1、高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！第 1 讲 等差数列、等比数列1(2015新课标高考)已知an是公差为 1 的等差数列，Sn 为an的前 n 项和若 S84S4，则 a10()A.172 B.192 C10 D12【解析】设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.由题设知 d1，S84S4，所以 8a1284(4a16)，解得 a112，所以 a10129192.故选 B.【答案】B2(2015新课标高考)已知等比数列an满足 a114，a3a54(a41)，则 a2()A2B1C.12D.18【解析】
2、设等比数列an的公比为 q，a114，a3a54(a41)，由题可知 q1，则 a1q2a1q 44(a1q31)，116q64(14q31)，q616q3640，(q38)20，q38，q2，a212.故选 C.【答案】C3(2015浙江高考)已知an是等差数列，公差 d 不为零若 a2，a3，a7 成等比数列，且 2a1a21，则 a1_，d_【解析】由 a2，a3，a7 成等比数列，得 a23a2a7，则 2d23a1d，即 d32a1.又 2a1a21，所以 a123，d1.【答案】23 14(2015北京高考)已知等差数列an满足 a1a210，a4a32.(1)求an的通项公式；(
3、2)设等比数列bn满足 b2a3，b3a7.问：b6 与数列an的第几项相等？【解】(1)设等差数列an的公差为 d.因为 a4a32，所以 d2.又因为 a1a210，所以 2a1d10，故 a14.所以 an42(n1)2n2(n1，2，)(2)设等比数列bn的公比为 q.因为 b2a38，b3a716，所以 q2，b14.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！所以 b64261128.由 1282n2，得 n63.所以 b6 与数列an的第 63 项相等从近三年高考，特别是 2015 年高考来看，该部分 2016 年高考命题热点考向为：考什么怎么考题型与难度1.等
4、差(比)数列的基本运算主要考查等差、等比数列的基本量的求解题型：三种题型均可出现难度：基础题2.等差(比)数列的判定与证明主要考查等差、等比数列的定义证明题型：三种题型均可出现难度：基础题或中档题3.等差(比)数列的性质主要考查等差、等比数列的性质题型：选择题或填空题难度：基础题或中档题等差（比）数列的基本运算（自主探究型）1(2015湖南高考)设 Sn 为等比数列an的前 n 项和，若 a11，且 3S1，2S2，S3 成等差数列，则 an_【解析】本题考查等比数列和等差数列等，结合转化思想即可轻松求解等比数列的公比，进而求解等比数列的通项公式 由 3S1，2S2，S3 成等差数列，得 4S
5、23S1S3，即 3S23S1S3S2，则 3a2a3，得公比 q3，所以 ana1qn13n1.【答案】3n12(2015重庆高考)已知等差数列an满足 a32，前 3 项和 S392.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足 b1a1，b4a15，求bn的前 n 项和 Tn.【解】本题主要考查等差数列的通项公式与等比数列的前 n 项和公式，考查考生的运算求解能力(1)将已知条件中的 a3，S3 用首项 a1 与公差 d 表示，求得 a1，d，即可求得数列an的通项公式；(2)结合(1)利用条件 b1a1，b4a15 求得公比，然后利用等比数列的前 n 项和公式进行计算(1)设an的
6、公差为 d，则由已知条件得 a12d2，3a1322 d92，即 a12d2，a1d32，解得 a11，d12，故通项公式为 an1n12，即 ann12.(2)由(1)得 b11，b4a1515128.设bn的公比为 q，则 q3b4b18，从而 q2，故bn的前 n 项和 Tnb1（1qn）1q1（12n）122n1.【规律感悟】等差(比)数列基本运算的关注点高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！(1)基本量：在等差(比)数列中，首项 a1 和公差 d(公比 q)是两个基本的元素(2)解题思路：设基本量 a1 和公差 d(公比 q)；列、解方程(组)：把条件转化为关
7、于 a1 和 d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量等差（比）数列的判定与证明（师生共研型）【典例 1】(2015广东高考)设数列an的前 n 项和为 Sn，nN*.已知 a11，a232，a354，且当 n2 时，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求 a4 的值；(2)证明：an112an 为等比数列；(3)求数列an的通项公式【解】本题主要考查等差数列、等比数列等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识(1)4Sn25Sn8Sn1Sn1，n2 时，4S45S28S3S1，4(a1a2a3a4)5(a1a2)8(a1a2a3)a1，413254a4
8、 5132 813254 1，解得 a478.(2)证明：n2 时，4Sn25Sn8Sn1Sn1，4(Sn2Sn1)2(Sn1Sn)2（Sn1Sn）12（SnSn1），(Sn2Sn1)12(Sn1Sn)12(Sn1Sn)12(SnSn1)，an212an112(an112an)又 a312a212a212a1，an112an是首项为 1，公比为12的等比数列(3)由(2)知an112an是首项为 1，公比为12的等比数列，an112an(12)n1，两边同乘以 2n1 得，an12n1an2n4.又 a222a1214，an2n是首项为 2，公差为 4 的等差数列，an2n24(n1)2(2n
9、1)，an2（2n1）2n2n12n1.一题多变若题已知变为：an2SnSn10(n2)求证：1Sn 是等差数列【解】由 an2SnSn10，(n2)得 SnSn12SnSn10，即 1Sn 1Sn12(n2)故1Sn 是等差数列【规律感悟】判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！(1)定义法：对于 n1 的任意自然数，验证 an1an或an1an为同一常数(2)通项公式法：若 ana1(n1)dam(nm)d 或 anknb(nN*)，则an为等差数列；若 ana1qn1amqnm 或 anpqknb(nN*)，则an为等比数列(
10、3)中项公式法：若 2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列；若 a2nan1an1(nN*，n2)，且 an0，则an为等比数列针对训练(2014全国大纲高考)数列an满足 a11，a22，an22an1an2.(1)设 bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式【解】(1)证明：由 an22an1an2 得 an2an1an1an2，即 bn1bn2.又 b1a2a11，所以bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列(2)由(1)得 bn12(n1)，即 an1an2n1.于是，所以 an1a1n2，即 an1n2a1.又 a11，所以an的通项公式为 ann22
