1、2015年高考数学走出题海之黄金30题系列 专题04考前必做难题30题 第一期1设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为 【答案】【解析】 试题分析：令得：，令得：，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为.2中，角所对的边分别为，下列命题正确的是_（写出正确命题的编号）.若最小内角为，则；若，则；存在某钝角，有；若，则的最小角小于；若，则.【答案】【解析】对，因为最小内角为，所以，故正确；对，构造函数，求导得，当时，即，则，所以，即在上单减，由得，即，所以，故不正确；对，因为，则在钝角中，不妨设为钝角，有，故,不正确；对，由，即，而不共线，则，解得，则
2、是最小的边，故是最小的角，根据余弦定理，知，故正确；对，由得，所以，由知，即，又根据正弦定理知，即，所以，即.故正确.3设全集，用的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000若，则表示的6位字符串为 ； 若, 集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数是 【答案】100110；4【解析】试题分析：由题意表示的6位字符串为011001，故表示的6位字符串为100110；若, 集合表示的字符串为101001，则集合B中必含有4，且至多含有1,3，故满足的集合B有，4已知函数的定
3、义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示.下列关于的命题：0451221函数的极大值点为，；函数在上是减函数；如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；当时，函数有个零点。其中正确命题的个数有 个.【答案】2.【解析】试题分析： 由函数的导函数的图像知，函数的极大值点为，所以正确；因为在上的导函数为负，所以函数在上是减函数，所以正确；由表中数据可得当或时，函数取最大值2，若时，函数的最大值是2，那么，故的最大值为5，即错误；由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，故不正确.综上所述，正确命题的个数为2.5设定义域为的函数若关于的函数有个不同的零点,则实数的取值范围是_【答案】
4、【解析】试题分析：由可知,设,当且仅当时对应的x值有4个,因此问题可转化为在上有两个不同实根,结合二次函数图像可得 .6关于方程，给出下列四个命题：该方程没有小于的实数解；该方程有无数个实数解；该方程在内有且只有一个实数根；若是方程的实数根，则，其中所有正确命题的序号是 .【答案】【解析】试题分析：若为方程的一个解，则满足当为第三、四象限教师，存在，因此该方程存在小于0的实数解，不正确，当时，而，因此与在上有无数多个交点，因此方程有无数个实数解，正确；当时，如时，函数与的 图象不可能相交，如时，存在唯一一个满足，正确；通过上面的分析函数与的图象在不可能有交点，因此只要是该方程的解，只需，正确；
5、本题填.7已知函数，若对任意的，均有，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题意，当时，由于而，因此当时，不存在最小值，故满足题意的只能是，此时，是减函数，当时，当时，所以，.8设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立 如果实数满足不等式,那么 的取值范围是 【答案】9如图，四边形是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于 .【答案】【解析】试题分析：以O为原点，OAD为x轴建立直角坐标系，则点满足，由得：，所以直线过点B时取最大值10在ABC中，E为AC上一点，且，P为BE上一点，且满足，则取最小值时，向量的模为 【答案】【解析】试
6、题分析:解：,因为三点共线，设,则，其中所以,，则=当时，当时，, 在区间上是减函数当时，在区间上是减函数所以当时，取得最小值，从而取得最小值，此时，所以，故答案应填.11已知，设为数列的最大项，则 【答案】8【解析】试题分析：因为 ，所以当时，；当时，所以为数列的最大项，.12给定项数为的数列，其中若存在一个正整数，若数列中存在连续的k项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等,则称数列是“阶可重复数列” 例如数列：因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列” 假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，数列的最后一项= 【
7、答案】1【解析】试题分析：由题意数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，所以与按次序对应相等，从而.13如图所示的一块长方体木料中，已知，设为底面的中心，且，则该长方体中经过点的截面面积的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：如图所示，经过点的截面为平行四边形设,则，为了求出平行四边形的高，先求的高，由等面积法可得，又由三垂线定理可得平行四边形的高，因此平行四边形的面积，当且仅当时14如图所示为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个结论：点M到AB的距离为；三棱锥CDNE的体积是；AB与EF所成的角是.其中正确结论的序号
8、是_【答案】【解析】依题意可作出正方体的直观图，显然M到AB的距离为MC，正确，而VCDNE111，正确，AB与EF所成的角为AB与MC所成的角，即为，正确15已知椭圆的中心、右焦点、右顶点依次为直线与轴交于点，则取得最大值时的值为 .【答案】2【解析】试题分析：由题意得：，当且仅当时取最大值，又，所以16抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，若，则点的横坐标为 【答案】4【解析】试题分析：设，直线方程，联立，得，由抛物线的性质得，因此，解得或，由图可知，因此方程，的中点，线段的垂直平分线，令，得，故答案为4.17已知函数f（x）的定义域为1，5，部分对应值如表
9、，f（x）的导函数y的图象如图所示，x1045f（x）1221下列关于f（x）的命题：函数f（x）是周期函数；函数f（x）在0，2上是减函数；如果当x1，t时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值是4；当1a2时，函数yf（x）a有4个零点；函数yf（x）a的零点个数可能为0，1，2，3，4其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）【答案】.【解析】试题分析：由导函数y的图象分析知函数图像如图所示在-1，0，2，4上为单调递增，0，2，4，5上为单调递减，函数不是周期函数，故不对；0，2上为单调递减，故对；当x1，t时，f（x）的最大值是2，而t的最大值是5，故不对；当1a2时，函数yf
