1、3条件概率与独立事件知识点一条件概率 填一填(1)求已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时，A发生的条件概率，记为P(A|B)，P(A|B) (其中，AB也可写成AB)(2)A发生时B发生的条件概率为P(B|A)答一答1如何判断条件概率？提示：题目中出现“已知在前提下(或条件下)”等字眼时，一般为求条件概率题目中没有出现上述明显字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也为条件概率如：从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，其中一张放到验钞机上发现是假钞求2张都是假钞的概率题目中没有明显的条件提示，但“其中一张放到验钞机上发现是假钞”，此事件的出现影响了所求事件的概率，故此
2、题为求条件概率2任意向区间(0,1)上投掷一个点，用x表示该点的坐标，设事件Ax|0x，Bx|x1，你能求出P(B|A)吗？提示：P(B|A)0.5.知识点二独立事件 填一填一般地，对两个事件A，B，如果P(AB)P(A)P(B)，则称A，B相互独立可以证明，如果A，B相互独立，则A与，与B，与也相互独立答一答3若事件A与B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)，与P(AB)P(A|B)P(B)矛盾吗？提示：不矛盾，若事件A与B相互独立，则P(A|B)P(A)4求相互独立事件的概率应注意的问题是什么？提示：求相互独立事件的概率，首先要分析题意，判断所给事件是否相互独立，然后选用公式求解在具体解
3、题时，常常与互斥事件、古典概型等联系在一起，要注意正确地选择解题方法1如何理解条件概率？(1)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的；(2)应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率，则是当试验结果的部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率；(3)若B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2怎样求解条件概率？求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示
4、事件A包含的基本事件个数二是直接根据定义计算，P(B|A)特别要注意P(AB)的求法3如何理解事件的相互独立性？(1)对于事件A，B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则称这两个事件相互独立例如：甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋中摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B，显然A与B相互独立；(2)一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都是相互独立的；(3)如果事件A1，A2，A3，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，
5、即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)4如何判断事件是否相互独立？(1)定义法：事件A、B相互独立P(AB)P(A)P(B)；(2)利用性质：若A与B互相独立，则A与，与B，与也都相互独立；(3)有时通过计算P(B|A)P(B)可以判断事件A，与B相互独立. 5相互独立事件与互斥事件的区别与联系(1)事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生对另一个事件是否发生没有影响(2)事件的独立性是对两个任意事件而言，而事件的互斥是对一个试验中的两个事件而言(3)相互独立事件不是对立事件，一般情况下必定不是互斥事件
6、；相互对立事件是互斥事件，不能是相互独立事件；互斥事件有可能是对立事件，一定不是相互独立事件(4)在实际应用中，事件的独立性常常不是根据定义判断，而是根据实际问题(意义)来加以判断，如在一部仪器上工作的两个元器件，它们各自的工作状况是互相独立的；两个人同时射击一个目标，各自命中状况也是互相独立的题型一条件概率问题 例1甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名设甲班有30名同学，其中女同学15名，则在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率为()A.B.C. D.解析设“碰到甲班同学”为事件A，“碰到甲班女同学”为事件B，则P(A)，P(AB)，所以P(B|A)，故选A.答案A规律方法 本题为
7、直接条件概率公式求解，要注意分清谁是条件例2在10个球中有6个红球和4个白球(除颜色外完全相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸到红球的条件下，求第二次也摸到红球的概率思路探究思路一 思路二 解记A表示“第二次摸到红球”，B表示“第一次摸到红球”，则A|B表示“第一次摸到红球，第二次也摸到红球”方法一：直接利用A|B的含义求解由题意，事件B发生后，袋中还有9个球，其中5个红球，4个白球，则A发生的概率为，即P(A|B).方法二：用公式求解P(B)，而AB表示两次都摸到红球，则P(AB).所以P(A|B).规律方法 计算P(A|B)的两种方法(1)利用条件概率的计算公式计算分别计算P(AB)
8、，P(B)，将它们相除即得(2)利用缩小基本事件范围的观点计算即将原来的基本事件空间缩小为B，原来的事件A缩小为AB，每个基本事件发生的概率相等，从而利用古典概型的概率公式可得P(A|B)，其中n(B)，n(AB)分别表示事件B，事件AB所包含的基本事件个数甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为事件B，由题意，得P(A)0.20，P(B)0.18，P(AB)0.1
9、2.(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P(A|B)0.67.(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是P(B|A)0.60.题型二相互独立性的判断 例3判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”思
10、路探究解答本题可先看两个事件中其中一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两事件是否相互独立解(1)“从甲组选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为， 可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件(3)由于把取出的苹果又放回筐内，故对“从中任意取出1个，取出的是梨”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件规律方
11、法 相互独立事件的特点是：(1)对两个事件而言；(2)其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4个基本事件，由等可能性知概率各为.这时A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是P(A)，P(B)，P(AB)，由此可知P(AB)P(A)P(