11、n2.等差（比）数列的性质（多维探究型）命题角度一 与等差(比)数列的项有关的性质【典例 2】(1)(2015新课标高考)已知等比数列an满足 a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42 C63 D84(2)(2015铜陵模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S1012，则 a5a6()A.125B12C6D.65【解析】(1)本题主要考查等比数列的基本概念、基本运算与性质，意在考查考生的运算求解能力 由于 a1(1q2q4)21，a13，所以 q4q260，所以 q22(q23 舍去)，a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选 B.(2)本题主要考查等差数
12、列的性质 amanapaq.由 S1012 得a1a1021012，所以 a1a10125，所以 a5a6125.故选 A.【答案】(1)B(2)A命题角度二 与等差(比)数列的和有关的性质【典例 3】(1)(2014全国大纲高考)设等比数列an的前 n 项和为 Sn.若 S23，S415，则 S6()A31B32C63D64(2)(2015衡水中学二调)等差数列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，则该数列前13 项的和是()A13B26C52D156高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！【解析】(1)利用等比数列前 n 项和的性质求解 在等比数列an中，
13、S2，S4S2，S6S4 也成等比数列，故(S4S2)2S2(S6S4)，则(153)23(S615)解得 S663.故选 C.(2)本题主要考查等差数列的前 n 项和与项的有关性质 3(a3a5)2(a7a10a13)24，6a46a1024，a4a104，S1313（a1a13）213（a4a10）2134226.故选 B.【答案】(1)C(2)B【规律感悟】等差(比)数列的性质盘点针对训练1(2015广东高考)在等差数列an中，若 a3a4a5a6a725，则 a2a8_【解析】由 a3a4a5a6a725 得 5a525，所以 a55，故 a2a82a510.【答案】102(文)(20
14、15辽宁大连模拟)在等比数列an中，a4a816，则 a4a5a7a8 的值为_【解析】a4a5a7a8a4a8a5a7(a4a8)2256.【答案】256(理)(2014广东高考)若等比数列an的各项均为正数，且 a10a11a9a122e5，则 ln a1ln a2ln a20_【解析】a10a11a9a122e5，a10a11e5，ln a1ln a2ln a2010ln(a10a11)10ln e550.【答案】50函数与方程思想求解数列中的求值问题思想诠释数列中求值问题用到函数与方程思想的常见题型：1求基本量：求等差或等比数列中的某些量时，常根据题设条件构建方程(组)求解2值域(最值
15、)：求等差或等比数列中的某些量的取值范围或最值时，经常选一变量将高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！待求量表示成其函数或构建函数，从而转化为求函数的值域(最值)问题求解3单调性：研究等差(比)数列单调性时，常利用研究函数单调性的方法求解4比较大小：等差(比)数列中某些量的大小比较，常利用比较函数值大小的方法，如单调性法、作差法等典例剖析【典例】(2015石家庄模拟)已知数列an是各项均为正数的等差数列(1)若 a12，且 a2，a3，a41 成等比数列，求数列an的通项公式 an；(2)在(1)的条件下，数列an的前 n 项和为 Sn，设 bn 1Sn1 1Sn2 1
16、S2n，若对任意的nN*，不等式 bnk 恒成立，求实数 k 的最小值【审题策略】(1)知道 a1 的值，a2，a3，a41 成等比数列，联想到方程思想，列方程求解；(2)题目涉及恒成立、求最值问题，联想到函数思想，构建函数或利用函数性质求解【解】(1)因为 a12，a23a2(a41)，又因为an是正项等差数列，故公差 d0，所以(22d)2(2d)(33d)，得 d2 或 d1(舍去)，所以数列an的通项公式 an2n.(2)因为 Snn(n1)，bn 1Sn1 1Sn2 1S2n 1（n1）（n2）1（n2）（n3）12n（2n1）1n1 1n2 1n2 1n3 12n12n1 1n11
17、2n1n2n23n112n1n3，令 f(x)2x1x(x1)，则 f(x)21x2，当 x1 时，f(x)0 恒成立，所以 f(x)在1，)上是增函数，故当 x1 时，f(x)的最小值为 f(1)3，即当 n1 时，bn 的最大值为16.要使对任意的正整数 n，不等式 bnk 恒成立，则需使 k16，所以实数 k 的最小值为16针对训练(2015山东师大附中模拟)数列an的通项 an 是关于 x 的不等式 x2xnx 的解集中正整数的个数，f(n)1an11an21ann.(1)求数列an的通项公式；(2)若 bnan2n，求数列bn的前 n 项和 Sn；(3)求证：对 n2 且 nN*恒有
18、 712f(n)1.【解】(1)x2xnx 等价于 x(xn1)0，解得 x(0，n1)其中有正整数 n 个，于是 ann.(2)bnn2nn 12n，Snb1b2bn1122 122n 12n，12Sn1 1222 123n 12n1，两式相减得 高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！12Sn12 122 123 12nn 12n11 12nn 12n1，故 Sn2 12n1n 12n.(3)证明：f(n)1an11an21ann 1n1 1n2 1nn1n1n1n1.由 f(n)1an11an21ann 1n1 1n2 1nn，知 f(n1)1n2 1n3 12n1
19、2n112n2，于是 f(n1)f(n)12n112n2 1n112n212n2 1n10，故 f(n1)f(n)，f(n)当 n2 且 nN*时为增函数，f(n)f(2)712.综上可知 712f(n)1.1必记公式(1)等差数列通项公式：ana1(n1)d.(2)等差数列前 n 项和公式：Snn（a1an）2na1n（n1）d2.(3)等比数列通项公式：ana1qn1.(4)等比数列前 n 项和公式：Snna1（q1）a1（1qn）1qa1anq1q（q1）.(5)等差中项公式：2anan1an1(n2)(6)等比中项公式：a2nan1an1(n2)(7)数列an的前 n 项和与通项 an
20、 之间的关系：anS1（n1）SnSn1（n2）.2重要性质(1)通项公式的推广：等差数列中，anam(nm)d；等比数列中，anamqnm.(2)增减性：等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列等比数列中，若 a10 且 q1 或 a10 且 0q1，则数列为递增数列；若 a10 且0q1 或 a10 且 q1，则数列为递减数列3易错提醒(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件(2)漏掉等比中项：正数 a，b 的等比中项是 ab，容易漏掉 ab.限时训练(十)建议用时实际用时错题档案40 分钟一、选择题高考资源网（）您身边的
21、高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！1(2015新课标高考)设Sn是等差数列an的前 n 项和若 a1a3a53，则 S5()A5 B7 C9 D11【解析】数列an为等差数列，a1a3a53a33，a31，S55（a1a5）252a325.【答案】A2(2014福建高考)等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a12，S312，则 a6 等于()A8B10C12D14【解析】由题知 3a1322 d12，a12，解得 d2，又 a6a15d，a612.故选 C.【答案】C3(2014重庆高考)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9 成等比数列Ba2，a3，a6 成