10、（x）a不一定有4个零点，如图所示可能为2个零点，故不对；函数yf（x）a的零点个数为函数与直线的交点个数，如图分析可知交点个数可能为0，1，2，3，4，故对.18我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x求导数，得于是，运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是 . 【答案】【解析】：试题分析：仿照题目给定的方法，所以，所以，所以，即：函数在处的切线的斜率为1，故切线方程为：，即，故答案为： 19若满足约束条件，若目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为_.【答案】【解析】作出可行域如图所示，将化成，当时，仅在点（1
11、，0）处取得最小值，即目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，解得.20设0，不等式组所表示的平面区域是W.给出下列三个结论：当1时，W的面积为3；0，使W是直角三角形区域；设点P(x，y)，对于PW有x4.其中，所有正确结论的序号是_【答案】【解析】当1时，不等式组变成其表示由三个点(0,0)，(2,2)，(2，1)围成的三角形区域，易得W的面积为3，正确；直线xy0的斜率为，直线x2y0的斜率为，()1，且直线x2垂直于x轴，W不可能成为直角三角形区域，错误；显然，不等式组表示的区域是由三个点(0,0)，(2,2)，(2，)所围成的三角形区域，令zx，则其在三个点处的值依次为：0,4,2，z
12、x的最大值zmax4，正确21已知椭圆：过点，离心率为.（）求椭圆的标准方程；（）设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同两点，记的内切圆的面积为，求当取最大值时直线的方程，并求出最大值【答案】（）椭圆的标准方程为；（）.【解析】（）由题意得 解得椭圆的标准方程为.（）设，的内切圆半径为，则 所以要使取最大值，只需最大 设直线的方程为 将代入可得(*)恒成立，方程(*)恒有解， 记 在上递减，所以当即时，此时.22已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足（1）求点P的轨迹方程；（2）过点F作直线与点P的轨迹交于A，B两点，点C（2，0）连接AC，BC
13、与直线分别交于点M，N试证明：以MN为直径的圆恒过点F【答案】（1），（2）证明见解析，【解析】（1）如图取连接， ，由双曲线定义知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支 ， ，的轨迹方程为： .（2）设，直线方程为，联立 整理得：， , 三点共线， ，同理 , 即为直径的圆恒过点 .23已知数列中,的前项和为,且满足（）（1）试求数列的通项公式；（2）令,是数列的前项和,证明：；（3）证明：对任意给定的,均存在,使得当时,（2）中的恒成立【答案】（1） ；（2）见试题解析；（3）见试题解析.【解析】（1）由（）,得（）,所以（）, 即（）又,所以 （2）,所以,所以,（3）由（2）,因为,所以
14、随着的增大而增大 若,则,化简得, 因为,所以,所以, 当,即时,取即可当,即时,记的整数部分为,取即可 综上可知,对任意给定的,均存在,使得当时,（2）中的恒成立 24已知数列满足，（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当，时，【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）令，则， ，数列，即是等比数列； 25已知函数，其中,（e2.718）（1）若函数有极值1，求的值；（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；（3）证明：【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）解：， . ，则对任意的都有，即函数在上单调递减函数在上无极值 .若，由得当时，当时，即函数在单调递减
15、，在单调递增函数在处有极小值.（2）解法1：函数=在区间上为减函数且当时，在上恒成立在上恒成立 ,设，则 ,当时，所以在上恒成立，即函数在上单调递减,当时， .解法2：函数=在区间上为减函数对，（）恒成立 ,当时，（）式显然成立 ,当时，（）式在上恒成立设，易知在上单调递增 , 综上得 .（3）证法1：由（2）知，当时， 对任意的有 即 证法2：先证明当时，令,则对任意的恒成立函数在区间上单调递减当时， 对任意的，而 .26已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，在上单调递减，在上单
16、调递增，当时，在上单调递增；（3）或.【解析】（1）当时，切点， ， 曲线在点处的切线方程为：，即. （2），定义域为， 当，即时，令，令， 当，即时，恒成立， 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增当时，在上单调递增 （3）由题意可知，在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值 由第（2）问，当，即时，在上单调递减，； ，即时，在上单调递增， .当，即时， ，此时不存在使成立 综上可得所求的范围是：或 27某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为,其中是与气象有关的参数,且若用每天的最大值为当天的综合污染指数,
17、并记作（1）令,求的取值范围；（2）求的表达式,并规定当时为综合污染指数不超标,求当在什么范围内时,该市市中心的综合污染指数不超标【答案】（1）；（2）,.【解析】（1）当时,；当时,因为,所以, 即的取值范围是 （2）当时,由（1）,令,则,所以 于是,在时是关于的减函数,在时是增函数,因为,由,所以,当时,； 当时,即 由,解得所以,当时,综合污染指数不超标28提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆
18、/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数（1）当时，求函数的表达式（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【答案】（1） ；（2） 当辆|小时，函数有最大值3333【解析】（1）当时，设，把x200时，v0和x20时，v60代入可得：，解得；当0x20时，车流速度为60千米/小时综上可得：（2），当时，x20时辆/小时，f（x）取得最大值，最大值为1200；当时，辆|小时，；综上可得：当辆|小时，有最大值333329若函数是定义域内的某个区间上的增函数，且在上是减函
19、数，则称是I上的“非完美增函数”，已知，（1）判断在上是否是“非完美增函数”；（2）若是上的“非完美增函数”，求实数的取值范围【答案】（1）不是；（2）【解析】试题分析：（1）由于，在上是增函数，且，当时，在上是增函数，在上不是“非完美增函数”；（2），是上的“非完美增函数”，在上恒成立，即，又在上是减函数，在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，当时，不等式显然成立，当时，令，在上单调递减，只需，即，综上所述，30已知数列满足：（）当时，求数列的通项公式;（）在（）的条件下，若数列满足为数列的前项和，求证：对任意.【答案】（1）.（2）见解析. 【解析】（1）当时， 所以是以1为首项、1为公差的等差数列，从而. （2）所以当时， 当时，因为 令两式相减得综上所述，对任意
