1、导数及其应用测试第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(2017荆门调研)曲线f(x)xex在点A(0,f(0)处的切线斜率为()A0 B1 C1 De2(2017济宁二模)已知函数f(x)x(2014lnx),f(x0)2015,则x0()Ae2 B1 Cln2 De3由直线x,xk(k0),曲线y及x轴围成图形的面积为2ln 2,则k的值为()A2 B. C2或 D.或14如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象,则下列判断中正确的是()A函数f(x)在区间(3,0)上是减函数B函数f(x)在区间(3,2)上是减函数C
2、函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D函数f(x)在区间(3,2)上是单调函数5(2017黄冈质检)定义在区间(0,)上的函数yf(x)使不等式2f(x)xf(x)3f(x)恒成立,其中yf(x)为yf(x)的导数,则()A816 B48C34 D236(2017东北三校一联)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象为一条连续不断的曲线,f(1x)f(1x),f(1)a,且当0x1时,f(x)的导函数f(x)满足f(x)f(x),则f(x)在2 015,2 016上的最大值为()Aa B0 Ca D2 0167(2017江南十校联考)已知函数f(x)alnxx2bx存在极小值,且对于b的所有可能
3、取值,f(x)的极小值恒大于0,则a的最小值为()Ae3 Be2 Ce D8(2017广西二市模拟)由曲线yx2和曲线y围成的一个叶形图如图所示,则图中阴影部分的面积为()A. B.C. D.9若函数f(x)cosx2xf,则f与f的大小关系是()Aff BffCff D不确定10已知函数f(x)x33x,过A(1,m)(m2)可作曲线f(x)的三条切线,则实数m的取值范围是()A(1,1) B(2,3)C(2,1) D(3,2)11(2017衡水二模)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),满足f(x)f(x),且f(0)1,则不等式f(x)ex的解集为()A(,e4) B(e4,)
4、C(,0) D(0,)12若x1,x2(x1x2)为函数f(x)相邻的两个极值点,且在x1,x2处分别取得极小值和极大值,则定义f(x2)f(x1)为函数f(x)的一个极优差函数f(x)ex(sin xcos x)(x2013)的所有极优差之和为()A. BC. D.第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中的横线上13(2017合肥一模)已知函数f1(x)sinxcosx,f2(x)f1(x),f3(x)f2(x),fn(x)fn1(x),则f2017(x)_.14(2017太原五市检测)函数f(x)x3ax2bxa2在x1时有极值10,则a的值为_15(2017陕西
5、一检)已知曲线yxlnx在点(1,1)处的切线为l,若l与曲线yax2(a2)x1相切,则a_.16已知函数f(x)aln(x1)x3的导函数f(x)1在区间(0,1)上恒成立,则实数a的取值范围为_三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)设有抛物线C:yx2x4,过原点O作C的切线ykx,使切点P在第一象限(1)求k的值;(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标18.(本小题满分12分)已知函数f(x)exax(e为自然对数的底数)(1)当aN,且e2f(x)dxe1时,求f(x)的最小值;(2)设不等式f(x
6、)x的解集为P,且x|0x2P,求实数a的取值范围19(本小题满分12分)(2017广西三市调研)已知函数f(x)xeaxlnxe(aR)(1)当a1时,求函数yf(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程;(2)设g(x)lnxe,若函数h(x)f(x)g(x)在定义域内存在两个零点,求实数a的取值范围20(本题满分12分)已知函数f(x)lnx,其中aR.(1)当a4时,求f(x)的极值点;(2)讨论并求出f(x)在其定义域内的单调区间21(本题满分12分)设函数f(x)k(k为常数,其中e是自然对数的底数)(1)当k0时,求函数f(x)的极值点;(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个
7、极值点,求k的取值范围22(本题满分12分)已知函数f(x)ln.(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求证:当x(0,1)时,f(x)2;(3)设实数k使得f(x)k对x(0,1)恒成立,求k的最大值1Cf(x)exxex(x1)ex,f(0)(01)e01,故在点A处的切线斜率为1,故选C.2B由题意可知f(x)2014lnxx2015lnx.由f(x0)2015,得lnx00,解得x01.34A当x(3,0)时,f(x)0,f(x)为增函数;当x(2k,2k2)时,f(x)1,所以f(x)x21,所以ax3x2x1成立设g(x)x3x2x1,则g(x)3x22x1,