22、等比数列Ca2，a4，a8 成等比数列Da3，a6，a9 成等比数列【解析】由等比数列的性质得，a3a9a260，因此 a3，a6，a9 一定成等比数列故选 D.【答案】D4(2014天津高考)设an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，Sn 为其前 n 项和若S1，S2，S4 成等比数列，则 a1()A2B2C.12D12【解析】由题意知 S22S1S4，(2a1212 d)2a1(4a1432 d)，把 d1 代入整理得 a112.故选 D.【答案】D5(2015辽宁大连模拟)数列an满足 anan1anan1(nN*)，数列bn满足 bn1an，且 b1b2b990，则 b4b6()A最
23、大值为 99B为定值 99C最大值为 100D最大值为 200【解析】将 anaa1anan1 两边同时除以 anan1 可得 1an1 1an1，即 bn1bn1，所以bn是公差为 d1 的等差数列，其前 9 项和为9（b1b9）290，所以 b1b920，将b9b18db18，代入得 b16，所以 b49，b611，所以 b4b699.故选 B.【答案】B二、填空题6(2015陕西高考)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列，其末项为 2 015，则该数列的首项为_【解析】设等差数列的首项为 a1，根据等差数列的性质可得，a12 01521 010，解得 a15.【答案】57(2015
24、安徽高考)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前 n 项和等于_【解析】a1a49，a2a38，a1a49，a1a48，则 a1，a4 可以看作一元二次方程 x29x8高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！0 的两根，故a11a48，或a18，a41.数列an是递增的等比数列，a11，a48.可得公比 q2，前 n 项和 Sn2n1.【答案】2n18(2014江西高考)在等差数列an中，a17，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n8 时 Sn 取得最大值，则 d 的取值范围为_【解析】等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Snna1
25、n（n1）2dd2n2(a1d2)nd2n2(7d2)n，对称轴为d27d，对称轴介于 7.5 与 8.5 之间，即 7.5d27d 8.5，解得1d78.【答案】1，78三、解答题9(文)(2015兰州模拟)在等比数列an中，已知 a12，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)若 a3，a5 分别为等差数列bn的第 3 项和第 5 项，试求数列bn的前 n 项和 Sn.【解】(1)设数列an的公比为 q，an为等比数列，a4a1q38，q2，an22n12n.(2)设数列bn的公差为 d，b3a3238，b5a52532，且bn为等差数列，b5b3242d，d12，b1b32d16，S
26、n16nn（n1）2126n222n.(理)(2014湖北高考)已知等差数列an满足：a12，且 a1，a2，a5 成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)记 Sn 为数列an的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn60n800？若存在，求 n的最小值；若不存在，说明理由【解】(1)设数列an的公差为 d，依题意，2，2d，24d 成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得 d24d0，解得 d0 或 d4.当 d0 时，an2；当 d4 时，an2(n1)44n2，从而得数列an的通项公式为 an2 或 an4n2.(2)当 an2 时，Sn2n.显然 2n60n800，此时不
27、存在正整数 n，使得 Sn60n800 成立 当 an4n2 时，Snn2（4n2）22n2.令 2n260n800，即 n230n4000，解得 n40 或 n10(舍去)，此时存在正整数 n，使得 Sn60n800 成立，n 的最小值为 41.综上，当 an2 时，不存在满足题意的 n；当 an4n2 时，存在满足题意的 n，其最小值为 41.10(2015江苏高考)设 a1，a2，a3，a4 是各项为正数且公差为 d(d0)的等差数列(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4 依次构成等比数列；(2)是否存在 a1，d，使得 a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由【解】
28、(1)证明：因为2an12an 2an1an2d(n1，2，3)是同一个常数，所以 2a1，2a2，2a3，2a4 依次构成等比数列(2)不存在，理由如下：令 a1da，则 a1，a2，a3，a4 分别为 ad，a，ad，a2d(a高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！d，a2d，d0)假设存在 a1，d，使得 a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则 a4(ad)(ad)3，且(ad)6a2(a2d)4.令 tda，则 1(1t)(1t)3，且(1t)6(12t)412t1，t0，化简得 t32t220(*)，且 t2t1.将 t2t1 代入(*)式，t(t1
29、)2(t1)2t23tt13t4t10，则 t14.显然 t14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立因此不存在 a1，d，使得 a1，a22，a33，a44依次构成等比数列第 2 讲 数列求和及其综合应用1(2014北京高考)设an是公比为 q 的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】q1 时，an未必是递增数列，如1，2，4，8，16；an是递增数列时，q 不一定大于 1，如16，8，4，2，1.故选 D.【答案】D2(2015北京高考)设an是等差数列，下列结论中正确的是()A若 a1a20，则 a2
30、a30B若 a1a30，则 a1a20C若 0a1a2，则 a2 a1a3D若 a10，则(a2a1)(a2a3)0【解析】若an是递减的等差数列，则选项 A、B 都不一定正确若an为公差为 0的等差数列，则选项 D 不正确对于 C 选项，由条件可知an为公差不为 0 的正项数列，由等差中项的性质得 a2a1a32，由基本不等式得a1a32 a1a3，所以 C 正确【答案】C3(2015武汉模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a55，S515，则数列1anan1的前 100 项和为()A.100101 B.99101C.99100D.101100【解析】设等差数列an的首项为 a1，
31、公差为 d.a55，S515，a14d5，5a15（51）2d15，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！a11，d1，ana1(n1)dn.1anan11n（n1）1n 1n1，数列1anan1的前 100 项和为 1121213 1100 11011 1101100101.【答案】A4(2015福建高考)等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn2an2n，求 b1b2b3b10 的值【解】(1)设等差数列an的公差为 d.由已知得a1d4，（a13d）（a16d）15，解得a13，d1.所以 ana1(n1)dn2.(2)由(
