1、广东省佛山市顺德区容山中学2021届高三数学10月月考试题一、 单选题 （本题 10小题，每题 5 分，共计50分）1. 已知集合，则AB中元素的个数为（ ）A2B3C4D52. 已知复数在复平面内对应的点在直线上，则实数（ ）A-2B-1C1D23. 已知随机变量X服从正态分布N(0，1)，如果P(X1)=08413，则（ ）A0.6826B0.3413C0.1587D0.07944. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A36种B24种C18种D12种5. 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科其中把部分与整体以某种方式相似
2、的形体称为分形分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如图2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为（ ）A B C D 6. 已知 ，为第三象限角，则（ ）A B C D 7. 在正方体中，为棱的中点，则
3、（ ）ABCD8. 已知抛物线相交于A，B两点，点M为劣弧上不同A，B的一个动点，平行于轴的直线MN交抛物线于点N，则的周长的取值范围为（ ）A(3，5)B(5，7)C(6，8D (6，8)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9. 已知曲线，则下面结论正确的是（ ）A把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线B把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标
4、变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线D把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线10. 等差数列的前项和记为，若，则（ ）A B C D当且仅当时11. 下列命题中，结论正确的有（ ）AB若，则C若，则ABCD四点共线；D在四边形中，若，则四边形为菱形12. 若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为（ ）A2B0C1D三、 填空题 （本题共计 4小题，每题5分，共计20分）13. 的展开式中常数项是_（用数字作答）14. 以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_15. 平面向量与的夹角为，且，为单位向量，则_16. 已知P，A，B，
5、C是球O的球面上的四个点，平面，则球O的表面积为_四、 解答题 （本题共6小题，共计70分）17. 现给出两个条件：2cb2acosB，（2bc）cosAacosC从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若有_，（1）求A；（2）若a1，求ABC面积的最大值18. 记数列的前项和为，已知，设（1）证明：数列为等比数列；（2）设，为数列的前项和，求19. 如图，在四棱锥中，平面，过点做四棱锥的截面，分别交于点，已知，为的中点（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值20. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物
6、数量有所增加为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，（1）求该地区这种野生动物数量估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法
7、，并说明理由附：相关系数r=，1.41421. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点P(,)是椭圆上一点，是和的等差中项（1）求椭圆的标准方程；（2）若为椭圆的右顶点，直线与轴交于点，过点的另一直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程22. 已知函数，其中e是自然对数的底数，（1）求函数的单调区间；（2）设，讨论函数零点的个数，并说明理由 容山中学2021届高三第一次月考数学（教师版）一、 单选题 （本题 10小题，每题 5 分，共计50分）1. 已知集合，则AB中元素的个数为（ B ）A2B3C4D52. 已知复数在复平面内对应的点在直线上，则实数（ C ）A-2B-1C1D23. 已知随机变量X服从
8、正态分布N(0，1)，如果P(X1)=08413，则（ B ）A06826B03413C01587D007944. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(A)A36种B24种C18种D12种5. 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，其构
9、造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如图2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为（ C ）A B C D 6. 已知 ，为第三象限角，则（ D ）A B C D 7. 在正方体中，为棱的中点，则AABCD8. 已知抛物线相交于A，B两点，点M为劣弧上不同A，B的一个动点，平行于轴的直线MN交抛物线于点N，则的周长的取值范围为（ D ）A(3，5)B(5，7)C(6，8D (6，8)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多
