1、5.1数列基础5.1.1数列的概念学 习 任 务核 心 素 养1了解数列的概念及其表示方法(重点)2掌握数列的通项公式及应用(难点)3能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(易错点)4了解数列与函数的关系(难点)1通过数列概念的学习，培养数学抽象的素养2通过数列通项公式的学习，提升逻辑推理的数学素养3通过数列与函数关系的学习，提高直观想象、数学运算等核心素养“微信朋友圈”中的数学在微信朋友圈，信息的传播速度是惊人的，正所谓“一传十，十传百，百传千，千传万，”我们能否用下面一列数来记录这一传播过程：1，10，100，1 000，10 000，提示可以知识点1数列的概念及一般形式1数列1，2，3
2、与数列2，1，3相同吗？提示不同，顺序不一样数列与集合的区别数列集合各项必须是数集合中的元素可以是数，也可以是其他形式数列中的数是有顺序的，如1，2，3与1，3，2代表不同的数列集合中的元素具有无序性，如1，2，31，3，2同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，1，集合中的元素具有互异性，如1，1，1，1，组成的集合只能写为11思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)1，7，0，11，3，1 000不构成数列()(2)an与an是一样的，都表示数列()(3)数列1，2，3，4可表示为1，2，3，4()答案(1)(2)(3)知识点2数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列
3、无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列2下列说法正确的是_(填序号)1，1，1，1是有穷数列；从小到大的自然数构成一个无穷递增数列；数列1，2，3，4，2n是无穷数列因为1，1，1，1只有4项，所以正确；正确；数列1，2，3，4，2n共有2n项，是有穷数列，所以错误知识点3数列的通项公式一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用anf(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式2数列一定有通项公式吗？提示不一定例如，的不同近似
4、值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，它没有通项公式(1)已知通项公式anf(n)，那么只要依次用1，2，3，代替公式中的n就可以求出数列的各项(2)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的例如，数列0，2，0，2，的通项公式可以写成an还可以写成an(1)n13(1)(对接教材P7练习AT2)已知数列an的通项公式为an，那么a5()ABCD(2)数列0，1，2，3，4，的一个通项公式可以为()Aann1 BannCann1 Dann21(1)B(2)A(1)an，a5，故选B(2)结合选项可知，ann1，故选A知识点4数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作
5、是特殊的函数，关系如下表：定义域正整数集N(或它的有限子集1，2，3，n)解析式数列的通项公式值域由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法3数列所对应的图像是连续的吗？提示不连续拓展：(1)解读数列的通项公式数列的通项公式实际上是一个以正整数集N或它的有限子集1，2，3，n为定义域的函数解析式和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的(2)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列4根据数列的通项公式，分别用列表法和图像法表示
6、下列数列(n5且nN)(1)an(1)n2；(2)bn解用列表法分别给出这两个数列n12345an(1)n213131bn2它们的图像如图(1)(2)(1)(2) 类型1数列的概念及分类【例1】已知下列数列：2 015，2 016，2 017，2 018，2 019，2 020，2 021；1，；1，；1，0，1，sin，；2，4，8，16，32，；1，1，1，1其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号)为有穷数列且为递增数列；为无穷、递减数列；为无穷、摆动数列；是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；为递增数列，也是无穷数列；为有
7、穷数列，也是常数列1与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他形式2判断数列是哪一种类型时要紧扣概念及数列的特点判断是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；判断是有穷还是无穷数列则要看项的个数有限还是无限跟进训练1给出下列数列：20142021年某市普通高中生人数
8、(单位：万人)构成数列82，93，105，119，129，130，132，135；无穷多个构成数列， ， ， ，；2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，构成数列2，4，8，16，32，其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，常数列是_，摆动数列是_为有穷数列；是无穷数列，同时也是递增数列；为常数列；为摆动数列 类型2由数列的前几项求通项公式【例2】(对接教材P5例2)写出下列数列的一个通项公式：(1)，2，8，；(2)9，99，999，9 999，；(3)，；(4)，思路点拨先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式解
9、(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以，它的一个通项公式为an(nN)(2)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an10n1(nN)(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n1)2表示，分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an(nN)(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an(1)n(nN)1根据所给数
10、列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征并对此进行归纳、联想2观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整跟进训练2写出下列数列的一个通项公式：(1)0，3，8，15，24，；(2)1，3，5，7，9，；(3)1，2，3，4，；(4)1，11，111，1 111，解(1)观察数列中的数，可以看到011，341，891，15161，24251，所以它的
11、一个通项公式是ann21(nN)(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(nN)(3)此数列的整数部分为1，2，3，4，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为ann(nN)(4)原数列的各项可变为9，99，999，9 999，易知数列9，99，999，9 999，的一个通项公式为an10n1所以原数列的一个通项公式为an(10n1)(nN) 类型3数列通项公式的应用1已知数列an的通项公式为ann22n1，该数列的图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正
12、数项提示由数列与函数的关系可知，数列an的图像是分布在二次函数yx22x1图像上的离散的点，如图所示，从图像上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项2若数列an满足an1an0，nN都成立，则该数列an是递增数列吗？提示是因为an1an0，故an1an，所以数列an是递增数列【例3】已知函数f(x)x数列an满足f(an)2n，且an0(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列an的增减性思路点拨先根据已知条件解方程求an，再利用作差法或作商法判断数列an的增减性解(1)f(x)x，f(an)2n，an2n，即a2nan10，解得ann，an0，ann(2)法
13、一：(作差法)an1an(n1)(n)111，又n1，n，1an1an0，即an10，1an10对于任意的nN恒成立，则数列an是递增数列；若an1an0，则当1时，数列an是递增数列；当1时，数列an是递减数列；当1时，数列an是常数列.对于任意的nN，若an0，则当1时，数列an是递减数列；当1时，数列an是常数列.利用相应的函数性质判断，即函数单调，相应的数列必单调，如an32n，由一次函数y32x是减函数知，数列an是递减数列.但要注意，函数不单调时，相应的数列仍可能单调，如an2n25n，函数y2x25x在1，)上不单调，而数列an是递增数列.跟进训练3已知数列的通项公式为ann22
14、n5(1)写出数列的前3项；(2)判断数列an的增减性解(1)数列的前3项：a1122152；a2222253；a33223510(2)ann22n5，an1an(n1)22(n1)5(n22n5)n22n12n25n22n52n3nN，2n30，an1an数列an是递增数列1已知数列an的通项公式为an，则该数列的前4项依次为()A1，0，1，0B0，1，0，1C，0，0 D2，0，2，0A当n分别等于1，2，3，4时，a11，a20，a31，a402数列，的通项公式可能是an()ABC DD因为数列，可以写成：，所以其通项公式为an，故选D3已知数列an的通项公式为an(nN)，则满足an
15、10，数列单调递增；当n13时，252n0，数列单调递增则满足an1an的n的值为124数列an满足anlog2(n23)2，则log23是这个数列的第_项3令anlog2(n23)2log23，解得n35观察数列1，3，6，10，x，21，28，的特点，则x的值为_15结合数字特征可知312，633，1064，28217，x105，21x6，x15回顾本节知识，自我完成以下问题：1an与an有何区别？提示an与an是含义不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系2由数列的前几项归纳其通项公式的关键是什么？提示由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(1)n或(1)n1处理符号； (4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等