32、1)可得 bn2nn，所以 b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)2（1210）12（110）102 21153 2 101.从近三年高考，特别是 2015 年高考来看，该部分 2016 年高考命题热点考向为：考什么怎么考题型与难度1.数列的通项公式考查等差、等比数列的基本量的求解；考查 an 与 Sn 的关系，递推关系等题型：三种题型均可出现难度：基础题或中档题2.数列的前 n项和考查等差、等比数列前 n 项和公式；考查用裂项相消法、错位相减法、分解组合法求和.题型：三种题型均可出现，更多为解答题难度：中档题3.数列的综合应用考查数列与
33、函数的综合；考查数列与不等式的综合.题型：解答题难度：中档题数列的通项公式（自主探究型）1(2015新课标高考)设 Sn 是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，则 Sn_【解析】本题主要考查等差数列的概念等，意在考查考生的运算求解能力以及转化与化归能力 当 n1 时，S1a11，所以1S11.因为 an1Sn1SnSnSn1，所以 1Sn 1Sn11，即 1Sn11Sn1，所以1Sn是以1 为首项，1 为公差的等差数列，所以 1Sn(1)(n1)(1)n，所以 Sn1n.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！【答案】1n2(2015铜陵模拟)数列an满
34、足13a1 132a213nan3n1，nN*，则 an_【解析】本题主要考查递推数列，意在考查转化与化归能力 当 n1 时，13a1311，所以 a112，当 n2 时，：13a1 132a2 13n1an113nan3n1，：13a1132a2 13n1an13(n1)1.得：13nan(3n1)3(n1)1，即 13nan3，所以 an3n1，综上可得：an12，n1，3n1，n2.【答案】12，n1，3n1，n23(预测题)若数列an满足 a13，an15an133an7，则 a2 015 的值为_【解析】本题主要考查利用递推数列求数列的某一项，通过研究数列的函数特性来解决 由于 a1
35、3，求 a21，a32，a43，所以数列an是周期为 3 的周期数列，所以 a2 015a67132a21.【答案】1【规律感悟】求通项的常用方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法(2)已知 Sn 与 an 的关系，利用 anS1，n1，SnSn1，n2求 an.(3)累加法：数列递推关系形如 an1anf(n)，其中数列f(n)前 n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)(4)累乘法：数列递推关系如 an1g(n)an，其中数列g(n)前 n 项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)(5)构造法：递推关系形如 an1panq
36、(p，q 为常数)可化为 an1 qp1pan qp1(p1)的形式，利用an qp1 是以 p 为公比的等比数列求解 递推关系形如 an1 pananp(p 为非零常数)可化为 1an1 1an1p的形式数列的前n项和（多维探究型）命题角度一 基本数列求和、分组求和【典例 1】(2015湖北八校联考)等差数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn是等比数列，满足 a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)令 cn 2Sn，n为奇数，bn，n为偶数，设数列cn的前 n 项和为 Tn，求 T2n.【解】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，
37、考查考生的运算求解能力及函数与方程思想、化归与转化思想(1)设 数 列 an 的 公 差 为 d，数 列 bn 的 公 比 为 q，则 由b2S210，a52b2a3，得高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！q6d10，34d2q32d，解得d2，q2，所以 an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由 a13，an2n1 得 Snn（a1an）2n(n2)，则 cn2n（n2），n为奇数，2n1，n为偶数，即 cn1n 1n2，n为奇数，2n1，n为偶数，T2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)113 1315 12n112n1(22322n1)112n12（14
38、n）14 2n2n123(4n1)命题角度二 裂项相消法求和【典例 2】(2015安徽高考)已知数列an是递增的等比数列，且 a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设 Sn 为数列an的前 n 项和，bn an1SnSn1，求数列bn的前 n 项和 Tn.【解】本题主要考查等比数列的通项公式及裂项相消法求和，考查考生的运算求解能力(1)利用等比数列的性质可构造方程组求解 a1，a4，进而可求数列的通项公式；(2)利用裂项相消法求和即可求解(1)由题设知 a1 a4a2 a38，又 a1a49，可解得a11，a48或a18a41(舍去)设等比数列an的公比为 q，由 a4a1
39、q3 得 q2，故 ana1qn12n1.(2)Sna1（1qn）1q2n1，又 bn an1SnSn1Sn1SnSnSn1 1Sn 1Sn1，所以 Tnb1b2bn1S1 1S2 1S2 1S3 1Sn 1Sn1 1S1 1Sn1 112n11.命题角度三 错位相减法求和【典例 3】(2015天津高考)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且 a1b11，b2b32a3，a53b27.(1)求an和bn的通项公式；(2)设 cnanbn，nN*，求数列cn的前 n 项和【解】本题主要考查等差数列、等比数列及其前 n 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力(1)根
40、据已知条件建立关于公差 d、公比 q 的方程组，求解即得；(2)利用错位相减法进行数列求和(1)设数列an的公比为 q，数列bn的公差为 d，由题意 q0.由已知，有（1d）（12q）2q，q43（1d）7，2q23d2，q43d10，消去 d，整理得 q42q280.又因为 q0，解得 q2，所以 d2.所以数列an的通项公式为 an2n1，nN*；数列bn的通项公式为 bn2n1，nN*.(2)由(1)有 cn(2n1)2n1，设cn的前 n 项和为 Sn，则 Sn120321522(2n3)2n2(2n1)2n1，2Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，高考资源网（）您身
41、边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！上述两式相减，得 Sn122232n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)2n3，所以，Sn(2n3)2n3，nN*.【规律感悟】1.分组求和的常见方法(1)根据等差、等比数列分组(2)根据正号、负号分组(3)根据数列的周期性分组2裂项后相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多3错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列an乘以等比数列bn对应项(anbn)型数列求和(2)步骤：求和时先乘以数列bn的公比 把两个和的形式错位相减 整理结果形式针对训练1(2014湖南高考)已知数列an的前 n 项和
