1、章末知识整合 整合网络构建专题1求数列的通项公式一、观察法典例1写出以下数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数(1)1，；(2)1，2，3，4；(3)3，7，15，31，；(4)2，6，2，6，.分析：观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系，每一项分子与分母的关系，前后项间的关系归纳通项解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，故有：an(1)n.(2)11，22，33，44，故ann(nN*)(3)正负相间，且负号在奇数项，故可用(1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，所以an(1)n(2n11)(4)这样的摆动数列，一般求两数的
2、平均数4，而242，642，中间符号用(1)n来表示an4(1)n2或an归纳拓展(1)观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键(2)由数列的前n项归纳出的通项公式不一定唯一如数列5，0，5，0，5，的通项公式可为5cos(nN*)，也可为an5sin(nN*)(3)已知数列的前n项，写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列如(1)n，n，2n1，2n，2n1，n2，等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式变式训练1写出下列数列的一个通项公式(1)1，；(2)，2，2，；(3)1，3，6，10，15，；(4)1，4，7，10，13，.解：(1)an(1)n1(nN*)(
3、2)原数列可写成， ，易得an(nN*)(3)因为312，6123，101234，1512345，所以an123n(nN*)(4)因为1，4，7，10，13，组成1为首项，3为公差的等差数列，易得an(1)n1(3n2)(nN*)二、利用an求an典例2数列an的前n项和为Sn，已知an5Sn3(nN)，求an的通项公式分析：利用an将式中的Sn去掉求解解：当n1时，a15S135a13，得：a1，当n2时，由已知an5Sn3，得：an15Sn13，两式作差得anan15(SnSn1)5an，所以anan1.所以数列an是首项a1，公比q的等比数列所以ana1qn1.归纳拓展已知数列的前n项和
4、公式，求数列的通项公式，其方法是anSnSn1(n2)这里常常因为忽略了n2的条件而出错，即由anSnSn1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n1时Sn1S0，而与前n项和定义矛盾可见由anSnSn1所确定的an，当n1时的a1与S1相等时，an才是通项公式，否则要用分段函数表示为an变式训练2设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求an的通项公式解：(1)当n1时，T12S11，而T1S1a1，所以a12a11，解得a11.(2)n2时，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22Sn2Sn12n1.所以Sn2S
5、n12n1，Sn12Sn2n1.得an12an2，即an122(an2)，亦即2.a123，a226，2，所以an2是首项为3，公比为2的等比数列所以an232n1，故an32n12(nN*)三、叠加法典例3已知a11，an1an2nn.(1)求a2，a3；(2)求证：an2n1.分析：由数列an的递推公式，令n1，2逐项求出a2，a3；由递推公式的特点，可采用叠加法求通项(1)解：因为a11，所以a2a1212，a3a22224.(2)证明：因为an1an2nn，所以a2a1211，a3a2222，a4a3233，当n2时，anan12n1(n1)所以n2时，将以上(n1)个式子相加，得an
6、a1(21222n1)12(n1)，所以an2n1.而n1时，a11也适合上式所以数列an的通项公式为an2n1.归纳拓展(1)对n1时，检验a1 1是否满足an是必要的，否则就要写成分段函数的形式(2)如果给出数列an的递推公式为anan1f(n)型，并且f(n)容易求和，这时可采用叠加法对n1检验是必要的，否则就要写成分段函数的形式，这里说的f(n)易求和，指的是f(n)的形式为等差数列前n项和、等比数列前n项和，或是常见的特殊公式，如122232n2等变式训练3已知数列an满足an1ann2，且a11，求an的通项公式解：因为an1ann2，所以an1ann2.所以叠加即得ana1122
