1、专题过关检测四立体几何一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东济宁二模)“直线m垂直于平面内的无数条直线”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2021重庆八中月考)已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA=2AB,则异面直线CD与PB所成角的余弦值为() A.B.C.D.3.(2021江西上饶三模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G是线段BC1上一点,且A1GB1D,则()A.BG=BC1B.BC1=3GC1C.BG=3GC1D.G
2、为线段BC1上任意一点4.(2021辽宁葫芦岛一模)某保鲜封闭装置由储物区与充氮区(内层是储物区,用来放置新鲜易变质物品,充氮区是储物区外的全部空间,用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能)构成.如图,该装置外层上部分是半径为2的半球,下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合,内层是一个高度为4的倒置小圆锥,小圆锥底面平行于外层圆锥的底面,且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合,为了保存更多物品,充氮区的体积最小为()A.4B.C.D.5.(2021天津三模)在圆柱O1O2内有一个球O,球O分别与圆柱O1O2的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若O1O2=2,则圆柱O1O2的表面积为()A.4B.5
3、C.6D.76.(2021广东深圳模拟)已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切,M为棱DD1的中点,则平面AMC截球O所得截面的面积为()A.B.C.D.7.(2021福建师大附中模拟)过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD,若AB=AP,则平面ABP与平面CDP的夹角的余弦值为()A.B.C.D.8.(2021山东滨州二模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,P是底面ABCD内(包括边界)的一个动点,若MP平面A1BC1,则异面直线MP与A1C1所成角的取值范围是()A.B.C.D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题
4、给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021广东广州三模)对于空间中的两条不同直线a,b和两个不同平面,下列说法正确的是()A.若a,b,则abB.若ab,b,则aC.若a,b,则abD.若a,则a10.(2021湖北荆门月考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段BC1上运动,下列结论正确的是()A.三棱锥A-D1PC的体积不变B.直线AP与平面ACD1所成角的大小不变C.直线AP与直线A1D所成角的大小不变D.二面角P-AD1-C的大小不变11.(2021福建龙岩三模)在意大利,有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛
5、,这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo,于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trullo的屋顶,得到圆锥SO(其中S为顶点,O为底面圆心),母线SA的长为6 m,C是母线SA上靠近点S的三等分点.从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带,灯光带的最小长度为2 m.下面说法正确的是()A.圆锥SO的侧面积为12 m2B.过点S的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18 m2C.圆锥SO的外接球的表面积为72 m2D.棱长为 m的正四面体在圆锥SO内可以任意转动12.(2021新高考,12)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足=+,其中0,1,0,1,则()A.当=1
6、时,AB1P的周长为定值B.当=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值C.当=时,有且仅有一个点P,使得A1PBPD.当=时,有且仅有一个点P,使得A1B平面AB1P三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021辽宁大连期中)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30,则该圆锥的侧面积为.14.(2021河北石家庄期末)如图,已知二面角A-EF-D的大小为45,四边形ABFE与四边形CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是.15.(2021浙江绍兴二模)如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1A上的动点,N是棱BC的中点.当平面D1MN与平面A