42、Snn2n2，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn2an(1)nan，求数列bn的前 2n 项和【解】(1)当 n1 时，a1S11；当 n2 时，anSnSn1n2n2（n1）2（n1）2n.故数列an的通项公式为 ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn.记数列bn的前 2n 项和为 T2n，则 T2n(212222n)(12342n)记 A212222n，B12342n，则 A2（122n）1222n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前 2n 项和 T2nAB22n1n2.2(2015山东高考)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列1anan1 的
43、前 n 项和为n2n1.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn(an1)2an，求数列bn的前 n 项和 Tn.【解】(1)设数列an的公差为 d.令 n1，得 1a1a213，所以 a1a23.令 n2，得 1a1a2 1a2a325，所以 a2a315.解得 a11，d2，所以 an2n1.(2)由(1)知 bn2n22n1n4n，所以 Tn141242n4n，所以 4Tn142243n4n1，两式相减，得3Tn41424nn4n1 高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！4（14n）14n4n1 13n34n143.所以 Tn3n194n1494（3n1）4n1
44、9.数列的综合应用（师生共研型）【典例 4】(2015安徽高考)设 nN*，xn 是曲线 yx2n21 在点(1，2)处的切线与 x轴交点的横坐标(1)求数列xn的通项公式；(2)记 Tnx21x23x22n1，证明：Tn 14n.【解】本题综合考查函数、导数的几何意义、数列以及不等式等知识先通过导数的几何意义求出直线斜率，再求出直线与 x 轴交点的横坐标，得到数列通项，最后证明不等式(1)y(x2n21)(2n2)x2n1，曲线 yx2n21 在点(1，2)处的切线斜率为 2n2，从而切线方程为 y2(2n2)(x1)令 y0，解得切线与 x 轴交点的横坐标 xn1 1n1 nn1.(2)由
45、题设和(1)中的计算结果知 Tnx21x23x22n1 122 3422n12n2.当 n1 时，T114.当 n2 时，因为 x22n12n12n2（2n1）2（2n）2（2n1）21（2n）22n22n n1n.所以 Tn 1221223n1n 14n.综上可得对任意的 nN*，均有 Tn 14n.一题多变若题(2)变为：记 bnlgxn，数列bn的前 n 项和为 Sn，求 Sn.【解】xn nn1，bnlgxnlgnn1lg nlg(n1)，Snb1b2bn(lg 1lg 2)(lg 2lg 3)lg nlg(n1)lg(n1)【规律感悟】1数列与函数交汇问题的常见类型及解法(1)已知函
46、数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解2数列与不等式交汇问题的常用方法(1)作差(商)比较(2)根据数列的函数特征，判断并利用其单调性(3)利用基本不等式求最值针对训练(2015陕西汉中质检)正项数列an的前 n 项和 Sn 满足：S2n(n2n1)Sn(n2n)0.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！(1)求数列an的通项公式 an；(2)令 bnn1（n2）2a2n，数列b
47、n的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的 nN*，都有 Tn 564.【解】(1)由 S2n(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所以 Sn0，Snn2n.于是 a1S12，n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项公式为 an2n.(2)证明：由于 an2n，bnn1（n2）2a2n，则 bnn14n2（n2）2 1161n21（n2）2.所以 Tn 1161 132122 142132 1521（n1）21（n1）2 1n21（n2）211611221（n1）21（n2）2 1161122 564.函数与方程思想求
48、解数列中的最值问题思想诠释数列中的最值问题用到函数与方程思想的常见题型：(1)数列中的恒成立问题：转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解(2)数列中的最大项与最小项问题：利用函数的有关性质或不等式组an1an，anan1an1an，anan1求解(3)数列中前 n 项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使 an0(an，0)成立时最大的 n 值即可求解典例剖析【典例】(2015江西南昌模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a11，S36，正项数列bn满足 b1b2b3bn2Sn.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若 bnan 对 nN*均成立，求实数的取值范围
49、【审题策略】(1)由 a11，S36 求 an；由 b1b2b3bn2Sn 求 bn；(2)题目涉及恒成立，联想到函数思想，构建函数，利用函数性质求解【解】(1)a11，S36，数列an的公差 d1，ann.由题知，b1b2b3bn2Sn b1b2b3bn12Sn1（n2）得 bn2SnSn12an2n(n2)，又 b12S1212，满足上式，故 bn2n.(2)bnan 恒成立n2n恒成立，设 cnn2n，则cn1cn n12n，当 n2 时，cn1，数列cn单调递减，(cn)max12，故 12.所以实数 的取值范围为(12，)针对训练高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵
50、权必究！(2015辽宁大连模拟)数列an满足 an1an2an1，a11.(1)证明：数列1an是等差数列；(2)求数列1an的前 n 项和 Sn，并证明 1S1 1S21Sn nn1.【解】(1)证明：an1an2an1，1an12an1an，化简得 1an121an，即 1an11an2，故数列1an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列(2)由(1)知1an2n1，Snn（12n1）2n2.1S1 1S2 1Sn 112 122 1n2 112 1231n（n1）(112)(1213)(1n 1n1)1 1n1 nn1.1必记公式(1)“基本数列”的通项公式数列1，1，1，1，的通项公式
51、是 an(1)n(nN*)数列 1，2，3，4，的通项公式是 ann(nN*)数列 3，5，7，9，的通项公式是 an2n1(nN*)数列 2，4，6，8，的通项公式是 an2n(nN*)数列 1，2，4，8，的通项公式是 an2n1(nN*)数列 1，4，9，16，的通项公式是 ann2(nN*)数列 1，3，6，10，的通项公式是 ann（n1）2(nN*)数列11，12，13，14，的通项公式是 an1n(nN*)(2)常用的拆项公式(其中 nN*)1n（n1）1n 1n1.1n（nk）1k1n 1nk.1（2n1）（2n1）12(12n112n1)若等差数列an的公差为 d，则1ana
