1、五莲县2020-2021学年高二下学期期中考试 数学试题 2021.04考生注意：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1下列可作为数列1，2，1，2，1，2，的通项公式的是A BC D2在等差数列中，是方程的两根，则ABC D 3函数的单调递减区间
2、为A1,1 B(0,1 C 1,+) D(0,+)4如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数yf(x)的图像是A B C D5十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若
3、使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据：，）A4B5C6D76已知，为自然对数的底数，则A. B. C. D.7已知，若数列是递增数列，则实数的取值范围为ABC D8设函数，则满足的取值范围是ABCD二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示现有下列四种说法正确的有A前四年该产品产量增长速度越来越快B前四年该产品产量增长速度越来越慢C第四年后该产品停止生产D第四年后该产品年产量保持不变10数列是
4、首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是AB数列是等比数列CD11对于数列，若存在正整数，使得，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”，在数列中，若，则数列的“谷值点”为ABCD12已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线，切点为.则下列结论正确的是A数列的通项为 B数列的通项为C当时， D三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13函数在点处的切线斜率为_.14我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常
5、生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个整数中能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为_.15已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_.16已知函数若时，恒成立，则实数的最小值为_.四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）在，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一种情况解答给分）已知等比数列的各项均为正数，且，_（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前项和.18
6、（12分）设与是函数的两个极值点.（1）试确定常数和的值；（2）设，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.19（12分）为等差数列的前n项和，且，记，其中表示不超过x的最大整数，如，（1）求，；（2）求数列的前项和20（12分） 在数列中， （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）已知数列的前项和为，且数列满足，若不等式对一切 恒成立，求的取值范围.21（12分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地米， 米，以为直径的半圆和半圆（半圆在矩形内部）为两个半圆形水上主题乐园，都建有围墙，游客只能从线段处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着修建不锈
7、钢护栏，沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为上的动点，/，且线段与线段在圆心和连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为元/米，直线部分的平均修建费用为元/米.（1）若米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米（2）试确定点的位置，使得修建费用最低.22（12分） 已知（1）设曲线在点处的切线为，若，求直线斜率的取值范围；（2）设 讨论的极值点个数； 若有个极值点（其中）证明：五莲县2020-2021学年高二下学期期中考试 数学参考答案 2021.04一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。答案 BCBD, CA
8、BA二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9【答案】BD，10【答案】AB，11【答案】AD，12 【答案】ABD，三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13【答案】； 14【答案】135； 15【答案】； 16【答案】；四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）解：（1）设等比数列的公比为，则若选择条件，则， 即是： 解得， . 4分； . 6分若选择条件，由题意得， 解得， . 4分因此，； . 6分（2）， . 8分所以，所以，数列
9、是等差数列，首项为， 设数列前项和为，则。 . 10分18（12分）【答案】（1） ， 由题意可知：; . 6分（2）, 所以：， .8分从而切线方程是 ， 10分在轴上的截距是，在轴上的截距是； 所以：三角形面积是：. .12分19（12分）【解析】（1）设的公差为， 2分 ， 3分， 4分 5分（2）记的前项和为，则当时，； 6分当时，； 7分当时，； 8分当时， 9分 12分20（12分） 解：（1）因为2分 所以数列是公差为1， 3分首项为的等差数列， 4分所以 .5分所以数列的通项公式为. .6分 （2）由题干知：，令 则 -得 所以 ， .10分若为偶数，则，； 若为奇数，则，.综
10、上，. .12分21（12分）【答案】（1）；（2）当为时，修建费用最低.(1) 如图，设直线矩形交于两点，连，因为米，则米，米 .2分 梯形的面积为平方米， .3分矩形的面积为平方米， 由，得扇形和扇形的面积均为：平方米， 故阴影部分面积为平方米 .6分(2) 设，则，所以，修建费用，所以，令,得， .10分当变化时,的变化情况如下表：0极小值由上表可得当时，即，有极小值,也为最小值故当为时,修建费用最低 .12分22（12分）（1）解：当时， 又 时，时， 即是：在单调递减，在单调递增，所以：即斜率的取值范围是； .4分（2） 所以：，即：不是的零点。， 的极值点的个数即为函数的变号零点个数，令，故在上单调递减，上单调递增，在上单调递减，且当x0时，m（x）0即， 根据与的交点个数可得： 1) 当时，有2个极值点，2) 当时，只有1个极值点，3) 当时，有3个极值点 8分证明：因为有3个极值点x1，x2，x3（其中x1x2x3），此时，x1，x2，x3的位置如右图所示：所以，且x21，即得， 要证，即 由，得，设，k1， 则，所以x3x1lnk， 联立，得，所以，所以要证x1x31，只需，k1， .10分则有，即，则需证明令，t1，即需证明因为恒成立，所以h（t）在t（1，+）上是单调递减函数，则有，即成立，所以x1x31，即得以证明 12分