8、当1x2时,函数g(x)0,所以g(x)在(1,2)单调递增,所以g(x)在1,2上的最大值为g(x)maxg(2)9,所以a9,即a的取值范围为9,)17解析:(1)设点P的坐标为(x1,y1),则y1kx1,y1xx14,代入得xx140.P为切点,2160得k或k.当k时,x12,y117.当k时,x12,y11.P在第一象限,所求的斜率k.(2)过P点作切线的垂线,其方程为y2x5.将代入抛物线方程得x2x90.设Q点的坐标为(x2,y2),即2x29,x2,y24.Q点的坐标为.18解析:(1)f(x)dx(exx2) e1,由e2f(x)dxe1,得e2e1e1,0a2,又aN,a
9、1.f(x)exx,f(x)ex1,令f(x)0,解得x0;令f(x)0,解得x0.从而在(,0)内单调递减,(0,)内单调递增所以当x0时,f(x)取得最小值1.6分(2)因为不等式f(x)x的解集为P,且x|0x2P,所以,对任意的x0,2,不等式f(x)x恒成立,由f(x)x得(1a)xex.当x0时,上述不等式显然成立,故只需考虑x(0,2的情况将(1a)xex变形得a1,令g(x)1,g(x)令g(x)0,解得x1;令g(x)0,解得x1.从而g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,2)内单调递增所以当x1时,g(x)取得最小值e1,从而所求实数的取值范围是(,e1).12分19解析
10、:(1)yf(x)的定义域为(0,),a1,f(x)xexlnxe,f(1)0,1分f(x)(x1)ex,2分f(1)2e1,3分函数yf(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为y(2e1)(x1).4分(2)h(x)f(x)g(x)xeaxlnxe(lnxe)xeax在定义域内存在两个零点,即x2eax10在(0,)上有两个实根.5分令(x)x2eax1,(x)ax2eax2xeaxxeax(ax2).6分当a0时,(x)xeax(ax2)0,y(x)在(0,)上单调递增由零点存在性定理,y(x)在(0,)内至多有一个零点,与题设发生矛盾.7分当a0时,令xeax(ax2)0,则x.8分
11、x(0,)(,)(x)0(x)单调递增极大值单调递减(0)1,当x时,(x)1(或(1)ea10),10分要使(x)x2eax1在(0,)内有两个零点,则()0即可,得a2,又a0,a0.11分综上,实数a的取值范围为(,0).12分20解析:(1)f(x)的定义域为(0,),当a4时,f(x)lnx,f(x).令f(x)0x2.2分列表所以,x2为f(x)的极大值点,x2为f(x)的极小值点.4分(2)f(x)(x2ax1),5分设g(x)x2ax1,x0,当a0时,g(x)0,f(x)0在x(0,)上恒成立,此时函数f(x)在区间(0,)上单调递增;7分当a0时,g(x)x2ax121.当
12、10,即0a2时,g(x)0,f (x)0在x(0,)上恒成立,此时函数f(x)在区间(0,)上单调递增;8分当a2时,方程g(x)0的两根分别为x1,x2,且0x1x2,当x(0,x1)时,g(x)0,f(x)0,故函数f(x)在(0,x1)上单调递增;当x(x1,x2)时,g(x)0,f(x)0,故函数f(x)在(x1,x2)上单调递减;当x(x2,)时,g(x)0,f(x)0,故函数f(x)在(x2,)上单调递增.11分综上所述,当a2时,函数f(x)的单调增区间为(0,),没有减区间;当a2时,函数f(x)的减区间为(x1,x2);增区间为(0,x1),(x2,).12分21解:(1)
13、f(x)k(x0);当k0时,kx0,exkx0,令f(x)0,则x2.当x(0,2)时,f(x)单调递减;当x(2,)时,f(x)单调递增;从而f(x)的极小值点为x2.(2)令g(x)exkx,则g(x)exk,exk,xlnk,g(0)1k0,g(0)10,g(2)e2k0,g(2)e22k0,k,g(lnk)elnkklnk0,lnk1ke,综上,k的取值范围为.22解析:(1)因为f(x)ln(1x)ln(1x),所以f(x),f(0)2.又因为f(0)0,所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y2x.3分(2)令g(x)f(x)2,则g(x)f(x)2(1x2).因为g(x)0(0x1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增所以g(x)g(0)0,x(0,1),即当x(0,1)时,f(x)2.7分(3)由(2)知,当k2时,f(x)k对x(0,1)恒成立当k2时,令h(x)f(x)k,则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x 时,h(x)0,因此h(x)在区间上单调递减当0x 时,h(x)h(0)0,即f(x)k.所以当k2时,f(x)k并非对x(0,1)恒成立综上可知,k的最大值为2.12分