52、n11d1an 1an1；1anan2 12d1an 1an2.1n（n1）（n2）121n（n1）1（n1）（n2）.1n n1 n1 n.1n nk1k(nk n)2n（2n1）（2n11）12n112n11.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！2重要结论(1)常见数列的前 n 项和123nn（n1）2.2462nn2n.135(2n1)n2.122232n2n（n1）（2n1）6.132333n3n（n1）22.(2)数列中不等式的放缩技巧 1K21K21121K11K11K1K1 1K21K11K.2(n1 n)1n2(n n1)3易错提醒(1)裂项求和的系数
53、出错：裂项时，把系数写成它的倒数或者忘记系数致错(2)忽略验证第一项致误：利用 anS1，n1，SnSn1，n2求通项，忽略 n2 的限定，忘记第一项单独求解与检验(3)求错项数致误：错位相减法求和时，易漏掉减数式的最后一项限时训练(十一)建议用时实际用时错题档案40 分钟一、选择题1(2015浙江高考)已知an是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn.若 a3，a4，a8成等比数列，则()Aa1d0，dS40 Ba1d0，dS40Ca1d0，dS40Da1d0，dS40【解析】由 a3，a4，a8 成等比数列可得：(a13d)2(a12d)(a17d)，即 3a15d0，所以 a1
54、53d，所以 a1d0.又 dS4（a1a4）42d2(2a13d)d23d20.故选 B.【答案】B2(2015保定调研)在数列an中，已知 a11，an12an1，则其通项公式为 an()A2n1B2n11C2n1D2(n1)【解析】由题意知 an112(an1)，an1(a11)2n12n，an2n1.【答案】A3(预测题)已知数列an满足 an112 ana2n，且 a112，则该数列的前 2 015 项的和等于()A.3 0232B3 023C1 512D3 024高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！【解析】因为 a112，又 an112 ana2n，所以
55、a21，从而 a312，a41，即得 an12，n2k1（kN*），1，n2k（kN*），故数列的前 2 015项的和等于 S2 0151 007(112)13 021213 0232.【答案】A4(2015长春质检)设数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1a21，nSn(n2)an为等差数列，则 an()A.n2n1B.n12n11C.2n12n1D.n12n1【解析】设 bnnSn(n2)an，有 b14，b28，则 bn4n，即 bnnSn(n2)an4n，Sn(12n)an4.当 n2 时，SnSn1(12n)an(1 2n1)an10，所以2（n1）nann1n1an1，即 2an
56、n an1n1，所以ann 是以12为公比，1 为首项的等比数列，所以ann 12n1，an n2n1.故选 A.【答案】A5(2015云南第一次统一检测)在数列an中，an0，a112，如果 an1 是 1 与2anan114a2n的等比中项，那么 a1a222a332a442a1001002的值是()A.10099B.101100C.100101D.99100【解析】由题意可得，a2n12anan114a2n(2an1anan11)(2an1anan11)0an112anan11an12an1an111an11，1an1 1121(n1)n1an nn1ann21n（n1），a1a222
57、a10010021121213 1100 1101100101.【答案】C二、填空题6(2014全国新课标高考)数列an满足 an111an，a82，则 a1_【解析】将 a82 代入 an111an，可求得 a712；再将 a712代入 an111an，可求得 a61；再将 a61 代入 an111an，可求得 a52；由此可以推出数列an是一高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！个周期数列，且周期为 3，所以 a1a712.【答案】127(理)若数列n(n4)(23)n中的最大项是第 k 项，则 k_【解析】设数列为an，则 an1an(n1)(n5)(23)n1n
58、(n4)(23)n(23)n23(n26n5)n24n 2n3n1(10n2)，所以当 n3 时，an1an；当 n4 时，an1an.因此，a1a2a3a4，a4a5a6，故 a4 最大，所以 k4.【答案】4(文)(2015江苏高考)设数列an满足 a11，且 an1ann1(nN*)，则数列1an 前10 项的和为_【解析】由 a11，且 an1ann1(nN*)得，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123nn（n1）2，则 1an2n（n1）21n 1n1，故数列 1an前 10项的和 S102(1121213 110 111)2(1 111)2011.【答案】20118(
59、2015福建高考)若 a，b 是函数 f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于_【解析】因为 a，b 为函数 f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同零点，所以p24q0，abp，abq.所以 a0，b0，所以数列 a，2，b 不可能成等差数列，数列 a，b，2不可能成等比数列，数列2，a，b 不可能成等比数列不妨取 ab，则只需研究数列 a，b，2 成等差数列，数列 a，2，b 成等比数列，则有a22b，ab4，解得a4，b1或a2，b2(舍去)，所以p5，q4，所以 pq9.【答案】9三、
60、解答题9(2015湖北高考)设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为q.已知 b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当 d1 时，记 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn.【解】(1)由题意有，10a145d100，a1d2，即2a19d20，a1d2，解得a11，d2，或a19，d29.故an2n1，bn2n1或 高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！an19（2n79），bn9 29n1.(2)由 d1，知 an2n1，bn2n1，故 cn2n12n1，于是 Tn132522 723 92
61、42n12n1，12Tn12 322 523 7249252n12n.可得 12Tn212122 12n22n12n32n32n，故 Tn62n32n1.10(2014山东高考)已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4 成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn(1)n14nan an1，求数列bn的前 n 项和 Tn.【解】(1)因为 S1a1，S22a1212 22a12，S44a1432 24a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得 a11，所以 an2n1.(2)bn(1)n1 4nanan1(1)n14n（2n1）（2n1）(
