1、导数及其应用测试第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2017荆门调研)曲线f(x)xex在点A(0，f(0)处的切线斜率为()A0 B1 C1 De2(2017济宁二模)已知函数f(x)x(2014lnx)，f(x0)2015，则x0()Ae2 B1 Cln2 De3由直线x，xk(k0)，曲线y及x轴围成图形的面积为2ln 2，则k的值为()A2 B. C2或 D.或14如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象，则下列判断中正确的是()A函数f(x)在区间(3,0)上是减函数B函数f(x)在区间(3,2)上是减函数C
2、函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D函数f(x)在区间(3,2)上是单调函数5(2017黄冈质检)定义在区间(0，)上的函数yf(x)使不等式2f(x)xf(x)3f(x)恒成立，其中yf(x)为yf(x)的导数，则()A816 B48C34 D236(2017东北三校一联)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象为一条连续不断的曲线，f(1x)f(1x)，f(1)a，且当0x1时，f(x)的导函数f(x)满足f(x)f(x)，则f(x)在2 015,2 016上的最大值为()Aa B0 Ca D2 0167(2017江南十校联考)已知函数f(x)alnxx2bx存在极小值，且对于b的所有可能
3、取值，f(x)的极小值恒大于0，则a的最小值为()Ae3 Be2 Ce D8(2017广西二市模拟)由曲线yx2和曲线y围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为()A. B.C. D.9若函数f(x)cosx2xf，则f与f的大小关系是()Aff BffCff D不确定10已知函数f(x)x33x，过A(1，m)(m2)可作曲线f(x)的三条切线，则实数m的取值范围是()A(1,1) B(2,3)C(2,1) D(3，2)11(2017衡水二模)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(0)1，则不等式f(x)ex的解集为()A(，e4) B(e4，)
4、C(，0) D(0，)12若x1，x2(x1x2)为函数f(x)相邻的两个极值点，且在x1，x2处分别取得极小值和极大值，则定义f(x2)f(x1)为函数f(x)的一个极优差函数f(x)ex(sin xcos x)(x2013)的所有极优差之和为()A. BC. D.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13(2017合肥一模)已知函数f1(x)sinxcosx，f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)，则f2017(x)_.14(2017太原五市检测)函数f(x)x3ax2bxa2在x1时有极值10，则a的值为_15(2017陕西
5、一检)已知曲线yxlnx在点(1,1)处的切线为l，若l与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.16已知函数f(x)aln(x1)x3的导函数f(x)1在区间(0,1)上恒成立，则实数a的取值范围为_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)设有抛物线C：yx2x4，过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标18.(本小题满分12分)已知函数f(x)exax(e为自然对数的底数)(1)当aN，且e2f(x)dxe1时，求f(x)的最小值；(2)设不等式f(x
6、)x的解集为P，且x|0x2P，求实数a的取值范围19(本小题满分12分)(2017广西三市调研)已知函数f(x)xeaxlnxe(aR)(1)当a1时，求函数yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设g(x)lnxe，若函数h(x)f(x)g(x)在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围20(本题满分12分)已知函数f(x)lnx，其中aR.(1)当a4时，求f(x)的极值点；(2)讨论并求出f(x)在其定义域内的单调区间21(本题满分12分)设函数f(x)k(k为常数，其中e是自然对数的底数)(1)当k0时，求函数f(x)的极值点；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个
7、极值点，求k的取值范围22(本题满分12分)已知函数f(x)ln.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求证：当x(0,1)时，f(x)2；(3)设实数k使得f(x)k对x(0,1)恒成立，求k的最大值1Cf(x)exxex(x1)ex，f(0)(01)e01，故在点A处的切线斜率为1，故选C.2B由题意可知f(x)2014lnxx2015lnx.由f(x0)2015，得lnx00，解得x01.34A当x(3,0)时，f(x)0，f(x)为增函数；当x(2k，2k2)时，f(x)1，所以f(x)x21，所以ax3x2x1成立设g(x)x3x2x1，则g(x)3x22x1，
