1、高考资源网（） 您身边的高考专家第3节基本不等式及其应用考试要求1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值s，那么当
2、且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大).常用结论与微点提醒1.2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号.2.ab.3.(a0，b0).4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的.()(2)函数yx的最小值是2.()(3)函数f(x)sin x的最小值为4.()(4)x0且y0是2的充要条件.()解析(1)不等式a2b22ab成立的条
3、件是a，bR；不等式成立的条件是a0，b0.(2)函数yx的值域是(，22，)，没有最小值.(3)函数f(x)sin x没有最小值.(4)x0且y0是2的充分不必要条件.答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册P48T1改编)已知x2，则x的最小值是()A.2 B.4 C.2 D.6解析x2，x(x2)222426.当x2，即x4时等号成立.答案D3.(新教材必修第一册P45例1改编)若x0，则x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为2D.有最大值，且最大值为2解析因为x0，x22，当且仅当x1时，等号成立，所以x2.答案D4.(2020安徽
4、江南十校联考)已知实数x满足logx1，则函数y8x的最大值为()A.4 B.8 C.4 D.0解析由logx1得0x，12x10，8b0，所以2a222，当且仅当2a，即a3，b1时取等号.故2a的最小值为.答案考点一利用基本不等式求最值多维探究角度1配凑法求最值【例11】 (1)(2020乐山一中月考)设0x0，则a的最小值为_.解析(1)y4x(32x)22x(32x)2，当且仅当2x32x，即x时，等号成立.，函数y4x(32x)的最大值为.(2)由题意可知aa2，当且仅当a，即a时等号成立.所以a的最小值为.答案(1)(2)规律方法配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关
5、键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.角度2常数代换法求最值【例12】 (2019龙岩一模)已知x0，y0，且，则xy的最小值为()A.3 B.5 C.7 D.9解析x0，y0，且，x1y2(x1y)228，当且仅当，即x3，y4时取等号，xy7，故xy的最小值为7.答案C规律方法常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所
6、求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值.角度3消元法求最值【例13】 若正数x，y满足x26xy10，则x2y的最小值是()A. B. C. D.解析因为正数x，y满足x26xy10，所以y.由即解得0x1.所以x2yx2，当且仅当，即x，y时取等号，故x2y的最小值为.答案A规律方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决的方法是代入消元后利用基本不等式求解.但应注意保留元的取值范围.【训练1】 (1)(角度1)已知函数f(x)(x0，y0，x2y5，则的最小值为_.(3)(角度3)若a，
7、b，c都是正数，且abc2，则的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.6解析(1)f(x)(x1)2.因为x1，所以x10，所以f(x)224，当且仅当(x1)，即x2时，等号成立.故f(x)的最小值为4.(2)x0，y0，0.x2y5，224，当且仅当2，即x3，y1或x2，y时取等号.的最小值为4.(3)由题意可得bc2a0，所以0a2.33，当且仅当a1时等号成立，所以的最小值是3.答案(1)A(2)4(3)B考点二基本不等式的实际应用【例2】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司
8、机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.解(1)所用时间为t(h)，y214，x50，100.所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50，100(或yx，x50，100).(2)yx26，当且仅当x，即x18时等号成立.故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练
9、2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x3.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是_万元.解析由题意知t1(1x0，0)，则的最小值为()A.16 B.8 C.4 D.2(2)(2020长沙模拟)如图，在三棱锥PABC中，PA，