62、1)n112n112n1.当 n 为偶数时，Tn113 1315 12n312n1 12n112n1 112n1 2n2n1.当 n 为奇数时，Tn113 1315 12n312n1 12n112n1 112n12n22n1.所以 Tn2n22n1，n为奇数，2n2n1，n为偶数.(或 Tn2n1（1）n12n1)解题策略四：中档大题规范练数列解答题的解法考试大纲的特别要求如下：理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式，能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！并能用有关知识解决相应
63、的问题高考中数列解答题的求解主要有以下几个特点：(1)与等差、等比数列基本量有关的计算：可根据题意列方程(方程组)或利用等差、等比数列的性质求解；(2)与求和有关的题目：首先要求通项公式，并根据通项公式选择恰当的求和方法(如错位相减法、裂项相消法、分组求和法等)；(3)含 Sn 的式子：要根据题目特征利用 anS1，n1，SnSn1，n2进行转化；(4)与递推数列有关的问题：要能合理转化，使之构造出新的等差、等比数列；(5)与数列有关的不等式问题：可根据数列的特征选择方法(如比较法、放缩法等)；(6)与函数有关的问题：应根据函数的性质求解【典例】(12 分)(2015新课标高考)Sn 为数列a
64、n的前 n 项和，已知 an0，a2n2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和解题流程 规范解答(1)由 a2n2an4Sn3，可知 a2n12an14Sn13.可得 a2n1a2n2(an1an)4an1，即 2(an1an)a2n1a2n(an1an)(an1an)由于 an0，可得 an1an2.(4 分)又 a212a14a13，解得 a11(舍去)或 a13.所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1.(6 分)(2)由 an2n1 可知 bn1anan11（2n1）（2n3）1212n112n3.(9 分
65、)设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tnb1b2bn 121315 1517 12n112n3 n3（2n3）.(12 分)解题模板 求解数列通项和求和的模板 第 1 步：由等差(比)数列或递推公式求通项；第 2 步：根据和的表达式，选择适当的方法求和；第 3 步：明确规范地表述结论 反思感悟 求解有关数列的综合题，首先要善于从宏观上整体把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后从微观上明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨性数列问题对能力的要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力近几年高考加强了对数列推理能力的考查，应引起重视针对训练高考资源网（
66、）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！1(2015河南洛阳统考)已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，nN*，2Sna2nan.(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn1an an1an1 an，设bn的前 n 项和为 Tn，求 T1，T2，T3，T100 中有理数的个数【解】(1)当 n1 时，2a1a21a1，a21a10.a11 或 0.an0，a11.当 n2 时，2Sna2nan，2Sn1a2n1an1，两式相减得 2(SnSn1)a2na2n1anan1，2ana2na2n1anan1，a2na2n1(anan1)0，(anan1)(anan11)0，an0，ana
67、n10，anan10，an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 an1(n1)1n.(2)bn1an an1an1 an，bn1n n1（n1）n 1n n1（n n1）n1 nn n1（n1 n）（n1 n）n1 nn n1 1n1n1.Tnb1b2b3bn(1 12)(12 13)(13 14)(1n1n1)11n1.在 T1，T2，T3，T100 中，有理数有 T3T8，T15，T99，共 9 个2(2015山东实验中学模拟)已知数列an是各项均为正数的等差数列，其中 a11，且a2，a4，a62 构成等比数列；数列bn的前 n 项和为 Sn，满足 2Snbn1.(1)求数列an，bn
68、的通项公式；(2)如果 cnanbn，设数列cn的前 n 项和为 Tn，是否存在正整数 n，使得 TnSn 成立，若存在，求出 n 的最小值，若不存在，说明理由【解】(1)设数列an的公差为 d，依条件有 a24a2(a62)，即(a13d)2(a1d)(a15d2)，解得 d12(舍)或 d1，所以 ana1(n1)d1(n1)n.由 2Snbn1，得 Sn12(1bn)，当 n1 时，2S1b11，解得 b113，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！当 n2 时，bnSnSn112(1bn)12(1bn1)12bn12bn1，所以 bn13bn1，所以数列bn是首
69、项为13，公比为13的等比数列，故 bn13n.(2)由(1)知，cnanbnn3n，所以 Tn11321323 132n13n 13Tn11322 1333 134n 13n1 得23Tn13 132 13313nn 13n1 1313n13113n 13n1 1212 13n n3n1，所以 Tn3434 13nn213n342n34 13n.又 Sn13（113n）11312123n，所以 TnSn142n14 13n，当 n1 时，T1S1，当 n2 时，142n1413n0，所以 TnSn，故所求的正整数 n 存在，其最小值是 2.专题检测(四)(时间 60 分钟，满分 100 分)
70、一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分)1(2015重庆高考)在等差数列an中，若 a24，a42，则 a6()A1 B0 C1 D6【解析】由等差数列的性质知 a2a62a4，所以 a62a4a20.故选 B.【答案】B2(2014全国新课标高考)等差数列an的公差为 2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则an的前 n 项和 Sn()An(n1)Bn(n1)C.n（n1）2D.n（n1）2【解析】因为 a2，a4，a8 成等比数列，所以 a24a2a8，所以(a16)2(a12)(a114)，解得 a12.所以 Snna1n（n1）2dn(n1)故选 A.【答案】A3(2015河
71、北唐山统考)设 Sn 是等比数列an的前 n 项和，若S4S23，则S6S4()高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！A2B.73C.310D1 或 2【解析】设 S2k，S43k，由数列an为等比数列(易知数列an的公比 q1)，得S2，S4S2，S6S4 为等比数列，又 S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，S6S47k3k73.故选 B.【答案】B4等比数列an的公比 q2，a1a2a321，则 a3a4a5 等于()A42B63C84D168【解析】a3a4a5q2(a1a2a3)42184.故选 C.【答案】C5(2015山东泰安一模)设等差数列an的
