1、南宁三中20182019学年度下学期高二月考（一）理科数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门，若要求每类课程至少选一门，则不同的选法共有()A3种 B6种 C9种 D18种2从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2)，那么互斥而不对立的两个事件是()A至少有一个是红球，至少有一个是绿球 B恰有一个红球，恰有两个绿球C至少有一个红球，都是红球 D至少有一个红球，都是绿球3某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为()A
2、0.6，60 B3，12 C3，120 D3，1.24已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，且P(X4)08，则P(0X2)()A0.6 B0.4 C0.3 D0.25若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是()A B C D6曲线 (为参数)的对称中心()A在直线yx上 B在直线yx上C在直线yx1上 D在直线yx1上7已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，35，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A04x2.3 B2x2.4 C2x9.5 D0.3x4.48如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活
3、动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为() A24 B18 C12 D99将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A10种 B20种 C36种 D52种10如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为()A0.960B0. 864 C0.720D0.57611已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A212 B21
4、1 C210 D2912下列四个命题：残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型拟合的效果越好；散点图中所有点都在回归直线附近；随机误差e满足E(e)0，其方差D(e)的大小可用来衡量预报精确度其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4二、填空题（每小题5分，共20分）13国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_种不同的分派方法14从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的
5、2个数均为偶数”，则P(B|A)_15某校为了研究学生的性别与对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算K26.669，则所得到的统计学结论是：有_%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”附：P(K2k0)01000050002500100001k027063841502466351082816以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos，则直线l被圆C截得的弦长为_三、解答题（共70分）17(12分)在ABC中，a，b，c分别是角A，
6、B，C所对的边，且满足a3bcosC(1)求的值；(2)若a3，tanA3，求ABC的面积18(12分)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn求数列cn的前n项和Tn19(12分)2016年1月6日北京时间上午11时30分，朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”，再次震动世界，此事件也引起了我国公民热议，其中丹东市(丹东市和朝鲜隔江)某QQ聊天群有300名网友，乌鲁木齐市某微信群有200名网友，为了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注程度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名网友，先分别统计了他们在某时段发表的
7、信息条数，再将两地网友发表的信息条数分成5组：40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图(1)求丹东市网友的平均留言条数(保留整数)；(2)为了进一步开展调查，从样本中留言条数不足50条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率；(3)规定“留言条数”不少于70条为“强烈关注”请你根据已知条件完成下列22的列联表：强烈关注非强烈关注合计丹东市乌鲁木齐市合计判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关？附：临界值表及参考公式：K2， nabcdP(K2k0)0150100050025001000050
8、001k020722706384150246635787910.82820(12分)设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围21(12分)设函数f(x)exax1，aR(1)若函数f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；(2)当a0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)0；(3)求证：对任意的正整数n，都有22(10分)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，直线l经过点P(3，2)，且倾斜角为(1
