，求实数的值。通过学生的自主练习、口答，完成对本节课教学效果的检查。通过概念辨析题、课本变式题和简单应用题检验课堂教学效果，提升学生解决周期问题的能力。回顾反思问题4：通过本节课的学习，同学们有哪些收获？问题4-1：本节课的知识与方法有哪些？问题4-2：这些知识与技能是怎样得到的呢？问题4-3：本节课我们用到了哪些数学思想？1、周期函数与周期2、函数的周期为3、求函数周期的方法：（1）图像法 （2）定义法 （3）公式法4、数学思想方法：（1）数形结合 （2）化归与转化让在学生自主思考的基础上进行小组交流，最后口答总结，完成课时小结。通过合作学习，让学生自我总结、整合知识体系，提高学生发现
14、问题、分析问题、解决问题的能力。分层作业布置一、书面作业： 习题1.3 感受理解 第1题二、思考题：结合课本链接内容试证明是余弦函数的最小正周期。课后巩固书面作业针对所有学生，思考题让学有余力学生进行探究。体现分层教学理念。【板书设计】1.3.1三角函数的周期性一、周期函数 三、三角函数的周期 例2： 说明：二、方法：【教学设计说明】本节课的课堂结构安排是在对教材分析后，结合了布鲁纳的结构（建构）主义教学理论，采用了情境教学法。即在情境观察的过程中发现问题-提出问题-思考问题-解决问题-应用为主线，以个人解决问题和小组讨相结合，注重学生思维过程，结合怀特海的循环学习理论，设置了拓展与引申、探索
15、与发现，引导学生在解决问题的过程中探究新知。为了突出学生的主体地位，实现对学生数学学习能力的培养，结合加涅的认知指导说，本节课的思路安排以问题串的形式展开，采用了启发、引导式教学方法。同时，借助子问题的设计实现分层教学，将问题进一步明细化、具体化，设计思考坡度，让每一位学生都能通过观察、思考、小组讨论、合作探究等学习方法来获取成功的体验。主要问题有：问题1：你能列举出与上述两种变化有相同特征的现象吗？你能描述这种现象吗？问题2：以正弦函数为例，观察图像上点从圆上任意一点开始运动一周后，正弦函数值是否发生变化？问题3：正弦函数的周期唯一吗？问题4：通过本节课的学习，同学们有哪些收获？让学生通过对情境的观察及问题1的思考，体会周期现象的普遍存在性；结合已有的知识展开对问题2的讨论，实现建构数学概念；再通过对问题解决中出现的新问题（问题3）的再探，加深对数学概念的认识与了解；最后通过对问题4及其子问题的思考与归纳，让学生将知识、技能、方法整合到自己的知识体系中去，最终实现对数学学习能力的培养。