72、前 n 项和为 Sn，若 a211，a5a92，则当 Sn 取最小值时，n()A9B8C7D6【解析】设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由a211，a5a92，得a1d11，2a112d2，解得a113，d2.an152n.由 an152n0，解得 n152.又 n 为正整数当 Sn 取最小值时，n7.故选 C.【答案】C6(2015吉林集安市高三检测)等比数列an满足 an0，nN*，且 a5a2n522n(n3)，则当 n1 时，log2a1log2a3log2a2n1 等于()An(2n1)B(n1)2Cn2D(n1)2【解析】a5a2n5a2n22n，又 an0，an2n.又
73、log2a2n1log222n12n1，log2a1log2a3log2a2n1135(2n1)n1（2n1）2n2.故选 C.【答案】C7(2015山东济宁微山第一中学二模)等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a10a1110，则ln S20ln 110()A1B2C1D2【解析】因为an为等差数列，所以 S2020（a1a20）210(a10a11)100，则ln S20ln 110ln 100ln 1102.故选 D.【答案】D8(2015吉林长春质量检测(二)设数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，Snnan为常数列，则 an()A.13n1B.2n（n1）C.6（n1）（n
74、2）D.52n3【解析】由题意知，Snnan2，当 n2 时，Sn1(n1)an12，(n1)an(n高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！1)an1，从而a2a1a3a2a4a3 anan11324n1n1，则 an2n（n1），当 n1 时上式成立，所以 an2n（n1）.故选 B.【答案】B9(2015北京东城模拟)某学校餐厅每天供应 500 名学生用餐，每星期一有 A，B 两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选 A 种菜的学生，下星期一会有 20%改选 B 种菜；而选 B 种菜的学生，下星期一会有 30%改选 A 种菜用 an，bn 分别表示在第 n 个星
75、期的星期一选 A 种菜和选 B 种菜的学生人数，若 a1300，则 an1 与 an 的关系可以表示为()Aan112an150Ban113an200Can115an300Dan125an180【解析】由题意得an80%an130%bn1，an1bn1500，(nN*，n2)，解得 an12an1150，有 an112an150.故选 A.【答案】A10(2015江西昌江一中模拟)已知函数 yf(x)的定义域为 R，当 x0 时，f(x)1，且对任意 x，yR，等式 f(x)f(y)f(xy)恒成立，若数列an满足 a1f(0)，且 f(an1)1f（2an）(nN*)，则 a2015 的值为
76、()A4 027B4 028C4 029D4 030【解析】令 xy0，f2(0)f(0)，f(0)1 或 0，令 x1，g0，f(1)f(0)f(1)，x0 时，f(x)1，f(0)1.令 xy0，则 f(x)f(x)f(0)1，由 f(an1)1f（2an），an12an0，an1an2，an是以 a11，公差为 2 的等差数列，an2n1.a20152201514029.【答案】C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分)11(2015新课标高考)在数列an中，a12，an12an，Sn 为an的前 n 项和若Sn126，则 n_【解析】因为在数列an中，a12，an12an，所以
77、数列an是首项为 2，公比为 2的等比数列，因为 Sn126，所以22n112 126，解得 2n1128，所以 n6.【答案】612(2015北京东城模拟)已知函数 f(x)的对应关系如下表所示，数列an满足 a13，an1f(an)，则 a4_，a2 015_.x123f(x)321【解析】a13，a2f(a1)f(3)1，a3f(a2)f(1)3，a4f(a3)f(3)1，可知数列an是以 2 为周期的数列，a2 015a13.【答案】1 313数列an满足 a12，且对任意的 m，nN*，都有anmam an，则 a3_；an的前 n 项和 Sn_【解析】由anmam an 可得a2a
78、1a1，所以 a2a21224.所以 a3a1a2248.由anmam an 得anman am，令 m1，得an1an a12，即数列an是公比为 2 的等比数列，高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！所以 Sn2（12n）122n12.【答案】8 2n1214设实数 a1，a2，a3，a4 是一个等差数列，且满足 1a13，a34.若定义 bn2an，给出下列命题：b1，b2，b3，b4 是一个等比数列；b1b2；b24；b432；b2b4256.其中真命题为_【解析】若an是公差为 d 的等差数列，则2an是公比为 2d 的等比数列，故正确；a3a1公差 d0公比
79、 2d1，又 bn0，故正确；a1a32a2，由 1a13，a34，得 a1a35a22b22a24，正确；1a13，a34，又 a3a12dd4a1212，32 a492，112，故 b42a4 不一定大于 32，不正确；因为 b2b4b23(2a3)2256，所以正确【答案】三、解答题(本大题共 2 小题，每小题 15 分)15(2015四川高考)设数列an(n1，2，3，)的前 n 项和 Sn 满足 Sn2ana1，且a1，a21，a3 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记数列1an 的前 n 项和为 Tn，求使得|Tn1|11 000成立的 n 的最小值【解】(1)由已知 S
80、n2ana1，有 anSnSn12an2an1(n2)即 an2an1(n2)从而 a22a1，a32a24a1.又因为 a1，a21，a3 成等差数列，即 a1a32(a21)所以 a14a12(2a11)，解得 a12.所以，数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列 故 an2n.(2)由(1)得1an 12n，所以 Tn12 12212n121 12n112112n.由|Tn1|11 000，得|1 12n1|11 000，即 2n1 000.因为 295121 0001 024210，所以 n10.于是，使|Tn1|11 000成立的 n 的最小值为 10.16(2015山东高考)
81、设数列an的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足 anbnlog3an，求bn的前 n 项和 Tn.【解】(1)因为 2Sn3n3，所以 2a133，故 a13，当 n1 时，2Sn13n13，此时 2an2Sn2Sn13n3n123n1，即 an3n1，所以 an3，n1，3n1，n1.(2)因为 anbnlog3an，所以 b113.当 n1 时，bn31nlog33n1(n1)31n.高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！所以 T1b113；当 n1 时，Tnb1b2b3bn13(131232(n1)31n)，所以 3Tn1(130231(n1)32n)，两式相减，得 2Tn23(30313232n)(n1)31n 23131n131(n1)31n 136 6n323n，所以 Tn13126n343n，经检验，n1 时也适合 综上可得 Tn13126n343n.
