1、高 二 数 学（理科）题号123456789101112答案CBDCADCCBBAD1不等式理科1.集合21|20,|2Ax xxBxx，则 AB（）A10,2B1(1,0),22C1(2,0),12D 1,12【答案】C【详解】由题得1x|2x1,Bx|x02Ax 或，所以 AB 1(2,0),12.故选：C【点睛】本题主要考查不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2圆锥曲线理科2若双曲线 E：x29y2161 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|8，则|PF2|等于()A2B14C8D2 或 14答案：B3数列3.
2、在数列an中，a12，（an1）2anan+2（n2），Sn 为an的前 n 项和，若 a664，则 S7的值为（）A126B256C255D254答案 D4不等式4.若1a1b0，则下列不等式：abab；|a|b|；ab；abb2 中，正确的不等式有()ABCD答案 C解析 因为1a1b0，所以 ba0，ab0，ab0，所以 abab，|a|b|，在 ba 两边同时乘以 b，因为 b0，所以 abb2.因此正确的是.5逻辑 圆锥曲线5“3m”是“椭圆222125xym的焦距为 8”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要【答案】A【分析】对椭圆的焦点所在轴进行分类，
3、当5m 时，焦点在 x 轴上，根据椭圆的性质，可得 m=3，当5m 时，焦点在 y 轴上，根据椭圆的性质，可得41m，再根据充分必要条件原理即可判断结果【详解】由当5m 时，焦点在 x 轴上，焦距 28c，则4c，由2229mac，则3m，当5m 时，焦点在 y 轴上，由焦距 28c，则4c，由22241mac，则41m，故 m 的值为 3 或41，所以“3m”是“椭圆222125xym的焦距为 8”的充分不必要条件.【点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法：充分不必要条件：如果 pq，且 pq，则说 p 是 q 的充分不必要条件；必要不充分条件：如果 pq
4、，且 pq，则说 p 是 q 的必要不充分条件；既不充分也不必要条件：如果 pq，且 pq，则说 p 是 q 的既不充分也不必要条件.6三角6.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 cacos B(2ab)cos A，则ABC 的形状为()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形D等腰或直角三角形D解析 因为 cacos B(2ab)cos A，C(AB)，所以由正弦定理得 sin Csin AcosB2sin Acos Asin Bcos A，所以 sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin BcosA，所以 cos
5、 A(sin Bsin A)0，所以 cos A0 或 sin Bsin A，所以 A2或 BA 或 BA(舍去)，所以ABC 为等腰或直角三角形7逻辑7下列结论错误的是()A命题“若2340 xx，则4x”的逆否命题为“若4x，则2340 xx”B命题“230 x,xx R”的否定是200030 x,xxRC命题“若22acbc，则 ab”的逆命题为真命题D命题“若220mn，则0m 且0n”的否命题是“若220mn，则 m0 或 n0”【答案】C【分析】利用四种命题的逆否关系判断 A 的正误；命题的否定判断 B 的正误；四种命题的逆否关系判断 C、D 正误【详解】命题“若 x23x40，则
6、 x4”的逆否命题为“若 x4，则 x23x40”，满足逆否命题的定义，所以 A 正确；“xR，x2x+30”的否定是200030 xRxx，满足命题的否定形式，所以 B正确；命题“若 ac2bc2，则 ab”的逆命题为：ab 则 ac2bc2，是假命题，所以 C 不正确；“若 m2+n20，则 m0 且 n0”的否命题是“若 m2+n20，则 m0 或 n0”，满足命题的否命题的形式，D 正确；故选：C【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，四种命题的逆否关系，命题的否定，四种命题的逆否关系，考查学科素养-逻辑推理能力8圆锥曲线焦点三角形8.设 F1，F2是椭圆2214924xy的两个焦点，
7、P 是椭圆上的点，且|PF1|PF2|43，则PF1F2的面积为()A3B25C24D40【答案】C【解析】124 3PFPF：，可设14PFk，23PFk，由题意可知34214kka，2k，18PF，26PF，1210F F，12PF F是直角三角形，其面积12116 82422PFPF，故选 C.9三角9.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积12(弦矢矢 2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23，半径等于 4 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积
8、约是()A6 平方米B9 平方米C12 平方米D15 平方米解析：如图，由题意可得AOB23，OA4，在 RtAOD 中，可得AOD3，DAO6，OD12AO1242，所以可得矢422，由 ADAOsin 34 32 2 3，可得弦2AD22 34 3所以，弧田面积12(弦矢矢 2)12(4 3222)4 329 平方米，故选 B答案：B数学建模、数学运算三角中数学文化的学科素养中国古代数学名著九章算术数学九章中，很多题目涉及到三角形在生活中的应用，完全可以体现数学建模，数学运算的学科素养10圆锥曲线 中点弦10.已知椭圆 E：x24y221，直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若 AB 的中点
