1、巩固层知识整合提升层题型探究随机事件的关系与性质【例1】(1)下列命题：将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；若事件A与B互为对立事件，则事件AB为必然事件，其中，真命题是()ABCD(2)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：P(A)，P(B)，P(C)；1张奖券的中奖概率；1张奖
2、券不中特等奖且不中一等奖的概率(1)B对，一枚硬币抛两次，共出现正，正，正，反，反，正，反，反四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故错；对，对立事件首先是互斥事件，故正确；对，互斥事件不一定是对立事件，如中两个事件，故错；对，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故正确故选B(2)解P(A)，P(B)，P(C).故事件A，B，C的概率分别为，.1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC A，B，C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).故1张奖券的中奖概率为.设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，
3、则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P(AB)1.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)1P求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法.1袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解法一：从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，
4、C，D，则有P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1，解得P(B)，P(C)，P(D)，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，.法二：设红球有n个，则，所以n4，即红球有4个又得到黑球或黄球的概率是，所以黑球和黄球共5个又总球数是12，所以绿球有12453(个)又得到黄球或绿球的概率也是，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有532(个)所以黑球有124323(个)因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，.古典概型【例2】袋中有形状、大小都相同的4个小球， (1)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次
5、随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)若4个小球颜色相同，标号分别为1,2,3,4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；(3)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率解(1)设取出的2只球颜色不同为事件A试验的样本空间 (白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)，共6个样本点，事件A包含5个样本点，故P(A).(2)试验的样本空间 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B，则B包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3
6、)，(3,4)，共4个，所以P(B).(3)试验的样本空间 (白，白)，(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，红)，(红，白)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄1)，(黄1，白)，(黄1，红)，(黄1，黄2)，(黄2，黄2)，(黄2，白)，(黄2，红)，(黄2，黄1)，共16个样本点，其中颜色相同的有6个，故所求概率为P.求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这就需要正确求出试验的样本空间，样本空间的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.2设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3)(1
7、)求使得事件“ab”发生的概率；(2)求使得事件“|a|b|”发生的概率解(1)由题意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的取法共36种ab，即m3n0，即m3n，共有2种：(3,1)，(6,2)，所以事件ab的概率为.(2)|a|b|，即m2n210，共有6种：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，其概率为.相互独立事件的概率【例3】在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1到5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至
8、5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X2”的事件概率解(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，观众甲选出3名歌手的样本空间(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，事件A包含2个样本点，则P(A)，设B表示事件“观众乙选中3号歌手”， 观众乙选出3名歌手的样本空间(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，事件B包含6个样
9、本点，则P(B).事件A与B相互独立，A与相互独立，则A表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”P(A)P(A)P()P(A)1P(B).即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)P(B)，依题意，A，B，C相互独立，相互独立，且AB，AC，BC，ABC彼此互斥又P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)，P(X3)P(ABC)，P(X2)P(X2)P(X3).相互独立事件中求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的
10、积事件(3)代入概率的积、和公式求解3投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数为奇数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()ABCDDP(A)，P(B)，P()，P().A，B中至少有一件发生的概率为1P()P()1，故选D概率统计的综合应用【例4】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：40,50)，50,60)，80,90)，90,100(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)
11、从评分在40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在40,50)的概率解(1)因为(0.004a0.0180.02220.028)101，所以a0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在50,60)的有：500.006103(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在40,50)的有：500.004102(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，试验的样本空间(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1
12、，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10个样本点又因为所抽取2人的评分都在40,50)的结果有1种，即(B1，B2)，故所求的概率为.破解概率与统计图表综合问题的三个步骤第一步：会读图，能读懂已知统计图表所隐含的信息，并会进行信息提取第二步：会转化，对文字语言较多的题目，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化第三步：会运算，对统计图表所反馈的信息进行提取后，结合古典概型的概率公式进行运算4海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示工作
13、人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是501,1503,1002.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取2件商品，试验的样本空间(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2
14、)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共15个样本点每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4个所以P(D)，即这2件商品来自相同地区的概率为.培优层素养升华【典例】随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1 100名使用理财产品的市民，按照使用理财产
15、品的情况统计得到如下频数分布表：分组频数(单位：名)A类xB类yC类40其他理财产品60合计1 100已知这1 100名市民中，使用A类理财产品的人比使用B类理财产品的人多200名(1)求频数分布表中x，y的值；(2)已知2019年A类理财产品的平均年化收益率为2.8%，B类理财产品的平均年化收益率为4.2%，C类理财产品的平均年化收益率为4.82%，有3名市民，每个人理财的资金都有10 000元，且分别存入A，B，C三类理财产品，求这3名市民2019年理财的平均年化收益率；(3)若在使用A类理财产品和使用B类理财产品的市民中按分层随机抽样的方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，求这2人
16、都使用B类理财产品的概率注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利率，理财产品“平均年化收益率为3%”，即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息解(1)根据题意，得解得(2)将10 000元存入A类理财产品的利息为10 0002.8%280(元)；将10 000元存入B类理财产品的利息为10 0004.2%420(元)；将10 000元存入C类理财产品的利息为10 0004.82%482(元)所以这3名市民2019年理财的平均年化收益率100%3.94%.(3)由60040032，得共抽取的这5人中使用A类理财产品的有3人，使用B类理财产品的有2人设这5人中，使用A类理财产品的分别为A
17、1，A2，A3，使用B类理财产品的分别为B1，B2，则从5人中随机选取2人的样本空间(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，共有10个样本点，其中2人都使用B类理财产品的样本点为(B1，B2)，只有1个样本点，所以这2人都使用B类理财产品的概率P.本题主要考查频数分布表与古典概型的概率相交汇，意在考查数据分析、数学运算的核心素养.破解关键：一是方程(组)思想，能利用频数分布表与已知条件，寻找参数满足的方程(组)，解方程(组)，即可求出参数的值；二是会利用分层随机抽样的抽样比，
18、求指定层的样本数；三是会利用古典概型的概率公式求概率.素养提升练某工厂A，B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知A，B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p1(0.5p1)(1)从A，B生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0；(2)若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后，每件分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图用样本的频率分布估计总体分布，求该工厂生产一件产品的利润为8元的概率解(1)设“从A，B生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格”为事件C，“从A生产线上抽到合格品”为事件M，“从B生产线上抽到合格品”为事件N，则M，N互为独立事件由已知有P(M)p，P(N)2p1(0.5p1)，则P(C)1P()1P()1P()P()1(1p)(22p)0.995，解得p0.95，则p的最小值p00.95.(2)设事件E为“该工厂生产一件产品的利润为8元”，用样本估计总体，则有P(E).