8、当1x2时，函数g(x)0，所以g(x)在(1,2)单调递增，所以g(x)在1,2上的最大值为g(x)maxg(2)9，所以a9，即a的取值范围为9，)17解析：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1kx1，y1xx14，代入得xx140.P为切点，2160得k或k.当k时，x12，y117.当k时，x12，y11.P在第一象限，所求的斜率k.(2)过P点作切线的垂线，其方程为y2x5.将代入抛物线方程得x2x90.设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x29，x2，y24.Q点的坐标为.18解析：(1)f(x)dx(exx2) e1，由e2f(x)dxe1，得e2e1e1，0a2，又aN，a
9、1.f(x)exx，f(x)ex1，令f(x)0，解得x0；令f(x)0，解得x0.从而在(，0)内单调递减，(0，)内单调递增所以当x0时，f(x)取得最小值1.6分(2)因为不等式f(x)x的解集为P，且x|0x2P，所以，对任意的x0,2，不等式f(x)x恒成立，由f(x)x得(1a)xex.当x0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x(0,2的情况将(1a)xex变形得a1，令g(x)1，g(x)令g(x)0，解得x1；令g(x)0，解得x1.从而g(x)在(0,1)内单调递减，在(1,2)内单调递增所以当x1时，g(x)取得最小值e1，从而所求实数的取值范围是(，e1).12分19解析
10、：(1)yf(x)的定义域为(0，)，a1，f(x)xexlnxe，f(1)0，1分f(x)(x1)ex，2分f(1)2e1，3分函数yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y(2e1)(x1).4分(2)h(x)f(x)g(x)xeaxlnxe(lnxe)xeax在定义域内存在两个零点，即x2eax10在(0，)上有两个实根.5分令(x)x2eax1，(x)ax2eax2xeaxxeax(ax2).6分当a0时，(x)xeax(ax2)0，y(x)在(0，)上单调递增由零点存在性定理，y(x)在(0，)内至多有一个零点，与题设发生矛盾.7分当a0时，令xeax(ax2)0，则x.8分
11、x(0，)(，)(x)0(x)单调递增极大值单调递减(0)1，当x时，(x)1(或(1)ea10)，10分要使(x)x2eax1在(0，)内有两个零点，则()0即可，得a2，又a0，a0.11分综上，实数a的取值范围为(，0).12分20解析：(1)f(x)的定义域为(0，)，当a4时，f(x)lnx，f(x).令f(x)0x2.2分列表所以，x2为f(x)的极大值点，x2为f(x)的极小值点.4分(2)f(x)(x2ax1)，5分设g(x)x2ax1，x0，当a0时，g(x)0，f(x)0在x(0，)上恒成立，此时函数f(x)在区间(0，)上单调递增；7分当a0时，g(x)x2ax121.当
12、10，即0a2时，g(x)0，f (x)0在x(0，)上恒成立，此时函数f(x)在区间(0，)上单调递增；8分当a2时，方程g(x)0的两根分别为x1，x2，且0x1x2，当x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，故函数f(x)在(0，x1)上单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，故函数f(x)在(x1，x2)上单调递减；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，故函数f(x)在(x2，)上单调递增.11分综上所述，当a2时，函数f(x)的单调增区间为(0，)，没有减区间；当a2时，函数f(x)的减区间为(x1，x2)；增区间为(0，x1)，(x2，).12分21解：(1)
13、f(x)k(x0)；当k0时，kx0，exkx0，令f(x)0，则x2.当x(0,2)时，f(x)单调递减；当x(2，)时，f(x)单调递增；从而f(x)的极小值点为x2.(2)令g(x)exkx，则g(x)exk，exk，xlnk，g(0)1k0，g(0)10，g(2)e2k0，g(2)e22k0，k，g(lnk)elnkklnk0，lnk1ke，综上，k的取值范围为.22解析：(1)因为f(x)ln(1x)ln(1x)，所以f(x)，f(0)2.又因为f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y2x.3分(2)令g(x)f(x)2，则g(x)f(x)2(1x2).因为g(x)0(0x1)，所以g(x)在区间(0,1)上单调递增所以g(x)g(0)0，x(0,1)，即当x(0,1)时，f(x)2.7分(3)由(2)知，当k2时，f(x)k对x(0,1)恒成立当k2时，令h(x)f(x)k，则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x 时，h(x)0，因此h(x)在区间上单调递减当0x 时，h(x)h(0)0，即f(x)k.所以当k2时，f(x)k并非对x(0,1)恒成立综上可知，k的最大值为2.12分