9、坐标为12，1，则 l的方程为()A2xy0Bx4y920C2xy20Dx2y520解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214y2121，x224y2221，两式作差并化简整理得y1y2x1x212x1x2y1y2，而 x1x21，y1y22，所以y1y2x1x214，直线 l 的方程为 y114x12，即 x4y920.故选 D答案：B11三角11在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2acb coscosCB，b4，则ABC的面积的最大值为A43B23C33D3答案 1A【解析】分析：由已知式子和正弦定理可得3B，再由余弦定理可得16ac，由三角形的面积
10、公式可得所求详解：在ABC 中 2acb coscosCB，2coscosacBbC，由正弦定理得2sinsincossin cosACBBC，2sin cossin cossin cossinsinABCBBCBCA又sin0A，1cos2B，0B，3B在ABC 中，由余弦定理得22222b162cos2acacBacacacacac，16ac，当且仅当 ac时等号成立ABC 的面积13sin4 324SacBac.故选 A点睛：用余弦定理解三角形时常用到整体代换的解题思路，即运用公式变形可得2222ababab，对于公式中的 ab，又常与三角形的面积公式结合在一起在求三角形中的最值问题时，
11、往往要用到基本不等式，解题时要注意不等式的使用条件，特别是要判断等号能否成立数学运算求三角形中最值问题的学科素养求解三角形问题中最值问题成为一个亮点，综合性强，考查了学生综合运用知识的能力和数学运算、逻辑推理的学科素养12圆锥曲线理科12已知 A，B 是椭圆 E：22221(0)xyabab的左、右顶点，M 是 E 上不同于 A，B的任意一点，若直线 AM，BM 的斜率之积为49，则 E 的离心率为()A23B33C 23D53【答案】D【分析】由题意方程可知，(,0),(,0)AaB a，设00(,)M xy，利用斜率公式以及直线,AM BM 的斜率之积为49列式并化简得:2022049yx
12、a ，,再根据 M 在椭圆上可2202220ybxaa，,联立可解得.【详解】由题意方程可知，(,0),(,0)AaB a，设00(,)M xy,0000,AMBMyykkxaxa则000049yyxa xa,，整理得：2022049yxa ，又2200221xyab，得2222002()byaxa，即2202220ybxaa，联立，得2249ba，即22249aca，解得53e 故选 D【点睛】本题考查了斜率公式,椭圆的几何性质,属中档题.13不等式13若,x y 满足约束条件250,230,50,xyxyx 则 zxy的最大值为_【答案】9【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当5
13、,4xy时，max9z.【详解】不等式组表示的可行域是以(5,4),(1,2),(5,0)ABC为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数 zxy的最大值必在顶点处取得，易知当5,4xy时，max9z.【点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.14 三角14.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 A6，a1，b 3，则 B 的大小为_解析：由正弦定理，得 asin A bsin B把 A6，a1，b 3代入，解得 sin B 32 因为 ba，所以 BA，结合题意可知
14、 B3或23 答案：3或2315不等式15.某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则 x 的值是_解析：总费用 4x600 x 64 x900 x42900240，当且仅当 x900 x，即 x30 时等号成立答案：30数学建模，数学运算基本不等式的实际应用的学科素养在生活实际中，涉及到两个变量 x，y 之间可建立 yaxbx(a0，b0)模型的函数，求其最值或者取得最值的条件，考查了数学建模，数学运算的学科素养16 数列理科16若 a，b 是函数 f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不
15、同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于_解析：依题意有 a，b 是方程 x2pxq0 的两根，则 abp，abq，由 p0，q0 可知a0，b0.由题意可知 ab(2)24q，a22b 或 b22a，将 a22b 代入 ab4 可解得 a4，b1，此时 ab5，将 b22a 代入 ab4 可解得a1，b4，此时 ab5，则 p5，故 pq9.答案：9考查等差等比定义及中项，分类讨论思想，与函数零点，韦达定理的综合应用。17（1）逻辑17（2）17设:p 实数 x 满足22540 xaxa（其中0a），:q 实数 x 满足 25x。
16、（1）若1a ，且 pq为真，求实数 x 的取值范围；（2）若q 是p的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围。【答案】（1）2,4（2）5,24【分析】（1）pq为真，得 p 真，q真同时成立，对条件 p，q中的变量取交集；（2）“q 是p的必要不充分条件”等价于“p 是q的必要不充分条件”.【详解】（1）若1a ，则:p 14x，又:q 25x，因为 pq为真，所以 p 真，q真同时成立，所以14,25,xx 解得：24x，所以实数 x 的取值范围 24x.（2）:p4axa，:q 25x，因为q 是p的必要不充分条件，所以 p 是q的必要不充分条件，所以q中变量 x 的取值集合是 p 中