7、2(n1)2，所以ann(n1)(2n1)1(nN*)四、叠乘法典例4已知数列an满足a11，nan1(n2)an，求an.分析：数列an中的递推公式可化为可采用叠乘法求通项解：因为，所以n2时，即.又因为a11，所以an.而a11也适合上式，所以an的通项公式为ann(n1)归纳拓展如果数列an的递推公式为f(n)型时，并且f(n)容易求前n项的积，这时可采用叠乘法叠乘的目的是使分子、分母相抵消变式训练4在数列an中，已知a1，an12nan，求an.解：由an12nan得2n，所以21，22，2n1.叠乘得2222n12，所以an22(nN*)五、构造转化法典例5已知an中，a1，an1a
8、n，求an.分析：两边同除以，可转化为bn1bnt的形式，即bn为等差数列解：在an1an的两边同乘以2n1，得2n1an12nan1，令bn2nan，则bn1bn1.于是bn是以为首项，以1为公差的等差数列则bn(n1)1，即2nann，故an.归纳拓展根据已知条件构造一个与an有关的新的数列，通过新数列通项公式的求解求得an的通项公式新的数列往往是等差数列或是等比数列例如形如anpan1q(p，q为常数)的形式，往往变为anp(an1)，构成等比数列，求an通项公式，再求an.变式训练5已知数列an中，a12，an13an2，求an.解：由an13an2，设an1k3(ank)，其中k是待
9、定系数，即an13an2k与条件进行对比，得2k2，所以k1.故an113(an1)，所以an1是211为首项，公比为3的等比数列所以an113n1.所以an3n11(nN*)专题2数列的求和一、公式法典例6(1)求147(3n1)的值；(2)若数列xn满足logaxn11logaxn(nN*，a0，且a1)且x1x2x3x100100，求x101x102x200的值分析：(1)中1，4，7，3n1是个等差数列，但容易这样求解：Snn.这是错误的，错在没搞清此数列有多少项(2)可以作个变换logaxn1logaxnloga1，推导出xn是等比数列再求解解：(1)因为数列中3011，所以第1项1
10、是n0时得到的所以此数列是首项为1，末项为3n1，项数为n1的等差数列所以Sn1.(2)由logaxn11logaxn得logaxn1logaxn1，所以loga1.所以a.所以数列xn是公比为a的等比数列由等比数列的性质得：x101x102x200(x1x2x100)a100100a100.归纳拓展数列求和常用的公式有：等差数列：Snna1d.等比数列：Sn123nn(n1)2122232n2n(n1)(2n1)变式训练6设an为等比数列，bn为等差数列，且b10，cnanbn，若cn是1，1，2，求cn的前10项之和解：设an的首项为a，公比为q，bn首项为b，公差为d，b10，由c1a1
11、b11，知a11.c2a2b2qd1，c3a3b3q22d2，解得q2，d1，所以an2n1(nN*)，bn1n(nN*)所以cn2n1(1n)(nN*)所以cn前10项和为a1a2a10(b1b2b10)978.二、分组求和法典例7求数列an的前2n项和，分析：由数列an的通项可知，数列an中的奇数项构成一个等差数列，偶数项构成一个等比数列，故可将所有奇数项分成一组，将所有的偶数项分成一组求和解：因为2n为偶数所以奇数项与偶数项各有n项，所以S2n135(2n1)(22242622n)n2(4n1)归纳拓展将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，运用
12、的是化归的数学思想，通项变形是这种方法的关键变式训练7已知数列an的通项公式为ann(n1)，求an的前n项和Sn.解：ann(n1)nn2(nN*)，所以Sn(123n)(122232n2).三、裂项相消法典例8求和：，n2.分析：由于通项an(n2)，所以采用裂项相消法解：因为，所以原式.归纳拓展裂项相消求和就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，从而达到求和的目的常见的拆项公式有：(1)；(2)；(3)；(4)()；(5)anSnSn1(n2)变式训练8已知数列an的通项公式为an，求an的前n项和Sn.解：因为，所以Sn1.四、错位相减法典例9求数列n22n1的
13、前n项和分析：该数列为非等差非等比数列，其通项ann22n1可看成一个等差数bnn，与一个等比数列Cn22n1相应项的积，所以本题可用错位相减法求解解：Sn12223325n22n1，从而22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n12归纳拓展若数列an是等差数列，数列bn是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为anbn，当求该新数列前n项和时，常常采用将anbn的各项乘以公比，并向后错一项与anbn的同项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种求和的方法称为错位相减法变式训练9求和：Sn12422723(3n2)2n.解