10、项符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9. 已知曲线，则下面结论正确的是（ AC ）A把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线B把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线D把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线10. 等差数列的前项和记为，若，则（ ABC ）A B C D当且仅当时11. 下列命题中，结论正确的有（ BD ）AB若，则C若，则ABC
11、D四点共线；D在四边形中，若，则四边形为菱形12. 若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为（ BCD ）A2B0C1D【解析】由与恒过，如图，当时，两函数图象恰有一个公共点，当时，函数与的图象恰有一个公共点，则为的切线，且切点为，由，所以，综上所述，或故选：BCD三、 填空题 （本题共计 4小题，每题5分，共计20分）13. 的展开式中常数项是_（用数字作答）【答案】24014. 以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_【答案】15. 平面向量与的夹角为，且，为单位向量，则_【答案】16. 已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，平面，则球O的表面积为_【答案】四、
12、解答题 （本题共6小题，共计70分）17. 现给出两个条件：2cb2acosB，（2bc）cosAacosC从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若有_，（1）求A；（2）若a1，求ABC面积的最大值【解析】选择条件：2cb2acosB，（1）由余弦定理可得2cb2acosB2a，整理可得c2+b2a2bc，可得cosA，A（0，），A（2）a1，A，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得（1）2b2+c22bc，42b2+c2bc2bcbc，可得bc2，SABCbcsinA，即ABC面积的最大值为选择条件：（2bc
13、）cosAacosC（1）由题意可得2bcosAacosCccosA，2sinBcosA（sinAcosC+sinCcosA）sin（A+C）sinB，sinB0，可得cosA，A（0，），A（2）a1，A，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得（1）2b2+c22bc，42b2+c2bc2bcbc，可得bc2，SABCbcsinA，即ABC面积的最大值为18. 记数列的前项和为，已知，设（1）证明：数列为等比数列；（2）设，为数列的前项和，求【解析】（1）由得 -1分两式相减得 -3分， -5分数列为公比为的等比数列 -6分（2）由， -7分 -8分 -10分 -12分19. 如图，在
14、四棱锥中，平面，过点做四棱锥的截面，分别交于点，已知，为的中点（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值【解析】（1）证明：在上取点，且满足， -1分连接，则，且， -2分因为，所以，且所以是平行四边形， -3分所以， -4分 又因为平面，平面，所以平面； -5分（2）过点做与平行的射线，易证两两垂直，所以，以为轴，以为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，-6分 则有 -7分设平面的法向量为，则，令，解得所以是平面的一个法向量 -8分因为点在上，所以因为平面，所以，解得，所以 或如下证法：因为平面且平面平面，所以，所以，因为为中点，所以为中点，所以，所以， -10分 设平面的法向量为，则，令，
15、解得 -11分所以是平面的一个法向量，所以与平面所成角的正弦值为 -12分20. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，（1）求该地区这种野生动物数量估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，20)的相关系数（精确到001）；（3）根据现有
16、统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由附：相关系数r=，1414【解析】（1）样区野生动物平均数为，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为（2）样本(i=1，2，20)的相关系数为（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点
17、是椭圆上一点，是和的等差中项（1）求椭圆的标准方程；（2）若为椭圆的右顶点，直线与轴交于点，过点的另一直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程【解析】（1）因为是和的等差中项，所以，得 -1分又在椭圆上，所以，所以， -2分， -3分可得椭圆的标准方程为 -4分（2）因为，由（1）计算可知 -5分当直线与轴垂直时，不合题意 -6分当直线与轴不垂直时，设直线的方程为联立直线与椭圆的方程，可得设 ，由韦达定理可得-， -7分由，可得，又，所以，得， -9分带入，可得，所以，解得-11分所以直线的方程为 -12分22. 已知函数，其中e是自然对数的底数，（1）求函数的单调区间；（2）设，讨论函数零点的个数，并说明理由【解析】（1）因为，所以1分由；由2分所以由的增区间是，减区间是3分（2）因为由，得4分设，又不是的零点，故只需再讨论函数零点的个数因为，所以当单调递减；当单调递增5分所以当取得最小值6分当无零点；7分当有唯一零点；8分当，因为，所以上有且只有一个零点9分令设，所以上单调递增，所以，所以10分所以上有且只有一个零点所以当有两个零点11分综上所述，当有一个零点；当有两个零点；当有三个零点12分
