1、1 第一章直线与圆 1 直线与直线的方程1.3 直线的方程第 2 课时 直线方程的两点式、截距式 课后篇巩固提升合格考达标练1.经过 A(3,2),B(4,3)两点的直线方程是()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y-1=0答案 D解析由直线的两点式方程得-,即 x-y-1=0.2.经过点 A(2,5),B(-3,6)的直线在 x 轴上的截距为()A.2B.-3C.-27D.27答案 D解析由两点式得直线方程为 -,即 y=-,令 y=0,得 x=27,故选 D.3.(2020 安徽无为中学高二月考)直线 l 过点(-1,-1)和(2,5),点(1 010,y)在直
2、线 l 上,则 y 的值为()A.2 019B.2 020C.2 021D.2 022答案 C解析直线 l 的两点式方程为-,化简得 y=2x+1,将 x=1 010 代入 y=2x+1,得 y=2 021.4.(多选题)(2020 山东宁阳一中高二期中)过点 A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()A.y=-x+5B.y=x+5C.y=D.y=-答案 AC解析当直线过坐标原点时,直线方程为 y=;当直线不过坐标原点时,设直线方程为 =1,代入点 A(4,1),可得 a=5,即 y=-x+5.故选 AC.5.过点(1,3)且在 x 轴上的截距为 2 的直线方程是 .答案 y=-3x+
3、6解析由题意知直线过点(2,0),又直线过点(1,3),由两点式可得-,2 整理得 y=-3x+6.6.过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为 2 的直线方程是 .答案 =1 或 =1解析设直线的方程为 =1,点(5,0)在直线上,a=5.由|5-b|=2 得 b=7 或 b=3,所求直线的方程为 =1 或 =1.7.若直线 y=x+2m 与两坐标轴围成的三角形面积不小于 8,则实数 m 的取值范围为 .答案m|m2 或 m-2解析由 y=x+2m,得-=1,由直线 y=x+2m 与两坐标轴围成的三角形面积不小于 8,则|2m|-2m|8,解得 m2 或 m-2,故实数 m 的取值范围为m
4、|m2 或 m-2.8.已知直线 l 经过点 A(-2,1),B(3,-3),求直线 l 的方程,并求直线 l 在 y 轴上的截距.解因为 A,B 两点的横坐标不相等,而且纵坐标也不相等,所以直线的两点式方程为-,整理得 y=-x-.因此直线 l 在 y 轴上的截距为-.9.已知直线 l 过点 P(4,1),(1)若直线 l 过点 Q(-1,6),求直线 l 的方程;(2)若直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍,求直线 l 的方程.解(1)直线 l 过点 P(4,1),Q(-1,6),直线 l 的方程为-,即 y=-x+5.(2)由题意知,直线 l 的斜率存在且不为 0,
5、所以设直线 l 的斜率为 k,则其方程为 y-1=k(x-4).令 x=0,得 y=1-4k;令 y=0,得 x=4-.1-4k=2 4-,解得 k=或 k=-2.直线 l 的方程为 y-1=(x-4)或 y-1=-2(x-4),即 y=或 y=-2x+9.等级考提升练10.过点 A(3,-1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有()A.2 条B.3 条C.4 条D.无数条答案 B解析当截距都为零时满足题意要求,直线为 y=-x,当截距不为零时,设直线方程为 =1,-或 -即直线方程为 =1 或 -=1,满足条件的直线共有 3 条.故选 B.3 11.两条直线 l1:=1 和 l2:=1 在
6、同一直角坐标系中的图象可以是()答案 A解析直线 l1,l2的方程化为截距式分别为 -=1,-=1.假定 l1,判断 a,b,确定 l2的位置,知 A 项符合.12.过点 P(1,3),且与 x 轴,y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于 6 的直线方程是()A.3x+y-6=0B.x+3y-10=0C.3x-y=0D.x-3y+8=0答案 A解析设所求的直线方程为 =1(a0,b0),由于过点 P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于 6,因此有 解得 故所求直线的方程为 y=-3x+6,故选 A.13.(2020 北京大兴高二期中)已知两点 A(3,0),B(0,4),动点 P
7、(x,y)在线段 AB 上运动,则 xy()A.无最小值,且无最大值B.无最小值,但有最大值C.有最小值,但无最大值D.有最小值,且有最大值答案 D解析线段 AB 的方程为 =1(0 x3),于是 y=4 1-(0 x3),从而 xy=4x 1-=-x-2+3,显然当 x=时,xy 取最大值为 3;当 x=0 或 x=3 时,xy 取最小值为 0.14.(多选题)经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是()A.x+y-3=0B.x+y+3=0C.x-y-1=0D.x-y+1=0答案 AC解析由题意设直线方程为 =1 或 -=1,把点(2,1)代入直线方程得 =1 或 -
8、=1,解得 a=3 或 a=1,所求直线的方程为 =1 或 -=1,即 x+y=3 或 x-y=1.4 15.过点 P(1,3)的直线 l 分别与两坐标轴交于 A,B 两点,若 P 为 AB 的中点,则直线 l 的截距式方程是 .答案 =1解析设 A(m,0),B(0,n),由 P(1,3)是 AB 的中点可得 m=2,n=6,即 A,B 的坐标分别为(2,0),(0,6),则 l 的截距式方程是 =1.16.过点 P(1,2)且在两坐标轴上截距之和为 0(不过原点)的直线方程为 ,此直线与两坐标轴围成的三角形面积为 .答案 y=x+1 解析当直线不过原点时,可知直线在两坐标轴上的截距互为相反
9、数,且不为 0.可设直线方程为 -=1,因为直线过 P(1,2),所以 -=1,即 a=-1,直线方程为 y=x+1.当直线方程为 y=x+1 时,与 x 轴的交点坐标为(-1,0),与 y 轴的交点坐标为(0,1),所以三角形面积为 11=.17.过点 M(2,1)作直线 l,分别交 x 轴,y 轴的正半轴于点 A,B.(1)当 M 为 AB 中点时,求直线 l 的方程;(2)设 O 是坐标原点,当AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程.解(1)设 A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直线 l 的方程为 =1,M(2,1)为 AB 中点,=2,=1,a=4,b=2,则直线 l 的方
10、程为 =1.(2)设 A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直线 l 的方程为 =1,又点 M(2,1)在直线 l 上,=1.1=2 ,ab8,当且仅当 ,即 a=4,b=2 时,等号成立,S=ab4,直线 l 的方程为 =1.新情境创新练18.直线过点 P ,2 且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:(1)AOB 的周长为 12;(2)AOB 的面积为 6?5 若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.解设直线方程为 =1(a0,b0),若满足条件(1),则 a+b+=12.又直线过点 P ,2,=1.由可得 5a2-32a+48=0,解得 或 所求直线的方程为 =1 或 =1,即 3x+4y-12=0 或 15x+8y-36=0.若满足条件(2),则 ab=12,由题意得 =1,由整理得 a2-6a+8=0,解得 或 所求直线的方程为 =1 或 =1,即 3x+4y-12=0 或 3x+y-6=0.综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为 3x+4y-12=0.