14、：因为Sn124227233(n1)22n1(3n2)2n，2Sn1224233(n1)22n(3n2)2n1，所以得Sn1232232332n(3n2)2n13(2222n)(3n2)2n143(2n12)(3n2)2n1432n163n2n12n242n23(1n)2n110.所以Sn3(n1)2n12n210.五、倒序相加法求和典例10已知函数对一切xR，f(x)f(1x)1.求f(0)fffff(1)解：因为Sf(0)fffff(1)，将式右边反序得Sf(1)fffff(0)，得2Sn1，所以S.归纳拓展倒序相加法是推导等差数列前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排序(反序)
15、，再把它与原数列相加，这样就得数列akan1k(k1，2，n)的前n项和，若该数列为等差(或等比)数列，则an可用倒序相加法求和变式训练10设f(x)，求和Sf(2 014)f(2 013)f(2 012)f(1)ffff.解：因为f(x)，所以f.所以f(x)f1.Sf(2 014)f(2 013)f(1)ff，又Sfff(1)f(2)f(2 014)，两式相加得2S2 0142 013，所以S.专题3数列应用题一、与等差数列有关的实际应用题典例11一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后
16、一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多长时间？分析：由于本题每隔相等的时间关闭一个水龙头，使每个水龙头放水的时间构成等差数列故可利用等差数列，前n项和的知识求解解：设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x1，x2，xn，由已知可知x2x1x3x2xnxn1，所以数列xn成等差数列每个水龙头1 min放水(这里不妨设水池的容积为1)，所以(x1x2xn)1，即Sn24n.所以24n.所以x1xn48.又因为xn5x1，所以6x148.所以x18，xn40.故最后关闭的水龙头放水40 min.归纳拓展建
17、立数学模型的一般步骤：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，根据题意列出满足题意的数学关系式(如函数关系式或方程或不等式)建立数列模型时，应明确是否是等差数列模型，是求an，还是求Sn，n是多少变式训练11有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存，到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取，它的本利和公式如下
18、：本利和每期存入金额.(1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元，月利率为5.1，则到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1，希望到第12个月底取得本利和2 000元，那么每月初应存入多少钱？解：(1)设每期存入金额为A，每期利率为p，存的期数为n，则各期利率之和为Ap2Ap3ApnApn(n1)Ap，连同本金可得本利和nAn(n1)ApA.(2)当A100，p5.1，n12时，本利和1001 239.78(元)(3)将(1)中公式变形，得A161.32(元)，即每月初应存入161.32元二、与等差、等比数列有关的综合应用题典例12某工厂三年的生产计
19、划中，从第二年起，每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划的年产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，求原计划中每年的产值分析：将实际问题转化为数列，弄清哪部分为等差数列或等比数列，结合等差、等比数列性质求解解：由题意得原计划三年中每年的产值组成等差数列，设为ad，a，ad(d0)，则有(ad)a(ad)300，解得a100.又由题意得(ad)10，a10，(ad)11组成等比数列，所以(a10)2(ad)10(ad)11将a100代入上式，得1102(110d)(111d)，所以d2d1100，解
20、得d10，或d11(舍)所以原计划三年中每年的产值分别为90万元、100万元、110万元归纳拓展读懂题意，将实际问题转化为等差或等比数列问题，找准首项，公差(公比)，弄清求什么混合型应用题常有两种解法：一是归纳法，归纳出前n次(项)，寻找规律，再写出前n次(项)的通项(前n项和)，此时要注意下标或指数的规律二是逆推法，寻找前后两项的逆推关系，再从逆推关系求an，Sn，此时应注意第(n1)次变到第n次的变化过程变式训练12某地房价从2004年的1 000元/m2增加到十年后2014年的5 000元/m2，问平均每年增长百分之几？注意：当x(0，0.2)时，ln(x1)x，取lg 20.3，ln 102.3解：设年增长率为x，则每年的房价依次排列组成首项为1 000，公比为(1x)的等比数列由题意可得1 000(1x)105 000，即(1x)105.取自然对数有10ln(1x)ln 5ln 10lg 52.3(1lg 2)1.61，再利用ln(x1)x，可得x0.1616%.故每年约增长16%.