7、BCD的夹角最小时,A1M=.16.(2021广东汕头二模)在菱形ABCD中,AB=2,DAB=60,E为AB的中点,将ADE沿DE翻折成A1DE,当三棱锥A1-DEC的体积最大时,三棱锥A1-DEC的外接球的表面积为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021广东韶关期中)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1,BCC1B1,ACC1A1的面积依次为16,12,20,E,F分别为A1C1,BC的中点.求证:(1)平面ABE平面BB1C1C;(2)C1F平面ABE.18.(12分)(2021河北张家口一模)如图,四边
8、形ABCD是正方形,PA平面ABCD,PAEB,且PA=PB=3.(1)求证:CE平面PAD;(2)若BE=PA,求直线PD与平面PCE所成角的正弦值.19.(12分)(2021北京石景山区模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PD底面ABCD,M为BC的中点,PBAM.(1)求证:平面PAM平面PBD;(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.20.(12分)(2021山东淄博三模)如图,在平面图形ABCD中,ABD是边长为4的等边三角形,DB是ADC的平分线,且BDBC,M为AD的中点,沿BM将ABM折起,得到四棱锥A1-BCDM,如图.图图(1)设平面A1BC与平面A1D
9、M的交线为l,在四棱锥A1-BCDM的棱A1C上求一点N,使直线BNl;(2)若二面角A1-BM-D的大小为60,求平面A1BD与平面A1CD的夹角的余弦值.21.(12分)(2021湖南长沙模拟)如图,C是以AB为直径的圆上异于点A,B的点,平面PAC平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点,设平面AEF与平面ABC的交线为直线l.(1)求证:直线l平面PAC.(2)直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF,直线EF所成的角互余?若存在,求出AQ的值;若不存在,请说明理由.22.(12分)(2021重庆蜀都中学月考)如图,在菱形ABCD中,ABC=12
10、0,动点E,F分别在边AD,AB上(不含端点),且存在实数,使=,沿EF将AEF向上折起得到PEF,使得平面PEF平面BCDEF,如图所示.图图(1)若BFPD,设三棱锥P-BCD和四棱锥P-BDEF的体积分别为V1,V2,求.(2)当点E的位置变化时,二面角E-PF-B是否为定值?若是,求出该二面角的余弦值;若不是,说明理由.专题过关检测四立体几何1.B解析 由直线m垂直于平面内的无数条直线不能推出m,但是由m一定能推出直线m垂直于平面内的无数条直线,所以“直线m垂直于平面内的无数条直线”是“m”的必要不充分条件.故选B.2.C解析 连接AE,BE(图略),设AB=1,则PA=2,AE=,P
11、E=,BE=2,PB=易知CDBE,所以PBE是直线CD与PB所成的角(或其补角).又cosPBE=,所以直线CD与PB所成角的余弦值为故选C.3.D解析 如图,AD平面ABB1A1,ADA1B.又AB1A1B,AB1AD=A,A1B平面AB1D,A1BB1D.同理BC1B1D.又A1BBC1=B,B1D平面A1BC1.又A1G平面A1BC1,A1GB1D.故G为线段BC1上任意一点.故选D.4.B解析 由题意可知内层小圆锥底面半径最大为,所以充氮区的体积最小为23+223-()24=故选B.5.C解析 依题意,圆柱O1O2的底面半径r=1,高h=2,所以圆柱O1O2的表面积S=2rh+2r2
12、=4+2=6.故选C.6.A解析 设球心O到截面的距离为d,截面圆的半径为r,由VO-ACM=VM-AOC,得SACMd=SAOC.因为SACM=2,SAOC=21=,所以d=又d2+r2=1,所以r=,所以平面AMC截球O所得截面的面积为r2=故选A.7.B解析 设AP=AB=1,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则P(0,0,1),D(0,1,0),C(1,1,0),所以=(1,1,-1),=(0,1,-1).设平面CDP的法向量m=(x,y,z),则取y=1,则x=0,z=1,所以m=(0,1,1)为平面CDP的一个法向量.易知n=(
13、0,1,0)为平面ABP的一个法向量.设平面ABP与平面CDP的夹角为,则cos =故选B.8.C解析 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设AB=2,则B(2,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),M(0,0,1),取AD的中点E,DC的中点F,连接ME,EF,MF,则E(1,0,0),F(0,1,0).因为=(1,0,-1),=(2,0,-2)=2,所以C1BME.同理EFA1C1.又ME平面A1BC1,C1B平面A1BC1,所以ME平面A1BC1.同理MF平面A1BC1.又MFME=M,所以平面MEF平面A1BC1.因为P是
