1、模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若a，b，cR且ab，则下列不等式中一定成立的是()AabbcBacbcC.0 D(ab)c20解析：因为ab，所以ab0.又因为cR，所以c20.所以(ab)c20.答案：D2不等式|x2|1的解集是()A(1，3) B(，3)(3，)C(3，3) D(，1)(3，)解析：由|x2|1得x21或x21，所以x3或x1.答案：D3函数yx2(x0)的最小值为()A1 B2C3 D4解析：yx2x23 3当且仅当x1时成立答案：C4若a，bR，则下
2、列不等式：a232a；a2b22(ab1)；a5b5a3b2a2b3；a2.其中一定成立的是()A BC D解析：a232a(a1)220，成立；a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，成立；当ab0时，不成立；a2只有当a0才成立，故只有成立答案：C5已知ba0，且ab1，那么()A2abbB2abbC.2abbD2abb解析：此题可用特殊赋值法判断出来，设a，b，2ab2，a2b2，b，所以b2ab成立，选B.答案：B6(2015陕西卷)设f(x)ln x，0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp BprqCqrp Dprq解析：因为0ab，所
3、以.又因为f(x)ln x在(0，)上单调递增，所以ff()，即pq.而r(f(a)f(b)(ln aln b)ln(ab)ln，所以rp，故prq.选B.答案：B7已知a，b，c为非零实数，则(a2b2c2)的最小值为()A7 B9C12 D18解析：(a2b2c2)9，当且仅当abc时等号成立故选B.答案：B8用数学归纳法证明当nN时，122225n1是31的倍数时，当n1时原式为()A1 B12C1234 D12222324解析：n1时，原式为12251112222324.答案：D9某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3 元、 2 元和1 元的礼
4、品，则至少要花()A17 元 B19 元C21 元 D25 元解析：由排序原理可知：花钱最少为15243219(元)故应选B.答案：B10用数学归纳法证明不等式(n2，nN)的过程中，由nk递推到nk1时不等式左边()A增加了1项B增加了“”项，又减少了“”项C增加了2项D增加了项，减少了项解析：注意分母是连续的正整数，且末项可看做，故nk1时，末项为.答案：B11若a0，使不等式|x4|x3|a在R上的解集不是空集的a的取值范围是()A0a1 Ba1Ca1 D以上均不对解析：函数y|x4|x3|的最小值为1，所以若|x4|x3|a的解集不是空集，需a1.答案：C12已知实数a，b，c满足a2
5、bc1，a2b2c21，则实数c的范围为()A. B.C. D.解析：因为a2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式：(1222)(a2b2)(a2b)2，5(1c2)(1c)2，整理得3c2c20，解得c1.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13设a，b是正实数，且ab1，则的最大值为_解析：.答案：14用数学归纳法证明：已知n是正整数，f(n)1，则当n1时，f(2n).其第一步是_解析：由数学归纳法的步骤易知答案：当n2时，f(22)成立15函数f(x)3x(x0)的最小值为_解析：f(x)3x39，当且仅当x，
6、即x2时等号成立答案：916(2014重庆卷)若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_解析：令f(x)|2x1|x2|，则：当x2时，f(x)2x1x23x15；当2x时，f(x)2x1x2x3，故f(x)5；当x时，f(x)2x1x23x1.综合可知f(x)，所以要使不等式恒成立，则需a2a2，解得1a.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c26.证明：法一：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2b2c23(abc)，因为3(abc)，所以
7、9(abc).故a2b2c23(abc)9(abc).又因为3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.所以a2b2c2abbcca.同理，所以a2b2c2abbcca6.所以原不等式成立18(本小题满分12分)设x，y，zR，2xy2z6，试求x2y2z2的最小值解：考虑以下两组向量u(2，1，2)，v(x，y，z)，根据柯西不等式(uv)2|u|2| v |2就有2x(1)y(2)z222(1)2(2)2(x2y2z2)，即(2xy2z)29(x2y2z2)，将2xy2z6代入其中，得369(x2
8、y2z2)，而有x2y2z24，故x2y2z2的最小值为4.19(本小题满分12分)设f(x)|x1|2|x1|的最大值为m.(1)求m；(2)若a，b，c(0，)，a22b2c2m，求abbc的最大值解：(1)当x1时，f(x)3x2；当1x1时，f(x)13x2；当x1时，f(x)x34.故当x1时，f(x)取得最大值m2.(2)a22b2c2(a2b2)(b2c2)2ab2bc2(abbc)，当且仅当abc时，等号成立此时，abbc取得最大值1.20(本小题满分12分)求证：13.证明：由(k是大于2的自然数)，得111133.21(本小题满分12分)若a0，b0，且.(1)求a3b3的
9、最小值(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)由，得ab2，且当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)不存在，由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.22(本小题满分12分)已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1，1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.(1)解：因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又因为f(x2)0的解集为1，1，故m1.(2)证明：由(1)知1，又因为a，b，cR，所以由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.
