1、课时分层作业(十六)向量数量积的坐标运算(建议用时：40分钟)一、选择题1已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x等于()A1BCD1A由向量a(1，1)，b(2，x)，ab1，得ab(1，1)(2，x)2x1，所以x1.2已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上投影的数量是()A3B C3DA依题意得，(2，1)，(5,5)，(2，1)(5,5)15，|，因此向量在方向上投影的数量是3，故选A3已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c等于()AB(，)CDD设c(x，y)，则ca(x1，y2)，又(ca)b，所以
2、 2(y2)3(x1)0. 又c(ab)，所以(x，y)(3，1)3xy0. 联立解得x，y.所以c.4设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|等于()ABC2D10B因为a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，由ac得ac0，即2x40，所以 x2.由bc，得1(4)2y0，所以 y2.所以a(2,1)，b(1，2)所以ab(3，1)，所以|ab|.5(多选题)已知向量a(3,4)，b(4，3)，则下列说法正确的是()Aa与b的夹角是直角B|ab|为2Cab与ab的夹角是直角Da在b上投影的数量等于b在a上投影的数量CD由向量a(3,4)，b(4，
3、3)，得ab240，所以a与b的夹角是钝角ab(1,1)，所以|ab|.(ab)(ab)a2b20，所以ab与ab的夹角是直角a在b上投影的数量为|a|cosa，b，b在a上投影的数量为|b|cosa，b.二、填空题6已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_因为向量a(1，)，b(，1)，所以a与b夹角满足cos ，又因为0，所以.7(一题两空)已知向量a(1,0)，b(x,1)，若ab2，则x_；|ab|_.2因为ab2，所以x2.因为ab(3,1)，所以|ab|.8已知a(3,2)，b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则实数的值为_因为a(3,2)，b(1,0)，所以ab(3
4、1,2)，a2b(1,2)又因为ab与a2b垂直，所以(ab)(a2b)(31,2)(1,2)3140，解得.三、解答题9设a(1,2)，b(2，3)，又c2ab，damb，若c与d的夹角为45，求实数m的值解因为a(1,2)，b(2，3)，所以c2ab2(1,2)(2，3)(0,1)，damb(1,2)m(2，3)(12m,23m)，所以cd0(12m)1(23m)23m.又|c|1，|d|，c与d的夹角为45，所以23m1cos 45，即(23m)，等价于解得m.10已知平面上三点A，B，C，满足(2,4)，B(2k,3)(1)如果A，B，C三点不能构成三角形，求实数k满足的条件；(2)如
5、果A，B，C三点构成直角三角形，求实数k的值解(1)因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即B，得4(2k)6，解得k.(2)因为(2k,3)，所以(k2，3)，所以 C( k,1) 由于A，B，C三点构成直角三角形，所以当A是直角时，所以 0，得2k40，解得 k2；当B是直角时，所以 0，得 k22k30，解得 k3或 k1；当C是直角时，所以 0,162k0，解得 k8.综上所述，实数k的值为2，1,3,8.11(多选题)设m，n是两个非零向量，且m(x1，y1)，n(x2，y2)，则以下等式中与mn等价的为()mn0；x1x2y1y2；|mn|mn|；|mn|.AB
6、CDACD由公式知正确，错误；对两边平方，化简，得mn0，因此也是正确的，故选ACD12角顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在的终边上，点Q(3，4)，且tan 2，则与夹角的余弦值为()ABC或D或C因为tan 2，所以可设P(x，2x)，cos，当x0时，cos，当x0时，cos，.故选C13(一题两空)已知向量m(2,1)，n(1,2)，若(mn)(mn)，则向量m，n的夹角的余弦值为_，mn在n方向上的投影的数量为_由题意知向量mn(23,3)，mn(1，1)，因为(mn)(mn)，所以0.所以m(2,1)，n(1,2)，cosmn，mn(3,3)mn在n方向上的投影的数
7、量为|mn|cosmn，n.14如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4，1，则BC的值是_法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设B(a,0)，C(a,0)，A(b，c)，则E，F，(ba，c)，(ba，c)，C，由b2a2c24，a21，解得b2c2，a2，则(b2c2)a2.法二：设a，b，则(a3b)(a3b)9|b|2|a|24，(ab)(ab)|b|2|a|21，解得|a|2，|b|2，则(a2b)(a2b)4|b|2|a|2.15已知向量a(1,2)，b(3,4)，cab，R.(1)求为何值时， |c|最小？此时b与c的位置关系如何？(2)求为何值时， a与c的夹角最小？ 此时a与c的位置关系如何？ 解(1)由a(1,2)，b(3,4)，得cab(13，24)，|c|2c2(13)2(24)2510252254，当时，|c|最小，此时c，bc0，所以bc.(2)设向量a与c的夹角为，则cos ，要使向量a与c的夹角最小，则cos 最大，由于0, ，所以cos 的最大值为1，此时0，1，解得0，c(1,2)所以当0时，a与c的夹角最小，此时ac.