14、底面ABCD内(包括边界)的一个动点,MP平面A1BC1,所以点P在线段EF上.因为EFA1C1,所以异面直线MP与A1C1所成的角即是直线MP与EF所成的角.当MPEF时,异面直线MP与A1C1所成的角最大为,当点P与点E或点F重合时,异面直线MP与A1C1所成的角最小为故所求角的取值范围为9.AC解析 对于A,由线面垂直的性质定理知A正确;对于B,若ab,b,则a或a,所以B错误;对于C,由a,可知a或a,又b,所以ab,所以C正确;对于D,若a,则a或a或a与相交,所以D错误.故选AC.10.ACD解析 对于A,因为BC1平面AD1C,所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离都相等,所以
15、三棱锥A-D1PC的体积不变,故A正确;对于B,因为BC1平面AD1C,所以点P到平面ACD1的距离不变,但AP的长度随着点P的移动而变化,所以直线AP与平面ACD1所成角的大小会改变,故B错误;对于C,因为直线A1D平面ABC1D1,AP平面ABC1D1,所以A1DAP,所以直线AP与直线A1D所成角的大小不变;故C正确;对于D,二面角P-AD1-C也就是二面角B-AD1-C,其大小不变,故D正确.故选ACD.11.AD解析 如图,设圆锥底面半径为r m,将圆锥侧面展开得到扇形ASA,在ASC中,AS=6 m,SC=2 m,AC=2 m,则cosASC=-,所以ASC=,所以2r=6=4,r
16、=2,所以圆锥的侧面积为26=12(m2),故A正确.在ASB中,cosASB=,sinASB=,易知过点S的平面截此圆锥所得截面面积最大为SSAB=SASBsinASB=66=8(m2),故B错误.设圆锥SO的外接球的半径为R m,则R2=(SO-R)2+r2,又SO=4,所以R2=(4-R)2+4,解得R=,所以圆锥SO的外接球的表面积为4R2=(m2),故C错误.设圆锥SO的内切球的半径为t m,则,解得t=,设棱长为 m的正四面体的外接球的半径为r1 m,将该正四面体放在棱长为的正方体中,可知该正四面体的外接球也是该正方体的外接球,易知r1=,因为r1t,所以棱长为 m的正四面体在圆锥
17、SO内可以任意转动,故D正确.故选AD.12.BD解析 图A项中,当=1时,+u=u,则共线,故点P在线段CC1(包括端点)上,如图所示.在AB1P中,|AB1|=,|AP|=,|B1P|=,故AB1P的周长L=|AB1|+|AP|+|B1P|不为定值,故A错误;图B项中,当u=1时,=,则共线,故点P在线段B1C1(包括端点)上,如图所示.由图可知B1C1平面A1BC,即B1C1上的每一点到平面A1BC的距离都相等,因此三棱锥P-A1BC的体积为定值,故B正确;图C项中,当=时,分别取线段BC,B1C1的中点D,D1,连接DD1,可知点P在线段DD1(包括端点)上,如图所示.取AC的中点O,
18、建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则B,0,0,C0,0,A10,-,1,P,从而,由=u(u-1)=0,得u=0或u=1.当点P与点D或D1重合时,满足A1PBP,故C错误;D项中,当u=时,分别取线段BB1,CC1的中点M,N,连接MN,可知点P在线段MN(包括端点)上,如图所示.图建系同选项C,则A0,-,0,A10,-,1,B,0,0,P,从而=,-1,=,四边形ABB1A1为正方形,显然A1BAB1.要使A1B平面AB1P,只需A1BAP,即=0,解得=1.当且仅当点P与点N重合时,A1B平面AB1P,故D正确.综上所述,选BD.13.39解析 体积V=62h=30,高h=,母线
19、长l=,S侧=rl=6=39.14解析 ,|2=|2+|2+|2+2+2+2由题意可知|=|=|=1,=0,=0,=11cos 135=-,|=故B,D两点间的距离是15解析 如图,建立空间直角坐标系,则N(2,4,0),D1(0,0,4),设M(4,0,a)(0a4),所以=(-2,4,-a),=(2,4,-4).设平面D1MN的法向量为n=(x,y,z),则解得令z=8,则x=8-2a,y=a+4,所以n=(8-2a,a+4,8)为平面D1MN的一个法向量.易知m=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.设平面D1MN与平面ABCD的夹角为,则cos =,当a=时,cos 取最大值,则取
20、最小值,所以A1M=4-16.8解析 如图,由余弦定理,得DE=,CE=,所以AE2+DE2=AD2,DC2+DE2=CE2,即AEDE,DCDE.分别取CE,A1C的中点F,M,连接FM,则F为RtDEC的外心,因为DEC的面积为定值,所以当平面A1DE平面DEC时,点A1到平面DEC的距离最大,此时三棱锥A1-DEC的体积最大,又A1EDE,所以A1E平面DEC.由F,M分别为CE,A1C的中点,得FMA1E,所以FM平面DEC,易知M是三棱锥A1-DEC的外接球的球心.因为A1C2=A1E2+CE2=1+7=8,所以所求外接球的表面积S=4=8.17.证明 (1)在直三棱柱ABC-A1B
