1、扬州市20142015学年度第四次调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案第一部分1已知集合，则 2，42设复数满足，则_3命题“”的否定是 4已知为第三象限角，且，则 5从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是 6已知向量，.若向量与向量共线，则实数 17锐角中角的对边分别是，, 的面积为, 则 8用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 9已知等比数列的前项和为，若，则等于 110若函数的图象过点，则该函数图象在点处的切线倾斜角等于 析：函数的图象经过点，11若直线截半圆所得的弦长为，则 12平面内四点满足，则面积的最大值
2、为 13已知椭圆E：的右焦点为F，离心率为，过原点O且倾斜角为的直线与椭圆E相交于A、B两点，若AFB的周长为，则椭圆方程为 析：由已知，椭圆方程可化为：，将代入得，由椭圆对称性，AFB的周长=，可得14已知函数， 若，则的取值范围是 析：当时，得在上是增函数，在上是减函数，当时有极大值；当时，恒成立，是减函数，且设，由得，即对恒成立，当时，而，不合题意；当时，得15如图，三棱锥中，侧面是等边三角形，是的中心 若，求证； 若上存在点，使平面，求的值证连并延长交于，连 因为是等边的中心，所以是的中点， 2分 又因为，平面， 所以平面， 5分 因为平面，所以； 7分 平面，所以平面， 因为上存在点
3、，所以平面， 所以平面， 9分 又平面，平面平面， 所以， 12分 在中，因为，所以 14分16的内角满足(单位向量互相垂直)，且 求的值； 若，边长，求边长解因为，即， 3分所以，化简整理，得，故=. 7分(2)由(1)可知为锐角因为，所以， 12分因为正弦定理，所以，所以边长 14分17一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.6立方米为保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用与保护
4、罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元 若保护罩的底面边长为米，求气体费用与保险费用的和； 为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？解； 4分 保护罩的底面边长为米，底面积为平方米，体积为立方米，总费用为元，则 =，（）9分 ，令得，当时，递减；当时，递增当时，有极小值即最小值答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为2米 14分18已知椭圆的左顶点为，右焦点为，右准线为，与轴相交于点，且是的中点求椭圆的离心率；过点的直线与椭圆相交于两点，都在轴上方，并且在之间，且记的面积分别为，求；若原点到直线的距离为，求椭圆方程解因为是的中点，所以，即，又
5、、，所以，所以； 4分解法一：过作直线的垂线，垂足分别为，依题意，又，故，故是的中点， 又是中点，； 8分解法二：，椭圆方程为，设，点在椭圆上，即有，同理，又，故得是的中点， 又是中点，； 8分解法一：设，则椭圆方程为， 由知是的中点，不妨设，则， 又都在椭圆上，即有即两式相减得：，解得， 10分可得，故直线的斜率为， 13分 直线的方程为，即 原点到直线的距离为，依题意，解得， 故椭圆方程为 16分解法二：设，则椭圆方程为， 由知是的中点，故，直线的斜率显然存在，不妨设为，故其方程为，与椭圆联立，并消去得：，整理得：，（*）设，依题意：由解得： 所以，解之得：，即 直线的方程为，即原点到直线
6、的距离为，依题意，解得， 故椭圆方程为 16分19设个正数依次围成一个圆圈其中 是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列 若，求数列的所有项的和； 若，求的最大值； 是否存在正整数，满足？若存在，求出值；若不存在，请说明理由解依题意，故数列即为共10个数，此时， 4分由数列是首项为、公差为的等差数列知，而是首项为、公比为的等比数列知，故有，即必是的整数次幂，由知，要使最大，必须最大， 又，故的最大值，从而，的最大值是 9分由数列是公差为的等差数列知，而是公比为的等比数列，故，又，则，即，则，即， 显然，则所以，将一一代入验证知，当时，上式右端为，等式成立，此时，综上可得：当且仅当时，存在满足等
7、式 16分20设函数，(其中，是自然对数的底数）若函数没有零点，求实数的取值范围；若函数的图象有公共点，且在点有相同的切线，求实数的值；若在恒成立，求实数的取值范围解由得，显然，都不是此方程的根，当时，没有实根，则，由得：，故当时，函数没有零点； 3分，设它们的公共点为，则有即也就是当时，无解；当时，；8分由题得在上恒成立，因为，故，所以在上恒成立，故在上恒成立，所以，. 10分解法一：不等式恒成立等价于在上恒成立，令，则，再设，则，同时，当时，则在上单调递减， 在上单减， 即在上恒成立，当时，因为，所以，则在上单调递减， 在上单减，即在上恒成立，当时，若，则，即在上单调递增，所以即在上也单调
8、递增，即，不满足条件.综上，在上恒成立时，实数的取值范围是. 16分解法二：不等式恒成立等价于在上恒成立，设，则，再设，则同时，当时，故函数是上的增函数所以，所以函数是上的增函数，所以当时，即，与在上恒成立不符，当时，故函数是上的减函数所以，函数是上的减函数，所以当时，即在上恒成立，当时，当时，故函数是上的增函数所以在上，所以函数是上的增函数，所以当时，即，与在上恒成立不符，综上可得，使在上恒成立实数的取值范围是第二部分21B已知矩阵，计算解法一：矩阵的特征多项式为，令，解得，对应的一个特征向量分别为， 5分令，得， 10分解法二：因为， 5分所以 10分21C已知圆的极坐标方程是，以极点为平
9、面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数）若直线与圆相切，求正数的值解：由，得，所以，即圆方程为 4分又由，消得， 8分因为直线与圆相切，所以得，又，所以 10分22如图，平行四边形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，且，为中点求异面直线与所成的角；求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值解：在中，所以所以，所以又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面如图，建立空间直角坐标系，则设异面直线与所成的角为，则所以异面直线与所成的角为； 5分是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则，得，取，则，故是平面的一个法向量，设平面与平面所成的二面角（锐角）为，则 10分23设集合，集合，集合中满足条件“”的元素个数记为求和的值；当时，求证：解，； 3分设集合，若，即中有个取自集合，个取自集合，故共有种可能，即为，同理，即中有个取自集合，个取自集合，故共有种可能，即为，若，即中有个取自集合，个取自集合，故共有种可能，即为，所以，因为当时，故所以 10分