12、B)，所以事件A、B不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件于是P(A)，P(B)，P(AB)，显然有P(AB)P(A)P(B)成立从而事件A与B是相互独立的题型三相互独立事件的概率 例4某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲，乙，丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，若对这三名短跑运动员的
13、100 m跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大？思路探究若用A，B，C表示甲，乙，丙三人100米跑的成绩合格，则事件A，B，C相互独立解记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)，P(B)，P(C).设恰有k人合格的概率为Pk(k0,1,2,3)(1)三人都合格的概率：P3P(ABC)P(A)P(B)P(C).(2)三人都不合格的概率：P0P( )P()P()P().(3)恰有两人合格的概率：P2P(AB)P(AC)P(BC).恰有一人合格的概率：P11P0P2P31.结合
14、(1)(2)可知P1最大所以出现恰有1人合格的概率最大规律方法 (1)公式P(AB)P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序：首先确定各事件之间是相互独立的；确定这些事件可以同时发生；求出每个事件发生的概率，再求其积甲、乙、丙3位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲答题及格的概率为，乙答题及格的概率为，丙答题及格的概率为，3人各答题1次，则3人中只有1人答题及格的概率为(C)A. B.C. D以
15、上全不对解析：设“甲答题及格”为事件A，“乙答题及格”为事件B，“丙答题及格”为事件C，显然事件A，B，C相互独立设“3人各答题1次，只有1人及格”为事件D，则D的可能情况为A ，B， C(其中，分别表示甲、乙、丙答题不及格)A ，B， C不能同时发生，故两两互斥所以P(D)P(A )P(B)P( C)P(A)P()P()P()P(B)P()P()P()P(C).题型四概率知识的综合应用 例5某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求
16、从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列解(1)由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理，若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人(2)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A).(3)的可能取值为0,1,2,3.Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i0,1,2，B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人Ai与B独立，i0,1,2.P(0)P(A0)P(A0)P()，P(1)P(A0BA1)P(A0)P(B)P(A1)P()，P(3)P(A2B)P(A2)P(B)，
17、P(2)1P(0)P(1)P(3).故的分布列为0123P如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p；(2)求电流能在M与N之间通过的概率解：记Ai表示事件：电流能通过Ti，i1,2,3,4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M与N之间通过(1)由题知：123，A1，A2，A3相互独立，P()P(123)P(1)P(2)P(3)(1p)3.又P()1P(A)10.99
18、90.001，故(1p)30.001，p0.9.(2)BA44A1A341A2A3，P(B)P(A44A1A341A2A3)P(A4)P(4A1A3)P(41A2A3)P(A4)P(4)P(A1)P(A3)P(4)P(1)P(A2)P(A3)0.90.10.90.90.10.10.90.90.989 1.误区警示系列概念理解不到致误例6设某种灯管使用了500h还能继续使用的概率是0.94，使用到700h还能继续使用的概率是0.87，问已经使用了500h的一个此种灯管还能继续使用到700h的概率是多少？错解一P0.940.870.817 8.错解二设A“使用了500h还能继续使用”，B“使用到7
19、00h还能继续使用”，则P(A)0.94，P(B)0.87，则P(B|A)P(B)0.87.错解分析本题所求事件的概率属于条件概率，错解一当成了相互独立事件错解二中错用公式P(B|A)，注意只有事件A，B相互独立时才有P(AB)P(A)P(B)正解设A“使用了500h还能继续使用”，B“使用到700h还能继续使用”，则P(A)0.94，P(B)0.87，而所求的概率为P(B|A)由于ABB，故P(B|A).有一批种子的发芽率为0.8，发芽后的幼苗成活率为0.7, 在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率解：设A“种子发芽成功”，B“种子能成长为幼苗”根据题意知P(A)0.8，P
20、(B|A)0.7，故由P(B|A)知P(AB)P(A)P(B|A)0.80.70.56.又由于ABB，故P(AB)P(B)0.56，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.56.1把一枚硬币抛掷两次，记事件A第一次出现正面，事件B第二次出现反面，则P(B|A)等于(A)A. B.C. D1解析：由题意可知P(B)P(A)，P(AB)，故P(B|A).2抛掷红，蓝两枚均匀的骰子，记事件A红骰子出现4点，事件B蓝骰子出现的点数是偶数，则P(A|B)为(D)A. B.C. D.解析：先求出P(B)，P(AB)，再利用条件概率公式P(A|B)来计算P(B)，P(AB)，P(A|B).3若事件A与B相互独立，
21、则下面不是相互独立事件的是(A)AA与 BA与C.与B D.与解析：当A，B相互独立时，A与，与B以及与都是相互独立的，而A与是对立事件，不相互独立4在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则在三处都不停车的概率为(A)A. B.C. D.解析：由题意可知，设事件A在道路A处不停车，B在道路B处不停车，C在道路C处不停车，则有P(A)，P(B)，P(C).在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率P(ABC)P(A)P(B)P(C).5若P(A)0.3，P(B)0.4，P(AB)0.1，则P(A|B)1,4，P
22、(B|A)1,3.解析：P(A|B)，P(B|A).6设甲、乙两人独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，现各射击一次，则目标被击中的概率为.解析：“目标被击中”包含“甲中、乙不中”“甲不中、乙中”“甲乙都中”三种情况，其对立事件“甲乙都不中”所求概率为1.7现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第一次抽到舞蹈节目的概率；(2)第一次和第二次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第一次抽到舞蹈节目的条件下，第二次抽到舞蹈节目的概率解：设第一次抽到舞蹈节目为事件A，第二次抽到舞蹈节目为事件B，则第一次和第二次都抽到舞蹈节目的事件AB.(1)P(A).(2)P(AB).(3)方法一：由(1)(2)可得，在第一次抽到舞蹈节目的条件下，第二次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A).方法二：因为n(AB)12，n(A)20，所以P(B|A).