21、1C1中,BB1平面ABC,AB平面ABC,BB1AB.侧面ABB1A1,BCC1B1,ACC1A1的面积依次为16,12,20,ABBCAC=435,AB2+BC2=AC2,即ABBC.又BB1BC=B,AB平面BB1C1C,又AB平面ABE,平面ABE平面BB1C1C.(2)如图,取AB的中点G,连接EG,GF.G,F分别为AB,BC的中点,GFAC,GF=AC.E为A1C1的中点,EC1=A1C1=AC.又A1C1AC,EC1GF,EC1=GF,四边形EGFC1为平行四边形,C1FEG.又C1F平面ABE,EG平面ABE,C1F平面ABE.18.(1)证明 因为四边形ABCD是正方形,所
22、以BCAD.又AD平面PAD,BC平面PAD,所以BC平面PAD.同理EB平面PAD.又BCEB=B,所以平面EBC平面PAD.又CE平面EBC,所以CE平面PAD.(2)解 以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.因为PA=AB=3,所以BE=PA=1,所以P(0,0,3),D(3,0,0),C(3,3,0),E(0,3,1),所以=(3,0,-3),=(3,3,-3),=(0,3,-2).设平面PCE的法向量为m=(x,y,z),则得令z=3,则x=1,y=2,所以m=(1,2,3)为平面PCE的一个法向量.设直线PD与平面PCE所成的角为,
23、则sin =|cos|=,所以直线PD与平面PCE所成角的正弦值为19.(1)证明 因为PD底面ABCD,AM平面ABCD,所以PDAM.又PBAM,PBPD=P,所以AM平面PBD.又AM平面PAM,所以平面PAM平面PBD.(2)解 由(1)可知AM平面PBD,所以AMBD,所以DABABM.设BM=x,则AD=2x,由,即,得2x2=1,解得x=,所以AD=因为PD底面ABCD,所以四棱锥P-ABCD的体积为11=20.解 (1)如图,延长CB,DM相交于点E,连接A1E.因为点A1,E既在平面A1BC内,又在平面A1DM内,所以直线A1E即为平面A1BC与平面A1DM的交线l.因为DB
24、是ADC的平分线,且BDBC,所以B为EC的中点.取A1C的中点N,连接BN,则BNA1E,即BNl.故当N为棱A1C的中点时,BNl.(2)由题意可知BMA1M,BMMD,则A1MD为二面角A1-BM-D的平面角,所以AMD=60.又A1M=MD,所以A1MD为等边三角形.取MD的中点O,连接A1O,则A1OMD.由BMA1M,BMMD,A1MMD=M,可知BM平面A1MD,所以BMA1O.又BMMD=M,所以A1O平面BCDM.如图,建立空间直角坐标系.则D(-1,0,0),A1(0,0,),C(-5,4,0),B(1,2,0),所以=(1,0,),=(-4,4,0),=(2,2,0).设
25、平面A1CD的法向量m=(x,y,z),则令z=-,则x=3,y=,所以m=(3,-)为平面A1CD的一个法向量.设平面A1BD的法向量为n=(a,b,c),则令c=-,则a=3,b=-,所以n=(3,-,-)为平面A1BD的一个法向量.设平面A1BD与平面A1CD的夹角为,则cos =|cos|=,所以平面A1BD与平面A1CD的夹角的余弦值为21.(1)证明 E,F分别是PC,PB的中点,BCEF.又EF平面AEF,BC平面AEF,BC平面AEF.又BC平面ABC,平面AEF平面ABC=l,BCl.BCAC,平面PAC平面ABC=AC,平面PAC平面ABC,BC平面ABC,BC平面PAC.
26、l平面PAC.(2)解 如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0,),E,0,F,2,.所以=(0,2,0).由题意可设Q(2,y,0),平面AEF的法向量为m=(x,y,z),则取z=,则x=1,y=0,所以m=(1,0,)为平面AEF的一个法向量.又=(1,y,-),所以|cos|=,|cos|=,依题意,|cos|=|cos|,解得y=1.故直线l上存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF,直线EF所成的角互余,此时AQ=1.22.解 (1)取EF的中点G,连接PG.因为=,所以EFBD,所以PE=PF,所以PGEF.又平面PEF平面BCDEF,平面PEF平
27、面BCDEF=EF,PG平面PEF,所以PG平面BCDEF.连接GC,由题意可知GCEF.以G为坐标原点,GF,GC,GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.设菱形的边长为2,则F(,0,0),B(1,(1-),0),P(0,0,),D(-1,(1-),0),所以=(1-,(1-),0),=(1,-(1-),).因为BFPD,所以=1-3(1-)2=0,解得=或=1(舍去).设BCD的面积为S,则SAEF=S,所以S四边形BDEF=S.所以(2)二面角E-PF-B是定值.证明如下:由(1)知n1=(0,1,0)为平面PEF的一个法向量.设平面PFB的法向量为n2=(x,y,z),因为=(1-,(1-),0),=(-,0,),所以取y=1,则x=-,z=-1,所以n2=(-,1,-1)为平面PFB的一个法向量.设二面角E-PF-B的平面角为,所以|cos |=|cos|=由图可知为钝角,所以二面角E-PF-B为定值,其余弦值来为-