9、)写出直线l的参数方程和圆C的标准方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值高二月考（一）理科数学参考答案1解：可分以下两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同选法；A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同选法所以根据分类加法计数原理知不同的选法共有：CCCC639(种)故选C2解：选项A，C中两事件可以同时发生，故不是互斥事件；选项B中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；选项D中的两事件是对立事件故选B3解：XB(5，06)，Y10X，所以E(X)5 063，D(X)5060412，D(Y) 100D(X)120故选C4解：由P
10、(X4)08，得P(X4)02，由题意知正态曲线的对称轴为直线x2，P(X0)P(X4)02，所以P(0X4)1P(X0)P(X4)06，所以P(0X2)P(0X4)03故选C5解：依题意，所求概率为P故选B6解：由已知消参得(x2)2(y1)21，所以其对称中心为(2，1)显然该点在直线yx上故选B7解：x与y正相关，排除C，D；B中方程不过样本点的中心(x，y)，故选A8解：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有6条路，再从F处到G处最短共有3条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6 318(条)故选B9解：1号盒子可以放1个或2个球，2号盒子可以放2个或3个球，故不同的放球方法
11、有CCCC10种故选A10解法一：由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)09，P(A1)08，P(A2)08，因为K，A1，A2相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(A1A2)P(A1A2) P(A1A2)(108)0808(108)0808096所以系统正常工作的概率为P(K)(P(A1A2)P(A1A2)P(A1A2)090960864解法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为1P(A1 A2)1(108)(108)096，故系统正常工作的概率为P(K)(1P(A1 A2)090960864 故选B11解：因为(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等
12、，所以CC，得n10，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即CCCCCC2n1所以二项式(1x)10中奇数项的二项式系数和为29故选D12解：中R2越大，拟合效果越好；中回归直线同样可以远远偏离变异点；正确注意，e是随机变量，其方差衡量预报精度故选B13解：先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有A90种分派方法故填9014解：P(A)，P(AB)， P(B|A)故填15解：因为6669与附表中的6635最接近，所以得到的统计学结论是：有1001009999%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”故填9
13、916解：圆4cos在直角坐标系下的方程为(x2)2y24，直线的普通方程为xy40，圆心到直线的距离是，弦长为2217解：(1)因为正弦定理，又ABC，所以sinAsin(BC)3sinBcosC，即sinBcosCcosBsinC3sinBcosC，所以cosBsinC2sinBcosC，即2故2(2)由ABC得tan(BC)tan(A)3，即3, 将tanC2tanB代入得3，解得tanB1或tanB，根据tanC2tanB得tanC，tanB同正，所以tanB1，tanC2可得sinB，sinC，sinA，代入正弦定理可得，所以b， 所以SABCabsinC3318解：(1)因为数列a
14、n的前n项和Sn3n28n，所以a111，当n2时，anSnSn13n28n3(n1)28(n1)6n5，又an6n5对n1也成立，所以an6n5又因为bn是等差数列，设公差为d，则anbnbn12bnd当n1时，2b111d；当n2时，2b217d，解得d3，所以数列bn的通项公式为bn3n1(2)由cn(3n3)2n1，于是Tn6229231224(3n3)2n1，两边同乘以2，得2Tn623924(3n)2n1 (3n3)2n2，两式相减，得Tn62232332432n1(3n3)2n2 322(3n3)2n2，所以Tn12322(12n)(3n3)2n23n2n219解：(1)4500
15、11055002510650041075002108500051063564所以丹东市网友的平均留言条数是64条(2)留言条数不足50条的网友中，丹东市网友有001101006(人)，乌鲁木齐市网友有0005101002(人)，从中随机抽取2人共有C28种可能结果，其中至少有一名乌鲁木齐市网友的结果共有CC C12113种情况，所以至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率为 P(3)列联表如下：强烈关注非强烈关注合计丹东市154560乌鲁木齐市152540合计3070100K2的观测值k179因为179设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，又AOB为锐角，所以0，即x1x2y1y
16、20，有x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k40，解得k24，所以k24，即k21解：(1)由题意知f(x)exa0对xR恒成立，且ex0，故a的取值范围为(，0(2)证明：由a0，及f(x)exa，可得函数f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增，故函数f(x)的最小值为g(a)f(lna)elnaalna1aalna1，则g(a)lna，故当a(0，1)时，g(a)0，当a(1，)时，g(a)0，从而可知g(a)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，且g(1)0，故g(a)0(3)证明：由(2)可知，当a1时，总有f(x)exx10，当且仅当x0时等号成立即当x10且x0时，总有exx1于是，可得(x1)n1(ex)n1e(n1)x令x1，即x，可得；令x1，即x，可得；令x1，即x，可得；令x1，即x，可得累加可得故对任意的正整数n，都有22解：(1)把圆C的参数方程(为参数)化为直角坐标方程为x2y225由条件可得直线l的参数方程为即(t为参数)(2)把直线l的参数方程代入圆C的方程化简可得t2(32)t120，所以t1t212，故|PA|PB|t1t2|12