10、PB，PC两两垂直，且PA3，PB2，PC1.设M是底面ABC内一点，定义f(M)(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥MPAB、三棱锥MPBC、三棱锥MPCA的体积.若f(M)，且 8恒成立，则正实数a的最小值为_.解析(1)由题意可知，4，又B，P，D共线，由三点共线的充要条件可得41，又因为0，0，所以(4)88216，当且仅当，时等号成立，故的最小值为16.故选A.(2)PA，PB，PC两两垂直，且PA3，PB2，PC1，VPABC3211xy.xy，则2x2y1.a0，(2x2y)22a22a4(当且仅当，即yx时，取等号)，因此22a48，解得a1，正实数a的最小值为1.答案(
11、1)A(2)1规律方法(1)当基本不等式与其它知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.【训练3】 (2020厦门联考)对任意m，n(0，)，都有m2amn2n20，则实数a的最大值为()A. B.2 C.4 D.解析对任意m，n(0，)，都有m2amn2n20，m22n2amn，即a恒成立，22，当且仅当即mn时取等号，a2，故a的最大值为2，故选B.答案BA级基础巩固一、选择题1.已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是()A.ab2 B.2C.2 D
12、.a2b22ab解析因为和同号，所以2.答案C2.若x0，y0，且xy18，则的最大值为()A.9 B.18 C.36 D.81解析因为xy18，所以9，当且仅当xy9时，等号成立.答案A3.下列结论正确的是()A.当x0且x1，lg x2B.0时，2D.当0x2时，x无最大值解析对于A，当0x1时，lg x0时，22，当且仅当x1时等号成立；对于D，当00，b0)经过圆x2y22x4y10的圆心，则的最小值为()A.4 B. C. D.6解析圆的一般方程化成标准方程得(x1)2(y2)24，依据圆心(1，2)在直线axby20上，得a2b2(a0，b0)，(a2b)(52)(当且仅当ab时取
13、等号).答案B8.(2020信阳模拟)已知角，的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，的终边上分别有点A(1，a)，B(2，b)，且2，则b的最小值为()A.1 B. C. D.2解析由已知可得tan a，tan ，2，tan tan 2，a，即a，由a0，b0得0，则0b0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.答案811.(一题多解)(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx(x0)上的一个动点，则点P到直线xy0的距离的最小值是_.解析法一由题意可设P(x00)，则点P到直线xy0的距离d4
14、，当且仅当2x0，即x0时取等号.故所求最小值是4.法二设P(x00)，则曲线在点P处的切线的斜率为k1.令11，结合x00得x0，P(，3)，曲线yx(x0)上的点P到直线xy0的最短距离即为此时点P到直线xy0的距离，故dmin4.答案412.(2019天津卷)设x0，y0，x2y4，则的最小值为_.解析2.x0，y0且x2y4，42(当且仅当x2，y1时取等号)，2xy4，22.答案B级能力提升13.正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.3，) B.(，3C.(，6 D.6，)解析因为a0，b0，1，所以ab(ab)1010216，当
15、且仅当，即a4，b12时，等号成立.由题意，得16x24x18m，即x24x2m对任意实数x恒成立，令f(x)x24x2，则f(x)x24x2(x2)26，所以f(x)的最小值为6，所以6m，即m6.答案D14.(2019湖南师大附中模拟)已知ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若ABC的三边长分别为a，b，c，则的最小值为()A.2 B.2 C.4 D.22解析因为ABC的面积为1，内切圆半径也为1，所以(abc)11，所以abc2，所以222，当且仅当abc，即c22时，等号成立，所以的最小值为22.答案D15.若a，bR，ab0，则的最小值为_.解析a，bR，ab0，4ab24，当且仅当
16、即时取得等号.答案416.已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_.解析对任意xN*，f(x)3，即 3恒成立，即a3.设g(x)x，xN*，则g(x)x4，当x2时等号成立，又g(2)6，g(3)，g(2)g(3)，g(x)min.3，a，故a的取值范围是.答案C级创新猜想17.(新定义题)规定：“”表示一种运算，即abab(a，b为正实数).若1k3，则k的值为_，此时函数f(x)的最小值为_.解析由题意得1k1k3，即k20，解得1或2(舍去)，所以k1，故k的值为1.又f(x)1123，当且仅当，即x1时取等号，故函数f(x)的最小值为3.答案13- 14 - 版权所有高考资源网