17、变量 x 的取值集合的真子集，所以2,5245,4aaa.【点睛】在进行简易逻辑中的条件转换时，要充分利用原命题与其逆否命题的等价性，如p是q 的充分不必要条件 q是 p 的充分不必要条件.18（1）数列18（2）18(2019西安质检)已知等差数列an的各项均为正数，a11，前 n 项和为 Sn，数列bn为等比数列，b11，且 b2S26，b2S38.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)求 1S1 1S2 1Sn.解析：(1)设等差数列an的公差为 d，d0，bn的公比为 q，则 an1(n1)d，bnqn1.依题意有q（2d）6q33d8，解得d1q2，或d43q9(舍去)故 ann，
18、bn2n1.(2)由(1)知 Sn12n12n(n1)，1Sn2n（n1）2(1n 1n1)，1S1 1S2 1Sn2(112)(1213)(1n 1n1)2(1 1n1)2nn1.方程组-基本量法裂项相消法数列的方程化解题策略数列的方程化策略，就是分析数列问题中的数量关系，将其转化为数学模型，然后通过列、解方程来解决问题，它集中体现了方程的思想，体现了逻辑推理和数学运算的学科素养19（1）三角19（2）19在ABC 中，A 34，AB6，AC3 2（1）求 sinB 的值；（2）若点 D 在 BC 边上，ADBD，求ABD 的面积【答案】（1）1010；（2）3.【分析】（1）利用余弦定理可
19、求得 BC，再根据正弦定理求得sin B；（2）根据同角三角函数关系求得cos B，利用余弦定理可构造方程求得 BD，代入三角形面积公式求得结果.【详解】（1）由余弦定理可得：22222cos36 1836 2902BCABACAB ACA3 10BC由正弦定理可得：23 2sin102sin103 10ACABBC（2）B为锐角23 10cos1 sin10BB由余弦定理得：2222cosADABBDAB BDB又 ADBD6102cos3 10210ABBDB1110sin61032210ABDSAB BDB【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正余弦定理的应用、三角形面积公式的应用，
20、属于常考题型.20（1）不等式20（2）20已知函数2()(2)2()f xxaxa aR.（1）求不等式()0f x 的解集；（2）若当 xR 时，()4f x 恒成立，求实数 a 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)2,6a【解析】【分析】（1）不等式()0f x 可化为：(2)()0 xxa，比较 a 与2 的大小，进而求出解集。（2）()4f x 恒成立即2(2)240 xaxa恒成立，则2(2)4(24)0aa，进而求得答案。【详解】解：（1）不等式()0f x 可化为：(2)()0 xxa，当2a 时，不等()0f x 无解；当2a 时，不等式()0f x 的解集为2xxa；当
21、2a 时，不等式()0f x 的解集为2x ax.（2）由()4f x 可化为：2(2)240 xaxa，必有：2(2)4(24)0aa，化为24120aa，解得：2,6a.【点睛】本题考查含参不等式的解法以及恒成立问题，属于一般题。21（1）数列构造法 错位相减法1 理科21（2）21数列an中，a13，an12an2(nN*)(1)求证：an2是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)设 bnnan2，Snb1b2b3bn，证明：对任意 nN*，都有 Sn45.证明：(1)由 an12an2(nN*)得an122(an2)，a13，a125，an2是首项为 5，公比为 2 的等比数列，an
22、252n1，an52n12.(2)由(1)可得 bnn52n1，Sn15(122 322 n2n1)，12Sn15(12 222 323 n2n)，可得Sn25(112 122 12n1 n2n)25(1 12n112 n2n)25(22n2n)Sn45，22（1）理科22（2）圆锥曲线22已知椭圆 C:22221(0)xyabab的离心率为22，且过点(2,1)（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线：22yxm交椭圆 C 于 A、B 两点，0 为坐标原点，求OAB 面积的最大值.【答案】(1)22142xy;(2)2.【解析】分析：（1）由离心率和过点2,1 建立等式方程组求解即可；（2）根
23、据弦长公式可求得 AB的长作为三角形的底边，然后由点到直线的距离求得高即可表示三角形的面积表达式，然后根据基本不等式求解最值即可.详解：（1）由已知可得22212bea，且22211ab，解得24a，22b，椭圆C 的方程为22142xy.（2）设 11,A x y，22,B xy，将22yxm代入C 方程整理得22220 xmxm，222420mm，24m，122xxm，2122x xm，21212222222my yxmxm，22121214ABkxxx x2123m，22231mmdk，2212422SAB dmm2224222mm，当且仅当22m 时取等号，OAB面积的最大值为2.点睛：考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，弦长，点到直线的距离的应用，对常用公式的熟悉是解题关键，属于中档题.
